Partie II. Application ` a l’´ etude d’un ensemble de suites

Corrig´ e du Devoir Surveill´ e n ^◦ 5

Probl` eme 1 : Un produit rigolo sur R

D´efinition : Pour toutes suites num´eriquesu= (un) etv= (vn), on d´efinit la suite u ? v=w par

∀n∈N, wn =

n

X

k=0

ukv_n−k.

Partie I. Exemples

1. Premiers exemples

a. Si ∀k∈N,u_k= 2 etv_k = 3, alors pour toutn∈N, (u ? v)_n=

n

X

k=0

2×3 = 6(n+ 1) b. Si ∀k∈N,uk= 2^k etvk= 3^k, alors pour toutn∈N,

(u ? v)n=

n

X

k=0

2^k×3^n−k = 2ⁿ⁺¹−3ⁿ⁺¹

2−3 = 3ⁿ⁺¹−2ⁿ⁺¹ c. Si ∀k∈N,uk= ²_k!^k et vk= ³_k!^k, alors pour toutn∈N,

(u ? v)_n=

n

X

k=0

2^k×3^n−k k!(n−k)! = 1

n!

n

X

k=0

n k

2^k×3^n−k =5ⁿ n!

N 2. Programmation

Dans cette question, les suitesuet vsont d´efinies par :

∀n∈N, un = ln(n+ 1) et vn= 1 n+ 1. Program etoile ;

var n,k : integer ; w : real ; begin

write(’Entrez le rang n = ’) ; readln ( n ) ;

w := 0 ;

for k :=0 to n do w := w + (Ln(k+1)/(n-k+1)) ; writeln (’U*V ’,n, ’=’ , w ) ;

readln; end .

N 3. Un r´esultat de convergence

Soitula suite d´efinie par :∀n∈N, un= 1

2 ⁿ

et v= (vn)_n≥0 une suite de r´eels positifs, d´ecroissante `a partir du rang 1 et de limite nulle.

a. Soit (n, m) un couple d’entiers naturels tels quen < m, alors :

m

X

k=n+1

uk=

m

X

k=n+1

(1/2)^k= (1/2)ⁿ⁺¹

m−n−1

X

k=0

(1/2)^k= (1/2)ⁿ⁺¹ 1−(1/2)ⁿ⁺²

1/2 ≤2×(1/2)ⁿ⁺¹≤un

N

b. Soit nun entier strictement sup´erieur `a 1.

• Afin de majorerw_2n, ´ecrivons w2n=

2n

X

k=0

ukv2n−k =

n

X

k=0

ukv2n−k+

2n−1

X

k=n+1

ukv2n−k+v0u2n

• Montrons queXⁿ

k=0u_kv_2n−k≤2v_n

Soitk∈[[0, n]], alors commev est d´ecroissante `a partir du rang 1, v_2n−k≤vn. Ainsi,

n

X

k=0

ukv_2n−k≤vn n

X

k=0

(1/2)^k≤vn

1−(1/2)ⁿ⁺¹ 1/2 ≤2vn.

• Montrons queX²ⁿ⁻¹

k=n+1ukv_2n−k ≤v1un

Soit k∈[[n+ 1,2n]], alors commev est d´ecroissante `a partir du rang 1,v_2n−k ≤v1. En sommant cette in´egalit´e, nous obtenons facilement que

2n−1

X

k=n+1

ukv_2n−k ≤v1 2n−1

X

k=n+1

uk

D’autre part, comme n > 1, on v´erifie imm´ediatement que 2n−1 > n. Par suite, nous pouvons appliquer le r´esultat de la question pr´ec´edente avec m = 2n−1. Il vient X²ⁿ⁻¹

k=n+1uk ≤ un. Finalement, nous obtenons l’estimation :

2n−1

X

k=n+1

ukv_2n−k≤v1un

Des in´egalit´es ci-dessus, nous d´eduisons l’estimation d´esir´ee : w2n≤v0u2n+ 2vn+v1un

• Afin de majorerw2n+1, proc´edons de mani`ere analogue : ´ecrivons tout d’abord w2n+1=

2n+1

X

k=0

ukv_2n+1−k=

n

X

k=0

ukv_2n+1−k+

2n−1

X

k=n+1

ukv_2n+1−k+v0u2n+1

• Xⁿ

k=0ukv2n+1−k ≤2vn+1

En effet, si k ∈ [[0, n]], alors commev est d´ecroissante `a partir du rang 1, il vientv_2n+1−k ≤ v_n. Ainsi,

n

X

k=0

u_kv_2n+1−k ≤v_n+1

n

X

k=0

(1/2)^k≤v_n+1 1−(1/2)ⁿ⁺¹

1/2 ≤2v_n+1.

• X²ⁿ

k=n+1ukv_2n+1−k ≤v1un

Soitk∈[[n+ 1,2n]], alors commevest d´ecroissante `a partir du rang 1,v2n+1−k≤v1. En sommant cette in´egalit´e, nous obtenons

2n

X

k=n+1

ukv_2n+1−k ≤v1 2n

X

k=n+1

uk ≤v1 un

Des in´egalit´es ci-dessus, nous d´eduisons l’estimation d´esir´ee : w2n+1≤v0u2n+1+ 2vn+1+v1un

c. Comme les suites uet v sont convergentes de limite nulle, nous d´eduisons des propri´et´es alg´ebriques des suites convergentes de limite nulle :

0≤ w_2n ≤v₀u_2n+ 2v_n+v₁u_n−−−−→

n→∞ 0 0≤ w_2n+1 ≤v₀u_2n+1+ 2v_n+1+v₁u_n−−−−→

n→∞ 0

D’apr`es le th´eor`eme de convergence par encadrement, il s’en suit que les suites extraites dew form´ees des termes de rang pairs et impairs sont toutes deux convergentes de limite nulle. Par cons´equent, la suitew

elle-mˆeme est convergente de limite nulle. N

d. Soit bla suite d´efinie par∀n∈N,b_n = (−1)ⁿ u_n.

|(b ? v)n| ≤

n

X

k=0

(−1)^kuk v_n−k

≤

n

X

k=0

(−1)^kuk v_n−k

≤

n

X

k=0

uk v_n−k = (b ? v)n −−−−→

n→∞ 0.

D’apr`es le th´eor`eme de convergence par comparaison (en 0), il en r´esulte que la suiteb ? vest convergente

de limite nulle. N

Partie II. Application ` a l’´ etude d’un ensemble de suites

Dans cette partieAd´esigne l’ensemble des suites a= (an)n∈Nde r´eels positifs v´erifiant :

∀n∈N^?, an+1≤ 1

2 an+an−1 1. • Soientaune suite d´ecroissante de r´eels positifs, etn∈N^? :

an+1≤an ≤1 2an+1

2an≤ 1 2an+1

2a_n−1≤ an+a_n−1 .

Par cons´equent aappartient `a A. N

• Soientaune suite strictement croissante de r´eels, alors a2> a1=1

2a1+1 2a1> 1

2a1+1 2a0.

Par cons´equent an’appartient pas `a A. N

2. Soitz= (z_n)_n∈Nune suite de nombres r´eels v´erifiant∀n∈N^?,z_n+1= 1

2 z_n+z_n−1 . a. La suite zest une suite r´ecurrente lin´eaire d’ordre 2. L’´equation caract´eristique est :

(EC) r²−1

2r−1 2 = 0

1 et−1/2 sont racines ´evidentes : par cons´equent, il existe deux constantes r´eellesλetµtelles que :

∀n∈N, z_n =λ+µ

−1 2

ⁿ

b. Choisissonsλ=µ= 1. La suitezainsi obtenue est clairementpositive et non monotone. Pourtant elle v´erifie

∀n∈N^?,zn+1=1

2 zn+z_n−1

≤ 1

2 zn+z_n−1 .

N 3. Soita= (an)_n∈Nun ´el´ement deAetb la suite d´efinie par∀n∈N,bn= −1

2 ⁿ

. On d´efinit alors la suite c= (c_n)_n∈Npar :c₀=a₀ et∀n∈N^?,c_n=a_n+1

2a_n−1. a. Soit n∈N^?, par construction de la suitec et par d´efinition deA, nous avons :

cn+1−cn = an+1+1 2 an

− an+1 2 a_n−1

= an+1−1

2 an−1

2 a_n−1≤0.

Ainsi, la suitec est d´ecroissante `a partir du rang 1. Comme la suiteaest positive, la suitev est elle aussi minor´ee par 0. Par cons´equent elle est convergente. Notons`(≥0) sa limite. N

b. Soit n∈N, un entier naturel.

n

X

k=0

−1 2

k

c_n−k = a0bn+

n−1

X

k=0

bkc_n−k=a0bn+

n−1

X

k=0

bk a_n−k+1

2a_n−k−1

= a0bn+

n−1

X

k=0

bka_n−k+

n−1

X

k=0

bk×1

2a_n−k−1=a0bn+

n−1

X

k=0

bka_n−k−

n−1

X

k=0

bk+1a_n−k−1

= a₀b_n+

n−1

X

k=0

b_ka_n−k−

n

X

k=1

b_ka_n−k =a₀b_n+b₀a_n−a₀b_n =a_n.

Par cons´equent a=b ? c. N

c. Soit ε = (εn)_n∈N la suite d´efinie par : ∀n ∈ N, εn = cn −`. D’apr`es la question 3. a., la suite ε est d´ecroissante `a partir du rang 1 et convergente de limite nulle. D’apr`es le r´esultat de convergence ´etabli `a la

Partie I, la suiteεest convergente de limite nulle. N

d. On d´esigne pardla suiteb ? ε. Soitn∈Nun entier naturel. Alors dn = b ?(c−`)

n=Xⁿ

k=0bk(cn−k−`) =Xⁿ

k=0 bkcn−k−bk`

= (b ? c)n−`Xⁿ

k=0bk

= (b ? c)_n−` 1−(−¹₂)ⁿ⁺¹

1−(¹₂) =a_n−2

3` 1−(−1 2)ⁿ⁺¹

.

Ainsi, pour tout entiern∈N,

a_n =d_n+2

3` 1−b_n+1

Comme les suites b et d sont convergentes vers 0, nous d´eduisons des propri´et´es alg´ebraiques des suites convergentes que la suiteaest convergente de limite 2

3`. N

Exercice 1 : Probabilit´ es

SoientN ∈N^? un entier naturel non nul,a∈[[0, N]] un entier compris entre 0 et N p∈]0,1[,p6=¹₂ etq= 1−p.

On note pour toutn∈N,xn l’abscisse de la particule `a l’issue du n<sup>i`eme</sup> saut, de sorte que : x0=a et ∀n∈N, xn+1=

xn+ 1 avec la probabilit´ep xn−1 avec la probabilit´eq . Le processus s’arrˆete d`es que la particule atteint l’une des extr´emit´es du segment [[0, N]].

1. Pour tout a ∈ [[0, N]], on note Qa l’´ev´enement “la particule, initialement situ´ee en a, s’arrˆete en 0”, et qa la probabilit´e deQa.

a. Soita∈[[1, N−1]] fix´e. NotonsG1(respectivementD1) l’´ev´enement “le premier saut se fait vers la gauche” (respectivement “vers la droite” ). La formule des probabilit´es totales pour le syst`eme complet d’´ev´enements (G1, D1) donne :

p(Qa) =p(Qa|G1)×p(G1) +p(Qa|D1)×p(D1)

Or par construction, p(Qa|G1) =qa−1, p(Qa|D1) =qa+1, p(G1) =q et p(D1) =p. Par cons´equent, nous avons obtenu :

q_a=p q_a+1+q q_a−1

b. Soit (x_n) une suite recurrente lin´eaire d’ordre 2 d´etermin´ee par la relation de r´ecurrence :

∀n∈N^?, p xn+1−xn+q x_n−1= 0 L’´equation caract´eristique :

(EC) r²−(1/p)r+q/p= 0

admet pour racines 1 etq/pcar leur somme vaut 1 +q

p= p+q p = 1

p et leur produit vaut 1×q p= q

p. Par cons´equent, il existe un couple (λ, µ)∈R² de r´eels tels que pour toutn∈N

x_n=λ+µ q

p ⁿ

En particulier il existe un couple (λ₀, µ₀)∈R²de r´eels tels que pour touta∈[[0, N]]

qa =λ0+µ0

q p

a

N c. Pour d´eterminer les valeurs deλ0et µ0, je r´esous le syst`eme :

q₀=λ₀+µ₀

q_N =λ₀+µ₀(q/p)^N ⇐⇒

λ₀+µ₀= 1

λ₀+µ₀(q/p)^N = 0 ⇐⇒

( µ0= _pN^p−q^NN

λ₀=−_pN^q_−q^N_N Par cons´equent, pour touta∈[[0, N]],

qa=− q^N

p^N −q^N + p^N p^N −q^N

q p

^a

N 2. Pour touta∈[[0, N]], on notePa l’´ev´enement “la particule, initialement situ´ee au point d’abscissea, s’arrˆete en N”, etp_a la probabilit´e deP_a. De la mˆeme mani`ere que pr´ec´edemment, la formule des probabilit´es totales pour le syt`eme complet d’´ev´enements (G₁, D₁), montre quep_a v´erifie la relation de r´ecurrence

pa=p pa+1+q p_a−1

Comme toute suite r´ecurrente lin´eaire d’ordre 2 v´erifiant la relation de r´ecurrence

∀n∈N^?, p xn+1−xn+q x_n−1= 0 s’´ecrit sous la forme

x_n =λ+µ q

p ⁿ

,

il existe un couple (λ0, µ0) de nombres r´eels tels que pour tout a∈[[0, N]]

p_a=λ₀+µ₀ q

p ^a

.

Pour d´eterminer λ0 et µ0, on remarque que p0= 0 et pN = 1, de sorte que λ0 et µ0 sont solutions du syt`eme d’´equations lin´eaires :

p0=λ0+µ0

p_N =λ₀+µ₀(q/p)^N ⇐⇒

λ0+µ0= 0

λ₀+µ₀(q/p)^N = 1 ⇐⇒

( λ0=_pN^p−q^NN

µ₀=−_pN^p_−q^N_N Par cons´equent, pour touta∈[[0, N]],

pa= p^N

p^N −q^N − p^N p^N−q^N

q p

^a

N 3. Soit Sa l’´ev´enement “le processus initi´e en a s’arrˆete”. On peut remarquer que A est la r´eunion disjointe des

´

ev´enementsQa etPa. D’apr`es la propri´et´e d’additivit´e des probabilit´es, nous obtenons pour touta∈[[0, N]] : p(Sa) =pa+qa= p^N −q^N

p^N −q^N = 1.

Par cons´equent le processus s’arrˆetepresque sˆurement. N

Exercice 2 : Etude d’une suite r´ ecurrente

Soit f : R^+? → R^+? l’application d´efinie par : ∀x ∈ R^+?, f(x) = x+ 2

x . Soit u = (u_n)_n∈N une suite d´efinie par r´ecurrence de la mani`ere suivante :

u₀∈R^+? et ∀n∈N, u_n+1=f(u_n).

Remarque : L’´enonc´e pr´ecise ici que l’intervalle de d´efinition def est stable parf. Par cons´equent, la suiteuest bien d´efinie. En g´en´eral, c’est `a vous qu’il revient de v´erifier la stabilit´e de l’intervalle de d´efinition de la fonctionit´eratrice.

1. Soitx >0, remarquons que f(x) = 1 +_x². Il en r´esulte quef est strictement d´ecroissante de R⁺ sur ]1,+∞[.N 2. Etudions la positivit´e def−Id. Soitx∈R^+?

f(x)−x >0 ⇐⇒ x+ 2

x −x >0

⇐⇒ x²−x−2<0

⇐⇒ (x+ 1)(x−2)<0.

Remarque : −1 et 2 sont racines ´evidentes.

On dresse alors un premier tableau de variations :

x 0 2 +∞

|

f−Id + 0 −

|

+∞ | 2

f & | &

2 | 1

En particulier, le seul point fixe def sur l’intervalle ]0,+∞[ est 2. La fonctionf :R^+?→R^+?´etantcontinue, il s’agit du seulcandidat-limite possible : siuest convergente, alors la limite est n´ecessairement 2. N Remarque : La fonction est d´ecroissante sur ]0,+∞[. Par cons´equent -sauf si u0= 2- la suiteuest non monotone.

En revanche, les suites extraitesu_2n et u_2n+1 sont monotones carf ◦f est croissante sur l’intervalle. L’´etude de ces suites est l’objet de la question suivante.

3. La suite extraite (u2n) est d´efinie par la donn´ee du premier terme u0 ainsi que par la relaion de r´ecurrence : u_2(n+1)=f◦f(u2n). De mˆeme, la suiteu2n+1est d´efinie par la donn´ee de son premier termeu1et par la relation de r´ecurrenceu_2(n+1)+1=f◦f(u2n+1).

L’´etude de ces suites passe donc par l’´etude de la fonctionf◦f :

Commef est d´ecroissante sur ]0,+∞[, la fonctionf ◦f est croissante. Etudions la positivit´e def◦f−Id: Soitx >0, alors

f ◦f(x)−x >0 ⇐⇒ 1 + 2

1 +_x² −x >0

⇐⇒ 1 + 2x

x+ 2−x >0

⇐⇒ −x²+x+ 2>0

⇐⇒ f(x)−x >0.

Par cons´equent,f◦f−Idetf−Idsont simultan´ement positives. En particulier,f ◦f n’a pas d’autres points fixes que 2 sur l’intervalle consid´er´e. Nous pouvons r´esumer les r´esultats obtenus dans un tableau :

x 0 2 +∞

|

f−Id + 0 −

|

|

f ◦f −Id + 0 −

|

+∞ | 2

f & | &

2 | 1

2 | 3

f◦f % | %

1 | 2

A pr´esent, il ne reste plus qu’`acommenter ce tableau, en discutant suivant la valeur deu0.

• Siu0= 2, la suiteun est constante ´egale `a 2. Par cons´equent, les suites (u2n) et (u2n+1) aussi. En particulier, elles sont adjacentes.

• Si u0∈]0,2[.

• Comportement asymptotique de la suite (u2n)

L’intervalle ]0,2[ ´etantstableparf◦f (cf tableau) la suite (u2n) est `a valeurs dans ]0,2[. Commela fonction f◦f est croissante sur cet intervalle,la suite (u2n) est monotone. Pour connaˆıtre son sens de variation, examinons les deux premiers termes de cette suite :

u₂−u₀=f◦f(u₀)−u₀>0

car pour toutx∈]0,2[,f ◦f(x)−x >0 (cf tableau). Par cons´equentla suite (u_2n) est croissante.

Comme elle est `a valeurs dans ]0,2[, cette suitemonotone est born´ee. Elle est doncconvergente.

Commef ◦f est continue, elle converge vers unpoint fixe def ◦f. Mais le seul point fixe def◦f surR⁺ est 2. Par cons´equentla suite(u2n)est convergente de limite 2.

• Comportement asymptotique de la suite (u2n+1)

La fonction f envoie¹ l’intervalle ]0,2[ dans l’intervalle ]2,+∞[. Comme u0 ∈]0,2[, il s’en suit que u1 =f(u0) appartient `a l’intervalle ]2,+∞[. De plus, toujours d’apr`es le tableau, l’intervalle ]2,+∞[

eststable parf ◦f. Par cons´equent la suite (u2n+1) est `a valeurs dans ]2,+∞[. Comme la fonction f◦f est croissante sur cet intervalle,la suite (u2n+1) est monotone. Pour connaˆıtre son sens de variation, examinons les deux premiers termes de cette suite :

u3−u1=f◦f(u1)−u1<0

car pour tout x ∈]2,+∞[, f ◦ f(x)−x < 0 (cf tableau). Par cons´equent la suite (u2n+1) est d´ecroissante.

Comme elle est `a valeurs dans ]2,+∞[, cette suite estd´ecroissante et minor´ee. Elle est doncconver- gente. Commef ◦f est continue, elle converge n´ecessairement vers un point fixe de f◦f. Mais le seul point fixe def◦f surR⁺ est 2. Par cons´equentla suite(u_2n+1)est convergente de limite 2.

Ainsi, lorsqueu₀∈]0,2[, nous avons d´emontr´e quela suite(u_2n)est croissanteet convergente de limite 2, tandis quela suite(u_2n+1)est d´ecroissanteet convergente de limite 2. D’apr`es les propri´et´es alg´ebriques des suites convergentes, il s’en suit quela suite(u_2n+1−u_2n) est convergente de limite0 = 2−2.

Par d´efinition, cela signifie que les suites (u_2n) et (u_2n+1) sont adjacentes, de llimite commune 2. N

• Si u₀∈]2,+∞[ oul’art du copier-coller !

• Comportement asymptotique de la suite (u_2n)

D’apr`es l’´etude pr´ec´edente, la suite des it´er´es deu<sub>0</sub>par l’applicationf◦f est `a valeurs dans l’intervalle ]2,+∞[, d´ecroissante et convergente de limite 2.

• Comportement asymptotique de la suite (u_2n+1)

Commef envoie l’intervalle ]2,+∞[ dans l’intervalle ]0,2[,u₁=f(u₀) appartient en ce cas `a l’intervalle ]0,2[. L’´etude pr´ec´edente montre en ce cas que la suite des it´er´es de u1 par l’application f ◦f est croissante et convergente vers 2. C’est-`a-dire que la suite (u2n+1) est croissante et convergente de limite 2.

1cf tableau

Lorsque u₀ ∈]2,+∞[, la suite (u2n) est d´ecroissante et convergente de limite 2 tandis que la suite (u_2n+1) est croissante et convergente de limite 2. En cons´equence, ces suites sont adjacentes et convergent toutes deux vers 2.

Dans tous les cas, nous avons d´emontr´e que les suites (u2n) et (u2n+1) sont adjacentes et convergent toutes deux

vers 2. N

4. D’apr`es la question pr´ec´edente les suites extraites de u form´ees des termes de rangs pairs et impairs sont convergente vers la mˆeme limite 2. Par cons´equent la suiteuelle-mˆeme est convergente de limite 2. N

Exercice 3 : Polynˆ omes

Pour tout entiern∈Nsup´erieur ou ´egal `a 2, on s’int´eresse aux polynˆomes Q_n= (X+ 1)ⁿ−Xⁿ−1

1. a. Les polynˆomes (X+ 1)ⁿetXⁿ+ 1 sont tous deux de degr´en. De plus, comme ces deux polynˆomes ont pour monˆomes dominantsXⁿ, le polynˆomeQn est de degr´e inf´erieur ou ´egal `an−1. Le coefficient du terme de degr´e n−1 est n∈N^?. Par cons´equent, Qn est de degr´e exactementn−1 et son monˆome dominant est

nXⁿ⁻¹. N

b. D’apr`es la formule du binˆome de Newton Q_n=

n

X

k=0

n k

X^k−Xⁿ−1 =

n−1

X

k=1

n k

X^k.

N D’apr`es les questions pr´ec´edentes,Q_nest de degr´en−1>0, en particulier le polynˆomeQ_nest non nul.

De plus les coefficients de Q_n sont les n

k

pour k ∈[[1, n−1]]. En particulier, les coefficients deQ_n

sont des entiers naturels. N

i.

c. D’apr`es la caract´erisation des racines,X diviseQn si et seulement si 0 est racine deQn.

Or ˜Qn(0) = (0 + 1)ⁿ−0ⁿ−1 = 0. Par suite,X diviseQn. N

d. Soit n∈N,n≥2, alors d’apr`es la caract´erisation des racines

(X+ 1)|Qn ⇐⇒ −1 est racine deQn

⇐⇒ Q˜n(−1) = 0

⇐⇒ (−1)ⁿ=−1

⇐⇒ nest impair.

Par cons´equent X+ 1 diviseQn si et seulement si nest impair. N

e. D’apr`es la caract´erisation des racines multiples, Q<sub>n</sub> est divisible par (X + 1)<sup>2</sup> si −1 est racine d’ordre de multiplicit´e sup´erieure ou ´egale `a 2.

CommeQ⁰_n =n(X+ 1)ⁿ⁻¹−nXⁿ⁻¹, j’en d´eduis queQ⁰_n(−1) =−n(−1)ⁿ⁻¹ 6= 0. Par cons´equent,−1 est

racine simple deQ_n et donc (X+ 1)²ne divise pasQ_n. N

2. a. j est une racine cubique de l’unit´e, diff´erente de 1, par cons´equent j est racine du polynˆome `a coefficients entiersX²+X+ 1.

b. D’apr`es la question pr´ec´edente,j<sup>2</sup>+j+ 1 = 0, c’est-`a-direj+ 1 =−j². Par cons´equent : Qn(j) = (j+ 1)ⁿ−jⁿ−1 = (−1)ⁿj²ⁿ−jⁿ−1.

N c. Montrons queQn(j) est nulsi et seulement si il existe k∈N^? tel quen= 6k−1 oun= 6k+ 1.

D’apr`es la question pr´ec´edente,

j est racine deQn si et seulement si (−1)ⁿj²ⁿ−jⁿ−1 = 0 Discutons suivant le reste de la division euclidienne denpar 6 :

• supposons qu’il existek∈Ntel que n= 6k.

(−1)ⁿj²ⁿ−jⁿ−1 =j^12k−j^6k−1 = 1−1−16= 0

• supposons qu’il existek∈Ntel que n= 6k+ 1.

(−1)ⁿj²ⁿ−jⁿ−1 =−j^12k+2−j^6k+1−1 =−j²−j−1 = 0

• supposons qu’il existek∈Ntel que n= 6k+ 2.

(−1)ⁿj²ⁿ−jⁿ−1 =j^12k+4−j^6k+2−1 =j−j²−1 = 2j 6= 0

• supposons qu’il existek∈Ntel que n= 6k+ 3.

(−1)ⁿj²ⁿ−jⁿ−1 =−j^12k+6−j^6k+3−1 =−1−1−16= 0

• supposons qu’il existek∈Ntel que n= 6k+ 4.

(−1)ⁿj²ⁿ−jⁿ−1 =j^12k+8−j^6k+4−1 =j²−j−1 = 2j²6= 0

• supposons qu’il existek∈Ntel que n= 6k+ 5.

(−1)ⁿj²ⁿ−jⁿ−1 =−j^12k+10−j^6k+5−1 =−j−j²−1 = 0 En conclusion,

j est racine deQn si et seulement si le reste dans la division euclidienne denpar 6 vaut 1 ou 5 si et seulement si il existek∈N^? tel quen= 6k+ 1 ou n= 6k−1.

N d. Pour quej soit racine double²deQ_n il faut et il suffit que j soit racine deQ_n et deQ⁰_n.

Or Q⁰_n =n(X+ 1)ⁿ⁻¹−nXⁿ⁻¹, d’o`uQ⁰_n(j) =n(−1)ⁿ⁻¹j²ⁿ⁻²−njⁿ⁻¹.

Par cons´equent Q⁰_n(j) = 0 si et seulement si (−1)ⁿ⁻¹j²ⁿ⁻²−jⁿ⁻¹= 0

• supposons qu’il existek∈N^? tel quen= 6k+ 1.

(−1)ⁿ⁻¹j²ⁿ⁻²−jⁿ⁻¹=j^12k+2−2−j^6k+1−1= 1−1 = 0

• supposons qu’il existek∈N^? tel quen= 6k−1.

(−1)ⁿ⁻¹j²ⁿ⁻²−jⁿ⁻¹=j^12k−2−2−j^6k−1−1=j²−j6= 0

Par cons´equent, j est racine double s’il existek∈N^? tel quen= 6k+ 1. N e. • Factorisons Q₅

D’apr`es ce qui pr´ec`ede, 0,−1,j et ¯j sont racines deQ₅. Par cons´equent X(X+ 1)(X −j)(X −¯j) = X(X+ 1)(X²+X+ 1) diviseQ₅. CommeQ₅ est de monˆome dominant 5X⁴, j’obtiens :

Q₅= 5X(X+ 1)(X−j)(X−¯j) = 5X(X+ 1)(X²+X+ 1)

• Factorisons Q7

D’apr`es ce qui pr´ec`ede, 0,−1,j et ¯j sont racines deQ5. De plusjet ¯jsont racines doubles deQ7. Par cons´equentX(X+ 1)(X−j)²(X−¯j)²=X(X+ 1)(X²+X+ 1)²diviseQ₇. CommeQ₇est de monˆome dominant 7X⁶, j’obtiens :

Q₇= 7X(X+ 1)(X−j)²(X−¯j)²= 7X(X+ 1)(X²+X+ 1)²

N

2c’est-`a-dire de multiplicit´e sup´erieure ou ´egale `a 2