SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
I) Suites arithmétiquesOn donne pour tout entier naturel n, un = 5n + 8.
• Calculer u0 ; u1 ; u2 ; …
u0 = 5×0+8 = 8 ; u1 = 5×1+8 = 13 ; u2 = 5×2+8 = 18
+5 +5
• Pour tout n entier naturel, calculer un+1 – un
un+1 – un = _____________________________________ = _____________________________ =_________________________= 5
Donc, tout n entier naturel, un+1 = un + 5 .
1) Définition, terme général :
a) Définition : une suite (un) est une suite arithmétique s’il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n, un+1 = un + r . (r est appelé la raison de la suite arithmétique.)
b) Sens de variation :
Pour tout n entier naturel, un+1 – un = r. Donc :
si r > 0, un+1 > un . La suite arithmétique est _______________________________________
si r < 0, un+1 < un . La suite arithmétique est _______________________________________
c) Terme général :
Soit (un) une suite arithmétique de 1er terme u0 et de raison r.
Pour tout entier n on a un+1 = un + r.
• pour n = 0, u1 = u0 + r
• pour n = 1, u2 = u1 + r = (u0 + r) + r = u0 + 2r
• pour n = 2, u3 = ___ + r = (______________) + r = u0 + 3r
…
De manière générale, on a donc un = u0 + nr
Soit (un) une suite arithmétique de 1er terme u0 et de raison r, alors pour tout entier
naturel n on a : un = u0 + nr .
De façon générale, pour tout entier naturel p, on a aussi un = up + (n – p)r
2) Somme des 1ers termes d’une suite arithmétique :
a) Posons Sn = u0 + u1 + … + un la somme des n+1 premiers termes d’une suite arithmétique (un).
Sn =
+ Sn =
Remarque :
Pour tout p ∈ ℕ avec p ⩾ n up + un-p = = = = u0 + un 2 Sn = 2 Sn = ( ) + ( ) +…+ ( ) + ( ) (u0 + un) +(u0 + un) +...+ (u0 + un) + (u0 + un) n+1 termes égaux à (u0 + un) 2 Sn = ( ) (u0 + un)
La somme des n+1 premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme u0et de raison r est : u0 + u1 + … + un= (n+1)
b) Somme des entiers de 1 à n :
1 + 2 + 3 + … + n représente une somme de n termes d’une suite arithmétique de raison 1 et de 1er
terme 1 .
Donc 1 + 2 + 3 + … + n = n = ( )
II) Suites géométriques
On place une somme d’argent de 10000€ sur un compte dont les intérêts sont de 5% par an. On note un la somme d’argent sur le compte après n années.
u0 = 10000
u1 = 10000×1,05 = ________________
u2 = 10500×1,05 =_________________ etc…
u0 u1 u2
×1,05 ×1,05 ×1,05
1) Définition et terme général :
a) Définition : une suite (un) est une suite géométrique s’il existe un réel non nul q tel que pour tout entier naturel n, un+1 = q×un . (q est appelé la raison de la suite
géométrique.) b) Terme général :
Soit (un) une suite géométrique de 1er terme u0 et de raison q.
Pour tout entier n on a un+1 = qun.
• pour n = 0, u1 = qu0
• pour n = 1, u2 = qu1 = q(qu0) = q2u0
• pour n = 2, u3 = q___ =q(________)= q3u0
…
De manière générale, on a donc un = qnu0
Soit (un) une suite géométrique de 1er terme u0et de raison q, alors pour tout entier
naturel n on a : un = qnu0 .
De façon générale, pour tout entier naturel p, on a aussi un = up
2) Somme des premiers termes d’une suite géométrique :
a) Posons Sn = u0 + u1 + … + un la somme des n+1 premiers termes d’une suite géométrique (un) de
raison q.
• Si q = 1, alors pour tout n, un = 1nu0 = u0. Sn = u0 + u1 + … + un = Sn = u0 + u0 + … + u0 = (n+1) u0
• Si q ≠ 1 Sn = – q Sn = Sn – q Sn = Sn – q Sn = (1 – q) Sn = (1 – q) Sn = (1 – q) Sn = u0(1 – qn+1) b) On retient :
La somme des n+1 premiers termes d’une suite géométrique de premier terme u0et de raison q est :
si q ≠ 1, u0 + u1 + … + un= u0 ; si q = 1, u0 + u1 + … + un = (n+1)u0 .
