MATHS
Nom : Prénom : Classe :
Leçons - 5e
1. Enchaînements d'opérations 2. Nombres premiers 3. Triangles 4. Fractions
5. Périmètres et aires des figures usuelles 6. Calculer avec des fractions
7. Symétries axiales et symétries centrales 8. Tableaux de Proportionnalité
9. A la découverte des nombres relatifs
10. Application de la proportionnalité
11. Additionner et soustraire des nombres relatifs 12. Parallélogrammes
13. Probabilités
14. Les bases du calcul littéral 15. Solides et volumes 16. Angles et triangles
17. Algorithmique et programmation
M. SEGALAT
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Enchaînements d'opérations Cycle 4 - 5
eNombres et calculs Cours
I — Vocabulaire
Définition 1 :
• Dans une addition, les nombres qu’on ajoute s’appellent les termes et le résultat s’appelle la somme.
• Dans une soustraction, les nombres qu’on soustrait s’appellent les termes et le résultat s’appelle la différence.
• Dans une multiplication, les nombres qu’on multiplie s’appellent les facteurs et le résultat s’appelle le produit.
• Dans une division d’un nombre a par un nombre b, a s’appelle le dividende ; b, le diviseur et le résultata÷b, le quotient.
Propriété 1 :
• Dans une addition ou une multiplication, l’ordre des nombres utilisés n’est pas important.
• Dans une soustraction ou une division, l’ordre des nombres utilisés est important.
• 2 + 3 = 3 + 2
Attention : 3−2̸= 2−3
• 2×3 = 3×2
Attention : 2÷3̸= 3÷2
II — Calculer une expression
Définition 2 : Une expression est une suite d’opérations enchaînées.
Définition 3 : Calculer une expression, c’est trouver la valeur numérique de cette expression.
• A= 2 + 3×5est une expression mathématique.
• La valeur de cette expression est A= 2 + 3×5 = 2 + 15 = 17.
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III — Calculer une expression sans parenthèse
Propriété 2 : Pour calculer une expression sans parenthèses,
• s’il n’y a que des additions ou des soustractions, on effectue généralement les calculs de la gauche vers la droite ;
• s’il n’y a que des multiplications ou des divisions, on effectue généralement les calculs de la gauche vers la droite ;
• sinon on effectue d’abord les multiplications et les divisions et ensuite les additions et les soustractions.
• 2 + 3−1 = 5−1 = 4
• 5×4÷2 = 20÷2 = 10
• 2 + 3×5 = 2 + 15 = 17
Définition 4 : On dit que les multiplications et les divisions sont prioritaires sur l’addition et la soustraction.
Propriété 3 : L’ordre de priorité dans les calculs est le suivant
× ou ÷ puis + ou −.
12−6 + 2×4÷2 + 1 = 12−6 + 8÷2 + 1
= 12−6 + 4 + 1
= 6 + 4 + 1
= 10 + 1
= 11
IV — Calculer une expression avec des parenthèses
Propriété 4 : Pour calculer une expression avec des parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre ces parenthèses.
• 2 + (6−1) = 2 + 5 = 7
Propriété 5 : S’il y a dans un calcul des parenthèses imbriquées (les unes dans les autres), on commence le calcul par celles qui sont le plus intérieures. On note parfois ces calculs avec des parenthèses et des crochets.
• 2 +[
3−(1 + 1)]
−1 = 2 +[ 3−2]
−1 = 2 + 1−1 = 3−1 = 2.
Propriété 6 : Calculer une expression avec un quotient revient à calculer une expression avec des parenthèses.
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• 2 + 3
2 = (2 + 3)÷2 = 5÷2 = 2,5
• 15
2×5 = 15÷(2×5) = 15÷10 = 1,5
Propriété 7 : L’ordre de priorité dans les calculs est le suivant :
• [.] puis (.),
• × ou ÷,
• + ou −.
12−(6 + 2×4) : 2 + 1 = 12−(6 + 8)÷2 + 1
= 12−14÷2 + 1
= 12−7 + 1
= 5 + 1
= 6.
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Nombres premiers Cycle 4 - 5
eNombres et calculs Cours
I — Multiples et diviseurs
Définition 5 : Si le reste de la division euclidienne d’un entier a par un entierb est zéro, on dit que :
• a est divisible parb
• b est un diviseur de a
• a est un multiple de b.
Le reste de la division de 123 par 3 est 0. On dit donc que :
• 123 est divisible par 3,
• 3 est un diviseur de 123,
• 123 est un multiple de 3.
Propriété 8 :
• Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
• Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
• Un nombre entier est divisible par 4 si ces deux derniers chiffres forment un nombre multiple de 4.
• Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
• Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
• Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
• 148 est un multiple de 2et de 4 car il se termine par 8 et car48 = 4×12.
• 483 est un multiple de 3car 4 + 8 + 3 = 15et 15 = 3×5.
II — Nombres premiers
Définition 6 : Un nombre premier est un nombre qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 60
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Liste des nombres premiers inférieurs à 100 (crible d’Erathostène)
Les nombres premiers inférieurs à 100 sont donc :
• 2
• 3
• 5
• 7
• 11
• 13
• 17
• 19
• 23
• 29
• 31
• 37
• 31
• 37
• 41
• 47
• 53
• 59
• 61
• 67
• 71
• 73
• 79
• 89
• 97 Attention, le nombre 1 n’est pas premier.
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Figure à découper et à coller
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 60
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Liste des nombres premiers inférieurs à 100 (crible d’Erathostène)
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Triangles Cycle 4 - 5
eEspace et géométrie Cours
I — Vocabulaire
Définition 7 : Dans un triangle, on appelle côté opposé à un certain sommet le côté du triangle n’ayant pas pour extrémité ce sommet.
Dans le triangle ABC, le côté opposé au sommet A est le côté [BC].
Définition 8 : Un triangle rectangle est un triangle ayant un angle droit.
Définition 9 : Un triangle isocèle possède deux côtés de même longueur. Le troisième côté est alors appelé la base et le sommet commun aux deux côtés de même longueur est appelé sommet principal.
Définition 10 : Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont de même longueur.
A
B C D E
F
G H
I
Dans la figure précédente,
• ABC est un triangle rectangle enB;
• DEF est un triangle isocèle de sommet principal F;
• GHI est un triangle équilatéral.
Méthode 1 :Quand on demande de tracer une figure en Mathématiques,
• on commence par faire une figure au brouillon et à main levée ;
• dans le cas d’un triangle, on vérifie à l’aide de l’inégalité triangulaire si ce triangle est possible (si on connaît les longueurs des trois côtés) ;
• on trace la figure avec le crayon ou le critérium en utilisant la règle, le rapporteur, l’équerre et le compas ;
• on indique sur la figure les informations (longueurs, angles) qu’on connaît.
• Il est conseillé de ne pas effacer les traits de construction !
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II — Les droites d’un triangle
Hauteur
Définition 11 : Dans un triangle, la hauteur issue d’un sommet est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Propriété 9 : Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes en un point qu’on appelle orthocentre.
Dans le triangle ABC ci-dessous, les trois hauteurs sont concourantes en H.
H est donc l’orthocentre du triangle ABC.
A
B
C H
Médiatrices
Définition 12 : Dans un triangle, la médiatrice d’un côté est la droite perpendiculaire à ce côté en son milieu.
Propriété 10 : Dans un triangle, les trois médiatrices des côtés sont concourantes en un point qu’on appelle centre du cercle circonscrit au triangle.
Définition 13 : Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle passant par les trois sommets du triangle. Son centre est alors le point de concours des médiatrices des côtés du triangle.
Propriété 11 : Le centre du cercle circonscrit à un triangle est équidistant des trois sommets d’un triangle.
Dans le triangle ABC ci-dessous, les trois médiatrices des côtés sont concourantes en O.
O est donc le centre du cercle circonscrit au triangle ABC et OA=OB=OC.
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A
B
C O
Médianes
Définition 14 : Dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite passant par ce sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet.
Propriété 12 : Dans un triangle, les trois médianes des côtés sont concourantes en un point qu’on appelle centre de gravité du triangle.
Dans le triangle ABC ci-dessous, les trois médianes des côtés sont concourantes en G.
G est donc le centre de gravité du triangle ABC. On remarque que
• AG= 2 3GI,
• BG= 2 3BJ,
• CG= 2 3CK.
A
B
C K
I J G
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Bissectrices
Définition 15 :Dans un triangle, la bissectrice d’un angle est la droite ou la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure.
Propriété 13 :Dans un triangle, les trois bissectrices des angles sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit au triangle.
Dans le triangle ABC ci-dessous, les bissectrices des trois angles sont concourantes en Ω (on prononce oméga).
A
B
C Ω
III — Inégalité triangulaire
Propriété 14 : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Ainsi, dans un triangle ABC, on a :
AB < AC+CB, AC < AB+BC, BC < BA+AC.
Cette inégalité permet de déterminer si on peut construire ou pas un triangle.
Propriété 15 : Soit ABC un triangle dont le plus grand côté est [AB].
• Si AB < AC+CB alors on peut construire le triangle ABC.
• Si AB > AC+CB alors on ne peut pas construire le triangleABC.
• Si AB=AC+CB alors le pointC appartient au segment [AB].
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Exercice 1 : Le triangle ABC est-il réalisable ?
A B
C
10,1
4,34 8,06
Correction
[AB] est le plus grand côté.
AC+CB = 8,06 + 4,34 = 12,4>10,1.
DoncAC+CB > AB.
Donc, d’après l’inégalité triangulaire, le triangleABC ci-dessus est réalisable.
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Figures à découper et à coller
A
B C D E
F
G H
I
A
B
C H
A
B
C O
A
B
C K
I J G
A
B
C Ω
Fractions Cycle 4 - 5
eNombres et calculs Cours
I — Vocabulaire
Définition 16 : Une fraction est le rapport (quotient) de deux nombres entiers. On note ces deux nombres l’un sur l’autre séparés par un trait.
• 34
12 est un fraction.
• 3,4
12 n’en est pas une. On dit que c’est le quotient de 3,4 par 12.
Définition 17 : Dans une fraction, le nombre en haut s’appelle le numérateur et le nombre d’en bas s’appelle le dénominateur
Dans le fraction 2 3,
• 2 est le numérateur,
• 3 est le dénominateur.
Définition 18 :
• 1
2 se lit un demi et 1
2 = 0,5.
• 1
3 se lit un tiers et 1
3 ≈0,333.
• 1
4 se lit un quart et 1
4 = 0,25.
• 1
5 se lit un cinquième et 1
5 = 0,2.
II — Fractions égales
Définition 19 : Deux fractions sont dites égales si elles représentent le même nombre.
1 2 = 2
4 = 4
8 = 0,5.
Donc les fractions 1 2, 2
4, 4
8 sont égales.
Propriété 16 : On ne change pas la valeur d’une fraction si on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
4
8 = 2×2
2×4 = 2
4 = 2×1
2×2 = 1 2.
On peut ainsi transformer un quotient de deux nombres décimaux en une fraction : 1,2
3,24 = 1,2×100
3,24×100 = 120 324.
Propriété 17 : Simplifier une fraction revient à trouver la fraction égale dont le numérateur et le dénominateur sont plus petits que ceux de la fraction initiale..
12
18 = 3×4
3×6 = 4 6. On a simplifié la fraction 12
18 en 4 6.
Définition 20 : Une fraction irréductible est une fraction qu’on ne peut plus simplifier.
12
18 = 3×4
3×6 = 4
6 = 2×2
2×3 = 2 3. 2
3 est une fraction irréductible.
Propriété 18 : Pour simplifier une fraction, on peut utiliser les critères de divisibilité :
• Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
• Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
• Un nombre entier est divisible par 4 si ces deux derniers chiffres forment un nombre multiple de 4.
• Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
• Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
• Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
III — Fractions et partage
La fraction 1
4 revient à partager en 4 parts égales et à en considérer une seule. Plusieurs découpages sont possibles.
ou ou ou
La fraction 5
4 revient à partager une quantité en 4 parts égales et à prendre 5. Il faut donc plus d’une quantité :
ou +
+
IV — Prendre la fraction d’un nombre
Propriété 19 : Prendre la fraction d’un nombre revient à calculer le produit de cette fraction par ce nombre.
Prendre les 3
4 de 28 revient à calculer 3
4 ×28. Pour cela, on a trois méthodes :
• On calcule la valeur de la fraction et on fait ensuite le produit : 3
4 = 3÷4 = 0,75 puis 0,75×28 = 21.
• On calcule28÷4 puis on fait le produit par 3 : 28
4 = 28÷4 = 7 puis 7×3 = 21.
• On simplifie le calcul : 3
4 ×28 = 3×28
4 = 3×4×7
4 = 3×4×7
4 = 3×7 = 21.
Attention : il est fortement conseillé d’utiliser la dernière méthode car les deux autres ne donneront pas toujours des résultats exactes.
V — Comparer des fractions
Propriété 20 : Pour comparer deux fractions, on met ces fractions au même dénominateur.
La plus petite fraction est alors celle qui a le plus petit numérateur.
Exercice 2 : Comparer 2 3 et 3
4. Correction
• 2
3 = 2×4 3×4 = 8
12.
• 3
4 = 3×3 4×3 = 9
12.
• 8 12 < 9
12 donc 2 3 < 3
4.
Figures à découper et à coller
ou ou ou
ou +
+
Périmètres et aires
Cycle 4 - 5
eGrandeurs et mesures Cours
I — Périmètres d’un polygone
Définition 21 : Un polygone est une figure plane fermée dont tous les côtés sont des segments.
Définition 22 : Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour. L’unité est générale- ment le cm.
Propriété 21 : Le périmètre d’un polygone est la somme des longueurs de ses côtés.
Propriété 22 : Le périmètre d’un rectangle de largeur ℓ et de longueurL estP = (L+ℓ)×2.
Propriété 23 : Le périmètre d’un carré de côté cestP = 4×c.
II — Périmètre d’un cercle
Définition 23 : π (prononcé pi) est un nombre non décimal dont la valeur arrondi au centième est3,14.
Pour obtenir la valeur de π sur sa calculatrice, on tape qK.
Propriété 24 : le périmètre, aussi appelé circonférence d’un cercle, est égal à :
• P =π×d oùd est le diamètre,
• P = 2×π×R oùR est le rayon.
Exercice 3 : Calculer le périmètre de la figure suivante au mm près.
5 cm
A B
Correction
Cette figure se décompose en deux parties.
• Un segment [AB]de longueur 5 cm.
• Un demi-cercle de diamètre 5 cm. Ce demi-cercle a pour longueur la moitié du périmètre d’un cercle de diamètre 5 cm soit π×5
2 .
Donc le périmètre de figure est
P = 5 +π×5
2 = 5 + 2,5×π≈12,9cm.
Exercice 4 : Calculer le périmètre de la figure suivante au mm près.
5 cm A
B C
Correction
Cette figure se décompose en deux parties.
• Deux segments [AB] et[BC] de longueur5 cm.
• Un quart de cercle de rayon5cm. Ce quart de cercle a pour longueur le quart du périmètre d’un cercle de rayon5 cm soit 2×π×5
4 .
Donc le périmètre de figure est
P = 5 + 5 + 2×π×5
4 = 10 + 2,5×π≈18,9cm.
III — Aires
Définition 24 : La surface d’une figure est la partie située à l’intérieur de cette figure.
Définition 25 : L’aire est une grandeur qui permet de mesurer la surface d’une figure.
Attention à ne pas confondre aire et périmètre.
Définition 26 : L’unité légale d’aire est le mètre-carré noté m2. Il représente la surface d’un carré de côté 1 m.
• 1 dam × 1 dam = 1 dam2.
• 1 dam × 1 dam = 10 m × 10 m = 100 m2.
• Donc 1 dam2=100 m2.
Attention : il y a deux sous-colonnes pour changer d’unités !
• 1 km2 = 1 000 000 m2
• 1 hm2 = 10 000 m2
• 1 dam2 = 100 m2
• 1 dm2 = 0,01 m2
• 1 cm2 = 0,0001 m2
• 1 mm2 = 0,000001 m2
Pour les aires de terrain, de forêt, on utilise aussi d’autres unités :
• l’hectare (noté ha) : 1 ha = 1 hm2=10 000 m2 (un terrain de 100 m par 100 m)
• l’are (noté a) : 1 a = 1 dam2=100 m2 (un terrain de 10 m par 10 m)
Propriété 25 : L’aire d’un rectangle de longueur L et de largeurℓ est A=L×ℓ.
Propriété 26 : L’aire d’un carré de côtéc estA =c×c.
Propriété 27 : L’aire d’un triangle rectangle de côtés de l’angle droit a etb estA= a×b 2 .
Propriété 28 : L’aire d’un triangle quelconque de hauteur h et de base b est A= h×b 2 . Propriété 29 : L’aire d’un parallélogramme de hauteur het de base b estA=h×b.
Propriété 30 : L’aire d’un disque de rayonr(intérieur d’un cercle de rayonr) estA =π×r×r= π×r2.
Propriété 31 : L’aire d’une figure quelconque peut être obtenue en décomposant cette figure en figures plus simples dont on connaît la formule pour calculer l’aire.
Attention : mettre toutes les longueurs dans la même unité avant de calculer.
IV — Formulaire
Parallélogramme
h b
a
P = 2×(a+b) A=h×b.
Rectangle L
ℓ
P = 2×(ℓ+L) A=L×ℓ
Carré c
P = 4×c A=c2
Triangle rectangle
ℓ
L b
P =ℓ+L+b A= L×ℓ
2
Triangle quelconque
b
a h c
P =a+b+c A= b×h
2
Cercle / Disque
r
P = 2×π×r A =π×r2
Figures à découper et à coller
Parallélogramme
h b
a
P = 2×(a+b) A=h×b.
Rectangle L
ℓ
P = 2×(ℓ+L) A=L×ℓ
Carré c
P = 4×c A=c2
Triangle rectangle
ℓ
L b
P =ℓ+L+b A= L×ℓ
2
Triangle quelconque
b
a h c
P =a+b+c A= b×h
2
Cercle / Disque
r
P = 2×π×r A =π×r2
Addition et soustraction de fractions
Cycle 4 - 5
eNombres et calculs Cours
Méthode 2 : Pour additionner ou soustraire deux fractions, on considère leur dénominateur :
• si les deux fractions ont le même dénominateur
– on ajoute ou soustrait les numérateurs et on garde le même dénominateur.
• sinon
– on transforme l’une des deux ou les deux fractions en des fractions équivalentes de manière à obtenir deux fractions ayant le même dénominateur et on se ramène au premier cas.
Dans tous les cas, on simplifie la fraction obtenue pour la rendre irréductible.
• Même dénominateur :
1 2+ 4
2 = 1 + 4 2 = 5
2
• Dénominateurs multiples l’un de l’autre : 1
2 +3
4 = 1×2 2×2 +3
4 = 2 4 +3
4 = 5 4
• Cas général :
2 3 +5
4 = 2×4
3×4 +5×3 4×3 = 8
12+15
12 = 8 + 15 12 = 23
12
• Cas particulier :
2− 2 3 = 2
1 −2
3 = 2×3 1×3 −2
3 = 6 3 − 2
3 = 6−2 3 = 4
3
Symétries axiales et symétries centrales Cycle 4 - 5
eEspace et géométrie Cours
I — Symétrie axiale
Définition 27 : On dit que deux figures sont symétriques par rapport à une droite, si par pliage suivant cette droite, les deux figures se superposent. Cette droite s’appelle alors un axe de symétrie et cette symétrie est appelée symétrie axiale.
Définition 28 : Si les points A et A’ sont symétriques par rapport à la droite (d)alors
• le point A’ est le symétrique du point A par rapport à la droite (d);
• le point A est le symétrique du point A’ par rapport à la droite (d);
• la symétrie est appelée symétrie axiale d’axe (d).
Propriété 32 : Lorsque deux figures sont symétriques, alors
• les longueurs sont conservées,
• les mesures d’angle sont conservées,
• l’alignement de points est conservé,
• la nature des objets mathématiques (triangle, carré, cercle, droite, segment, ...) est conser- vée.
(d) A
B
C
A′
B′
C′ Dans la figure précédente, on a
• les trianglesABC et A′B′C′ sont symétriques par rapport à la droite(d),
• AB=A′B′,
• BAC’ =◊B′A′C′.
II — Tracer le symétrique par rapport à une droite
Propriété 33 : Si deux points A etA′ sont symétriques par rapport à une droite (d) alors (d) est la médiatrice du segment [AA′].
Méthode 3 : Pour tracer le symétrique A′ deA par rapport à la droite (d), 1. on choisit deux pointsM et N sur la droite (d),
2. on trace un arc de cercle de centre M passant par A des deux côtés de la droite (d), 3. on trace un arc de cercle de centre N passant par A des deux côtés de la droite (d).
4. Les deux arcs se coupent en A et en A′.
5. Attention : le symétrique d’un point appartenant à l’axe de symétrie est lui-même.
(d)
A
M
N
A′
Méthode 4 : Le symétrique d’une figure est une figure de même dimension. Pour tracer le symétrique d’une figure par rapport une droite, on trace d’abord le symétrique par rapport à cette droite de chacun des points, des éléments de la figure.
III — Symétrie centrale
Définition 29 : Deux figures sont symétriques par rapport à un point si elles se superposent par demi-tour autour de ce point. Ce point est appelé centre de symétrie.
Définition 30 : Si les points A et A’ sont symétriques par rapport au point O alors
• le point A’ est le symétrique du point A par rapport au pointO;
• le point A est le symétrique du point A’ par rapport au pointO;
• la symétrie est appelée symétrie centrale de centre O.
Propriété 34 : La symétrie centrale conserve les longueurs, l’alignement, les angles et les aires.
• Le symétrique A’ d’un point A par rapport au point O est le point A’ tel que O soit le milieu de [AA’].
• Le symétrique d’un segment par rapport à un point est un segment de même longueur.
• Le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite parallèle.
• Le symétrique d’une figure par rapport à un point est une figure obtenue après un demi-tour autour de ce point. Il a donc les mêmes dimensions et la même forme que la figure initiale.
• Le symétrique d’un polygone par rapport à un point est un polygone de mêmes mesures.
• Le symétrique d’un cercle par rapport à un point est un cercle de même rayon et les centres de deux cercles sont symétriques par rapport à ce point.
O
IV — Tracer le symétrique d’un point par rapport à un autre point
Pour tracer le symétriqueA′ du point A par rapport au pointO : 1. On trace la demi-droite [AO).
2. On reporte avec l’aide du compas la longueur AO de l’autre côté du point O sur la demi- droite[AO). On fait une marque.
3. Le point A′ est alors le point obtenu sur cette demi-droite.
A
O
A
O
A
O
A′
V — Axes et centre de symétrie d’une figure
Définition 31 : Une figure a un axe de symétrie si, en pliant suivant cette droite, les deux parties de la figure se superposent.
Définition 32 : Une figure a un centre de symétrie si elle reste inchangée en faisant un demi-tour de cette figure sur ce point.
Attention : une figure peut avoir plusieurs axes de symétrie mais elle n’aura au plus qu’un seul centre de symétrie.
Rectangle 2 axes de symétrie 1 centre de symétrie
Triangle isocèle 1 axe de symétrie Pas de centre de symétrie
Cercle
Une infinité d’axes de symétrie 1 centre de symétrie
Carré 4 axes de symétrie 1 centre de symétrie
Triangle équilatéral 3 axes de symétrie Pas de centre de symétrie
Figures à découper et à coller
(d) A
B
C
A′
B′
C′
(d)
A
M
N
A′
O
A
O
A
O
A
O
A′
Rectangle 2 axes de symétrie 1 centre de symétrie
Triangle isocèle 1 axe de symétrie Pas de centre de symétrie
Cercle
Une infinité d’axes de symétrie 1 centre de symétrie
Carré 4 axes de symétrie 1 centre de symétrie
Triangle équilatéral 3 axes de symétrie Pas de centre de symétrie
Tableaux de proportionnalité Cycle 4 - 5
eOrganisation et gestion de données, fonctions
Cours
I — Définition
Définition 33 : Un tableau de proportionnalité est un tableau dont le rapport entre deux valeurs correspondantes est constant. Ce rapport est appelé coefficient de proportionnalité.
Les quantitésA et B sont proportionnelles.
A 2 4
B 6 12 Ce tableau est un tableau de proportionnalité.
6 2 = 12
4 = 3.
Le coefficient de proportionnalité est 3 (on passe de la première ligne à la seconde en multipliant par 3).
II — Reconnaître un tableau de proportionnalité
A 3 5
B 6 10 6
3 = 10 5 = 2.
Les rapports sont égaux.
Donc c’est un tableau de proportionnalité.
Donc les quantités A et B sont proportionnelles et le coefficient de proportionnalité est égal à 2.
On suppose que les quantités A et B sont proportionnelles.
C 3 5
D 6 15 6
3 = 2 et 15 5 = 3.
Les rapports ne sont pas égaux.
Donc ce n’est pas un tableau de proportionnalité.
Donc les quantités C et D ne sont pas proportionnelles.
III — Compléter un tableau de proportionnalité
avec le coefficient de proportionnalité
A 2 5 ?
B 6 ? 12
• on calcule le coefficient de proportionnalité : 6 2 =3.
• on calcule 5×3= 15 et 12÷3= 4 :
A 2 5 4
B 6 15 9
en faisant le retour à l’unité
A 2 7
B 6 ?
• on remarque que 2÷2 =1
• on calcule 6÷2 = 3
A 2 1 7
B 6 3 ?
÷2
÷2
• on remarque que 1×7 =7
• on calcule 3×7 = 21
A 2 1 7
B 6 3 21
×7
×7
en additionnant les colonnes
A 2 5 7
B 6 15 ?
+ +
• on remarque que 2 + 5 = 7
• on calcule 6 + 15 =21
A 2 5 7
B 6 15 21
en multipliant une colonne
A 2 8
B 6 ?
×4
×4
• on remarque que 2×4 =8
• on calcule 6×4 = 24
A 2 8
B 6 24
en faisant un produit en croix
A 2 8
B 6 ?
• on calcule ? = 6×8 2 = 48
2 =24
A 2 8
B 6 24
IV — Ratio
Définition 34 : On dit que deux nombres a etb sont dans le ratio 16 :9 si a
b = 16 9 ou a
16 = b 9.
On dit que trois nombres a, b et csont dans le ratio 2 :3 :7 si x
2 = y 3 = z
7.
Exercice 5 : Arthur veut réaliser une vinaigrette de500mL dans laquelle le ratio huile : vinaigre est de 3 : 2. Quelle quantité d’huile et quelle quantité de vinaigre va-t-il utiliser ?
Correction
Un ratio3 : 2 signifie que pour3 doses d’huile, on met 2doses de vinaigre.
Le mélange contient donc 3 + 2 = 5doses.
500÷5 = 100.
Il faut donc que chaque dose fasse100 mL pour que l’on obtienne 500 mL de vinaigrette.
Il y aura donc100×3 = 300mL d’huile et2×100 = 200mL de vinaigre dans cette vinaigrette.
A la découverte des nombres relatifs
Cycle 4 - 5
eNombres et calculs Cours
I — Les nombres relatifs
Définition 35 : Un nombre relatif est composé de deux parties notées entre parenthèses :
• son signe :
– noté + s’il est positif (à droite de zéro), – noté − s’il est négatif (à gauche de zéro).
• sa distance à zéro.
Attention : dans le cas des nombres relatifs positifs, on ne note pas forcément son signe.
II — Placer les nombres relatifs sur une droite graduée
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Attention : les nombres négatifs sont rangés dans l’ordre décroissant de leur distance à zéro.
−4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4.
Définition 36 : Un point sur une droite graduée est repéré par un nombre appelé abscisse du point M. On note M(xM).
A B
1 5
L’abscisse de A est3 et celle de B est7. On note A(3) et B(7).
III — Placer des nombres relatifs dans un repère
Définition 37 :
• On appelle repère la donnée de deux axes gradués sécants en un point appelé origine du repère.
• On appelle repère orthogonal un repère dont les axes sont perpendiculaires.
• On appelle repère orthonormal ou orthonormé un repère dont les axes sont perpendiculaires et dont les graduations sont identiques sur les deux axes.
Définition 38 :
• L’axe horizontal d’un repère est l’axe des abscisses.
• L’axe vertical d’un repère est l’axe des ordonnées.
Définition 39 : Un point M dans un repère est repéré par son abscisse xM et son ordonnée yM. Ces deux nombres sont appelés les coordonnées deM dans le repère et on noteM(xM;yM).
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 x
−4
−3
−2
−1 0 1 2 3 4 y
A
B
Les coordonnées de A sontA(2; 3) et celles deB sont B(−3;−2).
IV — Placer des nombres relatifs sur une sphère
Définition 40 :
• L’équateur est le cercle imaginaire autour de la Terre situé à égale distance des deux pôles.
Un parallèle est un cercle imaginaire parallèle à l’équateur.
• Un méridien est un demi-cercle qui joint les deux pôles. Le méridien de Greenwich est le méridien qui passe par l’Observatoire de Greenwich, près de Londres.
• La latitude est la distance mesurée en degrés qui sépare un parallèle de l’Équateur Elle est positive au dessus de l’Équateur et négative en dessous de l’Équateur
• La longitude est la distance mesurée en degrés qui sépare un méridien du méridien de Greenwich. Elle est positive quand on se situe à gauche du méridien de Greenwich et négative quand on se situe à droite de ce méridien.
• Un point est repéré par les données de sa latitude et de la longitude.
Figure à découper et à coller
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 x
−4
−3
−2
−1 0 1 2 3 4 y
A
B
Applications de la proportionnalité Cycle 4 - 5
eOrganisation et gestion de données, fonctions
Cours
I — Vitesse
Définition 41 : La vitesse moyenne d’un objet sur un trajet est la vitesse de cet objet s’il avait parcouru ce trajet pendant la même durée à une vitesse constante.
Propriété 35 : En notant v la vitesse moyenne, d la longueur du trajet parcouru et t la durée du trajet, on a les formules suivantes :
v = d
t d=v ×t t= d
v. Exercice 6 : Convertir 2 h 36 min en heure décimale.
Correction
2 h 36 min = 2 h + 36 min.
Il faut convertir 36 min en heure.
min 60 36 heure 1 ? Ainsi? = 1×36
60 = 0,6.
Donc 36 min = 0,6 h.
Donc 2 h 36 min = 2,6 h.
Exercice 7 : Convertir 36 km/h en m/s.
Correction
La vitesse est de 36 km/h.
On parcourt donc 36 km en 1 heure.
On parcourt donc 36 000 m en 1 heure (1 km =1 000 m).
On parcourt donc 36 000 m en 3 600 s (1h=3 600 s).
On parcourt donc 36 000
3 600 m en 1 s.
On parcourt donc 10 m en 1 s.
La vitesse est donc de 10 m/s.
II — Échelle
Définition 42 : Sur un plan dit à l’échelle, les longueurs sont proportionnelles aux longueurs réelles. Le coefficient de proportionnalité obtenu en divisant les longueurs sur la carte par les longueurs réelles exprimées dans la même unité s’appelle l’échelle du plan.
• Une échelle de 1/200 signifie que 1 cm sur la carte représente 200 cm dans la réalité.
• Sur un plan à l’échelle 1/10, une longueur de 5 cm représente 5 × 10 = 50 cm dans la réalité.
• Sur un plan à l’échelle 1/10, une longueur de 20 m dans le réalité est représentée par une longueur de 20/10=2 m sur la carte.
III — Pourcentage
Propriété 36 : Un pourcentage de p% traduit une situation de proportionnalité de coefficient de proportionnalité p/100. Ainsi, appliquer un taux de p% revient à multiplier par p/100.
Pour calculer les 30% de 750, on calculer : 30
100 ×750 = 30×750
100 = 225.
Propriété 37 : Pour calculer un pourcentage, on fait un produit en croix pour déterminer une quatrième proportionnelle correspondant au nombre 100.
Exercice 8 : Dans un collège, 225 sur 750 ont pris l’option Latin. Quel est le pourcentage d’élèves ayant pris cette option ?.
Correction
Nombre d’élèves latinistes 225 ? Nombre total d’élèves 750 100
?= 225×100
750 = 30. Ainsi 30% des élèves de ce collège ont pris l’option Latin.
Addition et soustraction de nombres relatifs
Cycle 4 - 5
eNombres et calculs Cours
I — Addition
Propriété 38 : Pour additionner deux nombres relatifs, on regarde leurs signes.
• s’ils sont de même signe, on garde le signe et on ajoute les distances à zéro.
• s’ils sont de signes différents,
– le signe du résultat est celui du nombre ayant la plus grande distance à zéro,
– la distance à zéro du résultat est obtenue en calculant la plus grande distance à zéro moins la plus petite.
• (+2) + (+3) = +(2 + 3) = +5
• (−2) + (−3) = −(2 + 3) =−5
• (−2) + (+3) = +(3−2) = +1
• (+2) + (−3) =−(3−2) =−1
II — Soustraction
Définition 43 : L’opposé d’un nombre relatif est le nombre relatif ayant la même distance à zéro mais de signe différent.
Propriété 39 : La somme d’un nombre relatif et de son opposé est égale à zéro.
• 2et −2sont opposés
• 2 + (−2) = 0
Propriété 40 : Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
• 2−(+5) = 2 + (−5) =−(5−2) =−3
• 3−(−7) = 3 + (+7) = +(7 + 3) = +10 = 10
III — Suppression des parenthèses
Propriété 41 : Pour simplifier l’écriture des nombres relatifs, on peut supprimer les parenthèses.
On écrit alors
(+2) = 2 et(−3) =−3.
Propriété 42 : Quand on supprime des parenthèses précédées du signe +, on supprime ces parenthèses et le signe+puis on recopie ce qu’il y a entre ces parenthèses sans changer les signes.
Propriété 43 : Quand on supprime des parenthèses précédées du signe −, on supprime ces parenthèses et le signe − puis on recopie ce qu’il y a entre ces parenthèses en changeant tous les signes.
(+3) + (+2) = 3 + 2 = 5 (+3) + (−2) = 3−2 = 1 (+3)−(+2) = 3−2 = 1 (+3)−(−2) = 3 + 2 = 5
IV — Addition et soustraction de plus de deux nombres relatifs
Pour faciliter les calculs, on regroupe les nombres positifs et les nombres négatifs entre eux.
Si on a déjà supprimé les parenthèses, on regroupe les additions et les soustractions.
A= (+1)−(+2) + (+3)−(+4) + (+5)−(+6) + (+7) A= (+1) + (−2) + (+3) + (−4) + (+5) + (−6) + (+7)
= (+1) + (+3) + (+5) + (+7) + (−2) + (−4) + (−6)
= (+16) + (−12)
= (+4)
A= 1−2 + 3−4 + 5−6 + 7
= 1 + 3 + 5 + 7−2−4−6
= 16−12
= 4
Parallélogrammes Cycle 4 - 5
eEspace et géométrie Cours
I — Définition
Définition 44 : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
SiABCD est un parallélogramme alors
• les droites (AB) et(DC) sont parallèles,
• les droites (AD)et (BC) sont parallèles.
Inversement, si
• les droites (AB) et (DC) sont parallèles et
• les droites (AD)et (BC) sont parallèles alors ABCD est un parallélogramme.
A
B
C D
II — Propriétés
Propriété 44 : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors il possède un centre de symétrie qui est le point d’intersection de ses diagonales.
A l’aide de cette propriété, on en déduit les propriétés suivantes :
Propriété 45 : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales qui se coupent en leur milieu.
Propriété 46 : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même longueur.
Propriété 47 : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés sont de même mesure.
Propriété 48 : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles consécutifs sont supplémentaires.
ABCD est un parallélogramme donc
• O est le milieu de [AC] et de [BD]
• AB=DC et AC =BD
• DAB’ =BCD’ etABC’ =CDA’
• DAB’ +ABC’ = 180°
A
B
C D
O
III — Propriétés réciproques
Propriété 49 : Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c’est un parallélogramme.
Propriété 50 : Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur alors c’est un parallélogramme.
Propriété 51 : Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés de même longueur et parallèles alors c’est un parallélogramme.
Sur les figures suivantes,ABCD est un parallélogramme mais EF HGn’est pas un parallélo- gramme car c’est un quadrilatère croisé.
A B
D C
E F
H G
Exercice 9 : Le quadrilatère ABCD est tel queAB =CD etAD=BC. Montrer queABCD est un parallélogramme.
Correction
• On sait que : AB=CD et AD=BC
• Or : Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur alors c’est un parallélogramme.
• Donc : ABCD est un parallélogramme.
IV — Caractérisations des figures usuelles
Définition 45 : Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
Propriété 52 : Si un parallélogramme a un angle droit alors c’est un rectangle.
Propriété 53 : Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c’est un rec- tangle.
Définition 46 : Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.
Propriété 54 : Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c’est un losange.
Propriété 55 : Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c’est un losange.
Définition 47 : Un carré est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur et quatre angles droits.
Propriété 56 : Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur alors c’est un carré.
Propriété 57 : Si un rectangle a ses diagonales de même longueur alors c’est un carré.
Propriété 58 : Si un losange a un angle droit alors c’est un carré.
Propriété 59 : Si un losange a ses diagonales de même longueur alors c’est un carré.
V — Synthèse
Si un qua- drilatère a
deux côtés opposés parallèles et de même
longueur ses côtés
opposés parallèles
deux à deux ses côtés
opposés de même longueur deux à
deux
ses diagonales
qui se coupent en leur milieu
ses angles opposés de même
mesure
alors c’est un parallélogramme.
Si un parallélogramme a
deux côtés consécutifs de même longueur ses dia-
gonales perpen- diculaires
deux côtés perpen- diculaires
ses diagonales
de même longueur
alors c’est un losange. alors c’est un rectangle.
Si un losange a Si un rectangle a
deux côtés perpen- diculaires ses
diagonales de même longueur
deux côtés consécutifs de même longueur
ses dia- gonales perpen- diculaires
alors c’est un carré.
Probabilités
Cycle 4 - 5
eOrganisation et gestion de données, fonctions
Cours
I — Définitions
Définition 48 : Une expérience est dite aléatoire lorsqu’on ne connaît pas à l’avance quel résultat va être obtenu.
Expérience : Jeter un dé à 6 faces.
Définition 49 : Le résultat d’une expérience s’appelle une issue.
Les issues de cette expérience sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Définition 50 : Un évènement est l’ensemble des résultats que l’on peut obtenir lors d’une expérience aléatoire. Il est constitué d’une ou plusieurs issues. On dit qu’il est réalisé quand le résultat d’une expérience est l’une des issues qui le composent.
Un évènement peut être “Obtenir un six” ou “obtenir un nombre pair”.
Définition 51 : Un évènement certain est un évènement toujours réalisé : il contient toutes les issues de l’expérience.
L’évènement certain de cette expérience est “Obtenir un nombre entier compris entre 1 et 6”.
Définition 52 : Un évènement impossible est un évènement qui ne se réalise jamais. Il ne contient aucune issue de l’expérience.
Un évènement impossible pourrait être “Obtenir un 7”.
Définition 53 : Un évènement élémentaire est un évènement constitué d’une seule issue.
Un évènement élémentaire pourrait être “Obtenir un 1”.
Définition 54 : L’évènement contraire d’un évènement A est l’évènement qui se réalise quand l’évènement A n’est pas réalisé. On le note A.¯
L’évènement contraire de “Obtenir un 1” est “Obtenir 2, 3, 4, 5 ou 6”.
Définition 55 : Deux évènements sont dits incompatibles quand ils ne peuvent se réaliser en même temps.
“Obtenir un 1” et “Obtenir un 3” sont incompatibles.
II — Probabilités
Définition 56 : La probabilité d’un évènement est un nombre compris entre 0 et 1 qui estime la chance qu’a cet évènement de se produire.
Dans une expérience aléatoire, la probabilité d’un évènementAest notée p(A) et est égale au quotient suivant
p(A) = nombre d’issues favorables à l’évènement A nombre d’issues possibles
Dans l’expérience “Jeter un dé à 6 faces”, la probabilité de l’évènementA=”Obtenir un 1” est égale à
p(A) = 1 6.
Définition 57 : Lorsque chaque évènement élémentaire a la même chance de se réaliser, on dit qu’il y a équiprobabilité.
Dans l’expérience “Jeter un dé à 6 faces”, chaque évènement
• ”Obtenir un 1”,
• ”Obtenir un 2”,
• ”Obtenir un 3”,
• ”Obtenir un 4”,
• ”Obtenir un 5” et
• ”Obtenir un 6”, a la même chance de se produire avec la probabilité
p= 1 6.
III — Arbre de probabilité
Définition 58 : Un arbre de probabilité est un schéma représentant une expérience aléatoire à une ou plusieurs épreuves. Une branche représente un évènement. On appelle chemin une succes- sion de branches.
Définition 59 : Un arbre pondéré est un arbre de probabilité sur lequel on fait apparaître les probabilités de chaque évènement.
Propriété 60 : Sur un arbre pondéré, la probabilité d’un évènement est égale au produit des probabilités indiquées sur les branches du chemin qui conduit à cet évènement.
Expérience : Lancer une pièce deux fois et noter à chaque fois si elle tombe sur pile (P) ou sur face (F). Si la pièce est bien équilibrée (c’est à dire non truquée), les évènements
• “P : Obtenir pile”
• “F : Obtenir face”
sont équiprobables :
p(P) =p(F) = 1 2. L’arbre pondéré correspondant à cette expérience est alors :
P
P 1
2
F 1
1 2 2
F
P 1
2
F 1
2 1
2
p(P et P) = 1 2× 1
2 = 1 4
p(P et F) = 1 2× 1
2 = 1 4
p(F et P) = 1 2× 1
2 = 1 4
p(F et F) = 1 2× 1
2 = 1 4
Ainsi, si on considère l’évènementA=”Obtenir pile puis face”, sa probabilité est p(A) = p(P etF) = 1
2 × 1 2 = 1
4.
Introduction au calcul littéral
Cycle 4 - 5
eNombres et calculs Cours
I — Vocabulaire
Définition 60 : Une expression numérique est une suite de calculs mathématiques dans laquelle n’interviennent que des nombres.
Définition 61 : Une expression littérale est une suite de calculs mathématiques dans laquelle interviennent des nombres et de lettres. Ces lettres désignent des nombres dont on ne connaît pas la valeur. Ces lettres sont appelées des variables et sont souvent notées x, y,z.
• Attention : on n’écrit pas le symbole ×devant des parenthèses ou devant une lettre : – 2×x s’écrit simplement 2x.
– 2×(3×x+ 4) s’écrit 2(3x4).
• Attention : on n’écrit pas 1x mais seulementx.
II — Égalité
Définition 62 : Une égalité est constituée de deux expressions mathématiques séparées par un signe =. Chaque expression est alors appelée membre : membre de gauche ou premier membre et membre de droite ou second membre. Les deux membres de l’égalité doivent avoir la même valeur.
Définition 63 : Pour tester si une égalité est vraie, on remplace la ou les lettres par la ou les valeurs proposées. On calcule séparément chaque membre.
• Si les deux membres ont la même valeur, l’égalité est vraie pour ces nombres.
• Si les deux membres n’ont pas la même valeur, l’égalité est fausse pour ces nombres.
Prenons l’égalité 3x+ 1 = 4x.
• Si x= 1 alors
– 3x+ 1 = 3×1 + 1 = 4 – 4x= 4×1 = 4.
– Il y a égalité.
– Donc l’égalité est vraie pour x= 1.
• Si x= 2 alors
– 3x+ 1 = 3×2 + 1 = 7 – 4x= 4×2 = 8.
– Il n’y a pas égalité.
– Donc l’égalité est fausse pour x= 2.
Volumes
Cycle 4 - 5
eGrandeurs et mesures Cours
Définition 64 : Un prisme droit est un solide qui a
• deux faces parallèles et superposables qui sont des polygones appelées bases ;
• des faces rectangulaires perpendiculaires aux bases, appelées faces latérales.
h
Prisme de hauteur h.
Définition 65 : Un cylindre droit ou cylindre de révolution est un solide qui a
• deux disques superposables appelés bases ;
• une surface entourant les bases dont le patron est un rectangle appelée surface latérale.
r
h
Cylindre de révolution de hauteurh et de rayon r.
Définition 66 : Un cône de révolution est un solide qui a
• une base qui est un disque ;
• une surface latérale ;
• un sommet.
h
r
Cône de révolution d’hauteur h et de rayon r.
°MubunTeX
Définition 67 : Une pyramide est un solide qui a
• une base qui est un polygone ;
• des faces latérales qui ont un sommet commun qui est le sommet de la pyramide.
h
Pyramide à base carrée de hauteur h
Définition 68 : L’unité de volume usuelle est le mètre cube notée m3. Elle correspond au volume d’un cube d’un mètre d’arête.
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Le cube
c
V =c3 =c×c×c
Le pavé droit (parallélépipède rectangle)
h
L
ℓ V =L×ℓ×h Le prisme droit
h
V =ABase×h
Le cylindre r
h
V =π×r2×h
La pyramide
h
V = ABase×h 3
Le cône
h
r
V = π×r2×h 3
Figures à découper et à coller
h
Prisme de hauteurh.
r
h
Cylindre de révolution de hauteur h et de rayon r.
h
r
Cône de révolution d’hauteur h et de rayon r.
h
Pyramide à base carrée de hauteur h
Le cube
c
V =c3 =c×c×c
Le pavé droit (parallélépipède rectangle)
h
L
ℓ V =L×ℓ×h Le prisme droit
h
V =ABase×h
Le cylindre r
h
V =π×r2×h La pyramide
h
V = ABase×h 3
Le cône
h
r
V = π×r2×h 3
Angles et triangles Cycle 4 - 5
eEspace et géométrie Cours
I — Egalités d’angles
Angles alternes - internes : à rédiger !
II — Propriété
Propriété 61 : Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°.
A
B
C
Dans le triangle ABC, on aBCA’ +ABC’+CAB’ = 180°.
Exercice 10 : Peut-on tracer le triangle BOP tel que
• OBP’ = 100°,
• BP O’ = 30°,
• P OB’ = 60° ? Correction
BP O’ +P OB’ +OBP’ = 30 + 60 + 100 = 190̸= 180.
Or, dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°.
Ce triangle n’est donc pas réalisable.
Exercice 11 : Calculer la mesure de l’angleCSP’ à l’aide de la figure suivante :
P
C
S 40°
30°
Correction
Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°.
P CS’+CSP’+SP C’ = 180 40 +CSP’+ 30 = 180 CSP’+ 70 = 180
CSP’ = 180−70 = 110
DoncCSP’ = 110°.
III — Cas des triangles particuliers
Définition 69 : On dit que deux angles sont supplémentaires si la somme de ces deux angles est égale à 180°.
Définition 70 : On dit que deux angles sont complémentaires si la somme de ces deux angles est égale à 90°.
Propriété 62 : Dans un triangle rectangle, la somme des deux angles aigus est égale à 90°. On dit qu’ils sont complémentaires.
A
B C
Dans le triangle ABC rectangle en B, on a BAC’+ACB’ = 90°.
Ces deux angles sont dits complémentaires.
Propriété 63 : Dans un triangle équilatéral, tous les angles sont égaux à 60°.
A
B C
60°
60°
60°
Dans le triangle équilatéral ABC, on a ABC’ =BCA’ =CAB’ = 60°.
Propriété 64 : Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont de même mesure.
B C
A ABC est un triangle isocèle en A :
• A est le sommet principal,
• AB=AC,
• [BC] est appelé la base
• ABC’ =ACB.’ Exercice 12 : Calculer l’angle ’SP V dans le triangle suivant.
S V
P
38°
Correction
PSV est un triangle isocèle en P. Donc les deux angles à la base sont de même mesure.
DoncP SV’ =P V S’= 38°.
Or, dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°.
DoncSP V’ = 180−P SV’−P V S’= 180−38−38 = 180−76 = 104°.
