Le système d’Euler de Kato

Shanwen WANG

Le système d’Euler de Kato Tome 25, n^o3 (2013), p. 677-758.

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Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 25 (2013), 677–758

Le système d’Euler de Kato

parShanwenWANG

Résumé. Ce texte est consacré au système d’Euler de Kato, construit à partir des unités modulaires, et à son image par l’ap- plication exponentielle duale (loi de réciprocité explicite de Kato).

La présentation que nous en donnons est sensiblement différente de la présentation originelle de Kato.

Abstract.Kato’s Euler system.

This article is devoted to Kato’s Euler system, which is con- structed from modular units, and to its image by the dual ex- ponential map (so-called Kato’s reciprocity law). The presenta- tion in this article is different from Kato’s oringinal one, and the dual exponential map in this article is a modification of Colmez’s construction in his Bourbaki talk.

Table des matières

1. Notations et Introduction 678

1.1. Notations 678

1.2. Introduction 680

1.3. Remerciements 686

2. Système d’Euler de Kato 686

2.1. Séries d’Eisenstein-Kronecker et la distribution z_Eis 686 2.2. Unités de Siegel et distribution z_Siegel 698

2.3. Théorie de Kummer p-adique 703

3. Les anneaux de Fontaine 708

3.1. Le corps K et les formes modulaires 708

3.2. Application de la construction de Fontaine à l’anneau K⁺ 716

3.3. Une application logarithme log 721

4. Cohomologie des représentations du groupe P_KM 723 4.1. Cohomologie des représentations analytiques du groupe P_m 725 4.2. Cohomologie des B⁺_dR(K⁺_{M p}∞)-représentations du groupe PK_M 736 5. La loi de réciprocité explicite de Kato 739 5.1. Construction de l’application exponentielle duale de Kato 739 5.2. Application au système d’Euler de Kato 742

Bibliographie 757

Manuscrit reçu le 1^eroctobre 2011, révisé le 5 mars 2013.

Wang

1. Notations et Introduction

1.1. Notations. On noteQla clôture algébrique deQdansC, et on fixe, pour tout nombre premierp, une clôture algébriqueQp de Qp, ainsi qu’un plongement deQdans Qp.

SiN ∈N, on note ζ_N la racineN-ièmee^2iπ/N ∈Qde l’unité, et on note Q^cycl l’extension cyclotomique de Q, réunion des Q(ζ_N), pour N ≥1, ainsi queQ^cyclp l’extension cyclotomique de Qp, réunion deQp(ζ_N), pour N ≥1.

1.1.1. Objets adéliques. Soient P l’ensemble des nombres premiers de Z et ˆZ le complété profini de Z, alors ˆZ=^Q_p∈PZp. SoitAf l’anneau des adèles finis deQ(le produit restreint desQp par rapport aux sous-anneaux Zp de Qp). Quel que soit x ∈ Af, on note xp (resp. x^]p[) la composante de x en p (resp. en dehors dep). Notons ˆZ^]p[=^Q_l6=pZl etA^p_f =Q⊗Zˆ^]p[. On a donc ˆZ=Zp×Zˆ^]p[ etAf =Qp×A^p_f. Cela induit les décompositions suivantes : pour toutd≥1,

M_d(Af) =M_d(Qp)×M_d(A^p_f) et GL_d(Af) = GL_d(Qp)×GL_d(A^p_f).

On définit les sous-ensembles suivants deAf etM₂(Af) : Zˆ^(p) =Z^∗p×Zˆ^]p[ etM₂(ˆZ)^(p)= GL₂(Zp)×M₂(ˆZ^]p[), A^(p)_f =Z^∗p×(A^p_f) et M₂(Af)^(p)= GL₂(Zp)×M₂(A^p_f).

1.1.2. Actions de groupes. Soient X un espace topologique localement profini, V un Z-module. On note LC_c(X, V) le module des fonctions lo- calement constantes sur X à valeurs dans V dont le support est compact dansX. On noteD_alg(X, V) l’ensemble des distributions algébriques surX à valeurs dans V, c’est à dire, des applications Z-linéaires de LC_c(X,Z) à valeurs dans V. On note^R_Xφµla valeur de µsur φ, où µ∈D_alg(X, V) et φ∈LC_c(X,Z).

Soit G un groupe localement profini, agissant continûment à droite sur XetV. On munit LC_c(X,Z) etD_alg(X, V) d’actions deGà droite comme suit :

sig∈G, x∈X, φ∈LC_c(X,Z), µ∈D_alg(X, V),alors (1.1) (φ∗g)(x) =φ(x∗g⁻¹) et

Z

X

φ(µ∗g) = Z

X

(φ∗g⁻¹)µ∗g.

1.1.3. Formes modulaires. SoientAun sous-anneau deCet Γ un sous- groupe d’indice fini de SL₂(Z). On note M_k(Γ,C) leC-espace vectoriel des formes modulaires de poids k pour Γ. On note aussi M_k(Γ, A) le sous A- module de M_k(Γ,C) des formes modulaires dont leq-développement à la pointe i∞ est à coefficients dans A. On pose M(Γ, A) = ⊕^+∞_k=0M_k(Γ, A).

Et on noteM_k(A) (resp.M(A)) la réunion desM_k(Γ, A) (resp.M(Γ, A)), où Γ décrit tous les sous-groupes d’indice fini de SL₂(Z). On peut munir

l’algèbreM(C) d’une action de GL₂(Q)₊={γ ∈GL₂(Q)|detγ >0} de la façon suivante :

(1.2) f ∗γ = (detγ)^1−kf_|kγ, pour f ∈ M_k(C) et γ ∈GL₂(Q)₊, où f_|kγ est l’action modulaire usuelle de GL₂(R)₊ (voir section §2.1.1 la formule (2.1)).

Définition 1.1. Soient N ≥1 et Γ(N) ={ ^{a b}_{c d}∈ SL₂(Z), ^{a b}_{c d} ≡ ^{1 0}_{0 1} mod N}. Le groupe Γ(N) est un sous-groupe de SL₂(Z) d’indice fini. On dit qu’un sous-groupe Γ de SL₂(Z) est un sous-groupe de congruence s’il contient Γ(N) pour un certain N ≥1. On note S^cong l’ensemble des sous- groupes de congruence.

Exemple 1.2. Les sous-groupes Γ₀(N) ={γ ∈SL₂(Z)|γ ≡(^{∗ ∗}_0∗) modN} et Γ₁(N) = {γ ∈ SL₂(Z)|γ ≡ (¹_{0 1}^∗) mod N} sont des sous-groupes de congruences.

On définit de même : M^cong_k (A) = ^[

Γ∈S^cong

M_k(Γ, A) et M^cong(A) =⊕^+∞_k=0M^cong_k (A).

Soit K un sous-corps de C et soit K la clôture algébrique de K. On note Π_K le groupe des automorphismes de M(K) sur M(SL₂(Z), K) ; c’est un groupe profini. On note Π⁰

Q le groupe des automorphismes de M(Q) en- gendré par Π_Q et GL₂(Q)₊ muni d’une topologie pour laquelle Π_Q est un sous-groupe ouvert. Plus généralement, si S ⊂ P est fini, on note Π^(S)

Q le sous-groupe de Π⁰

Q engendré par Π_Q et GL₂(Z^(S))₊, où Z^(S) est le sous- anneau de Q obtenu en inversant tous les nombres premiers qui n’appar- tiennent pas à S.

1.1.4. Objets p-adiques. Soitqune variable. On noteK⁺=Qp{^q_p}l’an- neau des fonctions analytiques sur le disque fermé {q ∈ Cp : vp(q) ≥ 1}, que l’on munit de la valuation spectralev_p (i.e. v_p(f) = inf_vp(q)≥1v_p(f(q)) ). On noteKle complété du corps des fractions deK⁺. On fixe une clôture algébriqueKdeKet on noteK⁺la clôture intégrale deK⁺dansK. On note G_K le groupe de Galois deKsur K.

On choisit un système compatible (q_M)_M≥1 de racines M-ièmes de q dansK⁺ (i.e. q^N_{N M} =qM, pour tous N, M ≥1). On note FM =Qp(ζM) et F_{M p}^∞ =∪_n≥1F_{M p}ⁿ. Soit K_M =K[q_M, ζ_M] ; c’est une extension galoisienne de K. On note K_∞ la réunion des K_M pour tous M ≥ 1, K⁺_∞ la clôture intégrale de K⁺ dans K_∞, P_Qp le groupe de Galois de QpK_∞ sur K, ainsi queP^cycl

Qp le groupe galois deK_∞ sur K.

L’application qui à une forme modulaire associe son q-développement, nous fournit une inclusion deM(Q) dans QpK∞ et un morphisme P_Qp →

Wang

Π_Q car P_Qp préserve l’espace M(Q). Ceci induit un morphismeG_K → Π_Q et un morphisme "de localisation" Hⁱ(Π_Q, W)→Hⁱ(G_K, W) pour tout Π_Q- moduleW et touti∈N(cf. §3.1.1).

Enfin, on noteK⁺ =Qp[[q]] le complétéq-adique deK⁺,K_M⁺ le complété q-adique de K⁺_M =K⁺[ζ_M, q_M] pour M ≥1 un entier, K⁺_∞ la réunion des K⁺_M pour tout M ≥ 1, ainsi que K⁺_{M p}∞ la réunion des K⁺_{M p}n pour tout n≥1.

1.2. Introduction.

1.2.1. Fonctions L p-adiques de formes modulaires. Soit N ≥ 1 et soit un caractère de Dirichlet modulo N. Soit f(τ) = ^P+∞_n=1anqⁿ ∈ Sk(Γ₀(N), ) une forme primitive de poidsk≥2 avec q=e^2iπτ. Soientα, β les racines du polynômeX²−a_pX+(p)p^k−1. Supposonsv_p(α)< k−1, on pose fα(τ) = f(τ)−βf(pτ). C’est une forme de niveau N p, propre pour tous lesT_l, normalisée, et avec la valeur propreαpourU_p. Soit^P+∞_n=1b_nq^n/N le q-développement de fα. Comme vp(α) < k−1 (en particulier α 6= 0), on peut prolonger n 7→ b_n en une fonction sur Z[¹_p] en forçant l’équation fonctionelle b_np=αb_n.

Soit φ∈LC_c(Qp,Q) une fonction localement constante à support com- pact dans Qp, à valeurs dans Q. On définit la fonction L complexe de la forme modulaire f associée àφetα, par la formule

L(f_α, φ, s) = ^X

n∈Z[¹_p]

φ(n)b_nn^−s.

La série converge pour Re(s) > ^k+1₂ et la fonction L(f_α, φ, s) admet un prolongement analytique à tout le plan complexe. De plus, il existe des nombres complexes non nuls Ω⁺_f,Ω⁻_f permettant de rendre algébriques les valeurs spécialesL(f_α, φ, j) de L(f_α, φ, s), pour 1≤j ≤k−1. Plus préci- sément (cf. [8, Thm.1] ), siφ∈LC_c(Qp,Q) et si 1≤j≤k−1, alors

Γ(j)

(−2iπ)^jL(f, φ, j)∈ (

Q(fα, ζN)·Ω⁺_f, siφ(−x) = (−1)^j+1φ(x) Q(f_α, ζ_N)·Ω⁻_f, siφ(−x) = (−1)^jφ(x).

On pose L(f˜ α, φ, j) = 1

2 Γ(j)

(−2iπ)^j(L(fα, φ−(−1)^jφ⁻¹, j)

Ω⁺_f +L(fα, φ+ (−1)^jφ⁻¹, j)

Ω⁻_f ),

oùφ⁻¹(x) =φ(−x), ce qui est à valeurs dansQet permet de le considérer comme un nombre p-adique.

On définit une transformée de Fourier de LC_c(Qp,Qp) dans LC_c(Qp,Qp) par la formule

φ(x) =ˆ Z

Qp

φ(y)e^−2iπxydy=p^{−m X}

y modp^m

φ(y)e^−2iπxy, oùm∈Nest assez grand.

Rappelons que la transformée d’Amice nous donne un isomorphisme entre l’algèbre des distributions sur Zp à valeurs dans une extension fi- nie L de Qp et l’anneau R⁺_L des fonctions localement analytiques sur la boule ouvertev_p(T)>0 à coefficients dansL:

A:D(Zp, L)∼=R⁺_L;µ7→ A_µ(T) = Z

Zp

(1 +T)^xµ.

Une distributionµsurZp est d’ordreksi sa transformée d’AmiceA_µ(T) = P+∞

n=0a_nTⁿest d’ordrek(i.e. la suite de terme générale{v_p(a_n) +klog_pn}

est minorée.)

Théorème 1.3. Si vp(α) < k−1, il existe une unique distribution µf,α

d’ordrev_p(α) sur Zp, telle que l’on ait Z

Zp

φ(x)x^j−1µf,α = ˜L(fα,φ, j),ˆ

quels que soient φ ∈ LC(Zp,Qp), et 1 ≤ j ≤ k−1. De plus, quel que soit φ une fonction localement analytique sur Zp à valeurs dans Qp, on a R

pZpφ(p⁻¹x)µ_f,α =α^−1R

Zpφ(x)µ_f,α.

Ce théorème signifie l’existence de l’interpolation p-adique des valeurs spéciales de la fonctionLcomplexe defα. En particulier, on peut construire la fonctionL p-adique de f associée àα et à un caractère localement ana- lytiqueφ:Z^∗p→Qp ,

L_p,α(f, φ, s) = Z

Z^∗p

φ(x)hxi^s−1µ_f,α, oùhxi^s−1 = exp((s−1) loghxi) et s∈Zp.

La démonstration du théorème 1.3 a été donnée par plusieurs personnes via des méthodes très différentes (cf. [8, Thm. 4] pour une introduction rapide sur ces méthodes). La manière classique (Mazur et Swinnerton-Dyer [15], Manin [14], Amice et Vélu [1], Vishik [27], Mazur-Tate-Teitelbaum [16]) est à utiliser la théorie de symboles modulaires pour démontrer l’exis- tence d’un réseau de QΩ⁺_f +QΩ⁻_f contenant les ^R_i∞^r τ^jf(τ)dτ, pour r ∈Q et 0≤j≤k−2, ce qui fournit les résultats d’intégralité dont on a besoin pour démontrer l’existence de µ_f,α. On dispose une seconde construction, dûe à Kato [11] (cf. aussi Scholl [23]), qui repose sur la construction d’un système d’Euler (via la K-théorie) et sur une loi de réciprocité explicite

Wang

résultant d’un calcul délicat dans les anneaux de Fontaine, qui permet de montrer que la machine à fonctions Lp-adiques de Perrin-Riou [19] fournit naturellement la distributionµ_f,α quand on l’applique au système d’Euler de Kato. Colmez a esquissé dans [6] une variante de la méthode de Kato, et ce texte est consacré à vérifier que cette esquisse, convenablement modifiée, conduit¹ bien au résultat de Kato.

1.2.2. Le système d’Euler de Kato. En bref, un système d’Euler est une collection de classes de cohomologie vérifiant une relation de distribu- tion. On construit le système d’Euler de Kato comme suit :

À partir des unités de Siegel, on construit une distribution algé- brique z_Siegel sur A²_f −(0,0) à valeurs dans Q⊗(M( ¯Q)[_∆¹])^∗, où ∆ = q^Q_n≥1(1−qⁿ)²⁴ est la forme modulaire de poids 12. Cette distribution z_Siegel est invariante sous l’action du groupe Π⁰

Q. La théorie de Kummer p-adique nous fournit un élément

z_Siegel^(p) ∈H¹(Π⁰

Q,D_alg(A²f −(0,0),Qp(1))).

Par cup-produit et restriction à Π^(p)

Q ⊂Π⁰

Q etM₂(Af)^(p)⊂(A²_f −(0,0))², on obtient une distribution algébrique :

zKato∈H²(Π^(p)

Q ,D_alg(M₂(Af)^(p),Qp(2))).

En modifiantzKatopar un opérateur (c²−hc,1i)(d²−h1, di) (cf.§2.3.2 ) qui fait disparaître les dénominateurs, on obtient une distribution algébrique à valeurs dans Zp(2) (que l’on peut donc voir comme une mesure), et une torsion à la Soulé nous fournit enfin un élément

z_Kato,c,d(k, j)∈H²(Π^(p)

Q ,D_alg(M₂(Af)^(p), V_k,j)),

où V_k,j = Sym^k−2V_p⊗Qp(2−j), où V_p est la représentation standard de dimension 2 de GL₂(Zp).

1.2.3. La loi de réciprocité explicite de Kato. La loi de réciprocité explicite de Kato consiste à relier l’élément z_Kato,c,d(k, j), qui vit dans la cohomologie du groupe Π^(p)

Q , à une distribution construite à partir de produits de deux séries d’Eisenstein (le produit scalaire de Petersson d’une forme primitive avec un tel produit fait apparaître les valeurs spéciales de la fonctionLdef, et c’est cela qui permettrait de construire la fonctionL p-adique). Ceci se fait en plusieurs étapes :

• On commence par “localiser” notre classe de cohomologie à G_K et à étendre les coefficients de V_k,j àB⁺_dR(V_k,j) :=B⁺_dR(¯K⁺)⊗V_k,j, où B⁺_dR(¯K⁺) est un énorme anneau de Fontaine.

1. Sauf l’identification de exp^∗_BKet exp^∗_Kato. Pour plus de détails, voir §1.2.5.

•On constate que l’image de z_Kato,c,d(k, j) sous l’application "de locali- sation"

H²(Π^(p)

Q ,D_alg(M₂(Af)^(p), V_k,j))→H²(G_K,D_alg(M₂(Af)^(p),B⁺_dR(V_k,j))) est l’inflation d’un 2-cocycle surP^cycl

Qp à valeurs dansD_alg(M₂(Af)^(p),V˜_k,j), où ˜Vk,j = B⁺_dR(K⁺_∞) ⊗Vk,j. Les méthodes de descente presque étale de Tate [26] et Sen [24], revisitées par Faltings [10] (cf. aussi Andreatta- Iovita [4]) permettraient de montrer que c’est toujours le cas, mais nous donnons une preuve directe pour l’élément de Kato (cf. la construction dans§5.2).

•On construit une application exponentielle duale (cf. § 5.1) :

exp^∗_Kato: H²(P_Qp,D_alg(M₂(Af)^(p),V˜k,j))→H⁰(P_Qp,D_alg(M₂(Af)^(p),K⁺_∞));

et on calcule l’image de z_Kato,c,d(k, j). On obtient finalement le résultat fondamental suivant :

Théorème 1.4. Si k≥2, 1≤j≤k−1, etc, d∈Z^∗p, on a : exp^∗_Kato(z_Kato,c,d(k, j)) =z_Eis,c,d^(p) (k, j),

où z_Eis,c,d^(p) (k, j) ∈ H⁰(G_K,D_alg(M₂(Af)^(p),K⁺_∞)) est la localisée d’une dis- tribution z_Eis,c,d(k, j) sur M₂(Af), à valeurs dans M^cong_k (Q^cyclp ) ⊂ K⁺_∞, invariante sous l’action deΠ_Q.

1.2.4. La cohomologie deP_m. SoitM ≥1 tel quev_p(M) =m≥v_p(2p).

On note K_{M p}^∞ = ∪n≥1K_{M p}ⁿ. La définition de l’application exp^∗_Kato et le calcul de l’image dez_Kato,c,d(k, j) reposent sur une description explicite de la cohomologie du groupe de Galois P_KM de l’extension K_{M p}^∞/K_M; c’est un groupe analytique p-adique de rang 2, isomorphe à

P_m={(^{a b}_{c d})∈GL₂(Zp) :a= 1, c= 0, b∈p^mZp, d∈1 +p^mZp}.

Si u, v ∈ p^mZp, on pose (u, v) l’élément ¹_0e^uv

de P_m. Soit V une repré- sentation analytique de P_m. On dispose deux opérateurs∂i:V →V, pour i= 1,2, définis par :

x∗(u, v) =x+u∂₁x+v∂₂x+O((u, v)²),

oùO((u, v)²) est une fonction analytique sur P_mde valuation≥2 à valeurs dans V. On démontre le résultat très utile suivant :

Théorème 1.5 (Prop.4.10). Soit V une représentation analytique de P_m. Alors

(i) Tout élément deH²(P_m, V) est représentable par un2-cocycle analy- tique ;

Wang

(ii) On a H²(P_m, V) ∼= V /(∂₁, ∂₂ −1), et l’image d’un 2-cocycle analy- tique

((u, v),(x, y))→c(u,v),(x,y)= ^X

i+j+k+l≥2

ci,j,k,luⁱv^jx^ky^l,

par cet isomorphisme, est celle deδ⁽²⁾(c(u,v),(x,y)) =c_1,0,0,1−c_0,1,1,0. 1.2.5. Survol de la méthode de Kato et sa variante de Colmez.

Nous donnerons un survol vague de la démonstration du théorème 1.3 pour expliquer le rôle du théorème 1.4 dans la méthode de Kato. Pour plus de détails, on renvoie le lecteur à [11] et [6].

• Sik ≥2 et 1≤j ≤k−1, Kato [11] a construit un système cohérent cM(k, j) ∈ H²_et(Y(M), Wk,j), où Wk,j est le système local sur la courbe modulaire Y(M) de niveauM dans la cohomologie du lequel on découpe les représentations p-adiques associées aux formes modulaires de poids k et de niveau M d’après Deligne [9]. Ensuite, il dispose d’une application exponentielle duale :

(1.3) exp^∗_Kato: H_´²_et(Y(M), Wk,j)→H_´²_et(Y(M),B⁺_dR(K)⊗Wk,j)→KM, avec KM = K[ζ_M, q_M] et K la clôture algébrique de K, où K est le com- plété p-adique du corps des fractions de Zp[[q]][q⁻¹]. Dans son exposé de Bourbaki [6], Colmez a reformulé cette application par la méthode de Tate- Sen-Colmez pour le corpsKet il a ésquissé une preuve du théorème 1.4. Sa méthode est très belle ; en revanche, le 2-cocycle qu’il a explicité (cf.§5.2) n’appartient pas à son groupe de cohomologie. Cela nous oblige à augmen- ter la taille du corpsKet à reconstruire l’application exp^∗_Katopour l’anneau K⁺ suivant l’idée de Colmez.

D’autre part, si V est une représentation de de Rham de G_FM, on a l’application exponentielle duale de Bloch-Kato :

exp^∗_BK: H¹(G_FM,B⁺_dR(Qp)⊗V)∼= H⁰(G_FM,B⁺_dR(Qp)⊗V) =:D_dR⁺ (V), dont l’inverse est donné par le cup-produit avec logχ_cycl ∈ H¹(G_FM,Qp).

En plus, Kato [11] a vérifié que le diagramme suivant est commutatif : H²_´et(Y(M), W_k,j) ^//H¹(G_FM,B⁺_dR(Qp)⊗H_´¹_et(Y(M)

Q, W_k,j))

exp^∗_Kato

exp^∗_BK

ssggggggggggggggggggggg

D_dR⁺ (H¹_´et(Y(M)

Q, W_k,j))

KM

M_k(Γ(M),Q)⊗Qp

33g

gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg

Ceci lui permet d’identifier les deux applications exponentielles. En re- vanche, je ne sais pas comment comparer exp^∗_BK et la nouvelle exp^∗_Kato.

On identifie exp^∗_BKet exp^∗_Katoet on projette le système d’Euler de Kato sur la composante à la forme primitivef. Ceci demande de calculer le pro- duit scalaire de Pertersson def avec un produit de deux séries d’Eisenstein, ce qui se fait au moyen de la méthode de Rankin et le résultat fait inter- venir les valeurs spéciales des fonction L attachées à f et ses tordues des caractères de Dirichlet.

• SoitL une extension finie de Qp. On noteR_L (resp. E_L^†) l’anneau des f(T) = ^P

n∈Z

a_nTⁿdes fonctions analytiques (resp. analytiques bornées pour la valuationvp(f) = infvp(an)) sur une couronne du type 0< vp(T) ≤r, oùrdépend def eta_nsont des éléments deL. On les munit d’un Frobenius ϕet d’une action de Γ = Gal(Qp(ζ_p^∞)/Qp) via les formules :

ϕ(^X

k∈Z

akT^k) =^X

k∈Z

ak((1 +T)^p−1)^k et

γ(^X

k∈Z

a_kT^k) =^X

k∈Z

a_k((1 +T)^χcycl(γ)−1)^k. Ces actions commutent entre elles.

Un (ϕ,Γ)-module étale sur E_L^† est un E_L^†-espace vectoriel D de dimen- sion finiedmuni d’actions semi-linéaires de ϕ et Γ commutant entre elles, verifiant que la matrice de ϕ sous une certaine base de D appartient à GL_d(O_E†

L

) avec O_E† L

= {f ∈ E_L^†|v_p(f) = infvp(ak) ≥ 0}. Sur un (ϕ,Γ)- module étale surE_L^†, il existe un opérateur ψcommuntant avec l’action de Γ, qui est l’inverse à gauche deϕ.

La théorie d’Iwasawa et la théorie de (ϕ,Γ)-modules (cf. [5]) nous four- nissent un isomorphisme :

Exp^∗: H¹_Iw(Qp, V) = H¹(G_Qp,D₀(Z^∗p, V))∼=D^†(V)^ψ=1,

avecV une L-représentation deG_Qp etD₀(Z^∗p, V) l’algèbre des mesures sur Z^∗_p à valeurs dansV.

SoitV une L-représentation cristalline deG_Qp. Une analyse délicate (cf.

[6, §4.4]) de la structure deD^†(V)^ψ=1 fournit une candidate pour la distri- bution voulue dans le théorème 1.3.

• Il reste à vérifier la propriété d’interpolation, mais c’est une consé- quence non-triviale du théorème suivant (cf. [5]) :

Théorème 1.6. Si V est une L-représentation de de Rham de G_Qp, si n ∈ N assez grand, et si µ ∈ H¹_Iw(Qp, V), alors ϕ⁻ⁿ(Exp^∗(µ)) converge dansB⁺_dR(Qp)⊗V, et on a

p⁻ⁿϕ⁻ⁿ(Exp^∗(µ)) = ^X

n∈Z

exp^∗_BK( Z

1+pⁿZp

x^−kµ)∈L(ζpⁿ)[[t]]⊗D_dR(V).

Wang

1.3. Remerciements. Ce travail est ma thèse de doctorat, sous la direc- tion de Pierre Colmez. Il est évident au lecteur combien cet article doit à Colmez comme cet article vit sur son travail manifique [6]. Je voudrais lui exprimer toute ma gratitude. Je remercie vivement Denis Benois pour ses remarques utiles, Gaëtan Chenevier et Gabriel Dospinescu pour des discus- sions et ses encouragements, et les rapporteurs anoymes pour ses remarques.

Merci aussi à Francesco Lemma, qui m’a aidé à améliorer la rédaction.

2. Système d’Euler de Kato

2.1. Séries d’Eisenstein-Kronecker et la distribution zEis.

2.1.1. Formes modulaires. Soient H = {x+iy, y > 0} le demi-plan de Poincaré, A ⊂ R un sous anneau. On note GL₂(A)+ = {γ ∈ GL₂(A)|

detγ >0}, et on définit pour chaquek∈Nune action à droite de GL₂(R)₊ sur l’ensemble des fonctions de classeC^∞ de HdansC par la formule : (2.1) (f|_kγ)(τ) = (detγ)^k−1

(cτ +d)^k f(aτ+b

cτ+d) siγ = ^{a b}_{c d}.

Soitf une fonction de classeC^∞deHdansCfixée par un sous groupe Γ de SL₂(Z) d’indice fini. Alors cette fonction f est une fonction périodique de périodeN pour un certain entierN ≥1. Leq-développement def s’écrit sous la forme ci-dessous :

f(τ) = ^X

n∈Z[_N¹]

a_ne^2iπnτ = ^X

n∈Z[_N¹]

a_nqⁿ, où q=e^2iπτ.

Définition 2.1. Soit Γ un sous-groupe de SL₂(Z) d’indice fini. Une forme modulaire de poids k pour Γ est une fonction holomorphe f : H → C verifiant les propriétés suivantes :

(1) f_|kγ =f pourγ ∈Γ ;

(2) f est holomorphe à l’infini (i.e. quel que soit γ ∈ Γ\SL₂(Z), le q- développement de f_|kγ(τ) est de la forme ^P

n∈Q+

anqⁿ, oùq =e^2iπτ : il n’y a pas de termes négatifs).

SiKest un corps algébriquement clos et si Γ est un sous-groupe distingué d’indice fini de SL₂(Z), alors le groupe des automorphismes de M(Γ, K) sur M(SL₂(Z), K) est SL2(Z)/Γ. Ceci implique ΠK =SL\₂(Z), où SL\₂(Z) est le complété profini de SL₂(Z). Dans le cas général, on dispose d’une suite exacte :

1→Π_K →Π_K → G_K →1,

qui admet une section G_K → Π_K naturelle, en faisant G_K agir sur les coefficients duq-développement des formes modulaires.

Soient f ∈ M_k(Γ, K) et α ∈ GL₂(Q)₊. On peut verifier que (f ∗ α)_|k(α⁻¹γα) = f ∗α pour tout γ ∈ Γ. Donc f ∗α est invariante pour

le groupe α⁻¹Γα^TSL₂(Z). Comme α peut s’écrire sous la forme γ ^{a b}_0d avec γ ∈SL₂(Z), on en déduit

(f ∗α)(τ) =d^−k(f ∗γ)(aτ+b

d ) =d^−k(f|_kγ)(aτ+b d ),

ce qui montre quef∗αest holomorphe eni∞. Doncf∗αest une forme mo- dulaire etM( ¯K) est stable sous l’action de GL₂(Q)₊. On définit Π⁰_Kcomme le groupe des automorphismes de M(K) engendré par Π_K et GL₂(Q)₊. Plus généralement, si S ⊂P est fini, on note Π^(S)_K le sous-groupe de Π⁰_K engendré par Π_K et GL₂(Z^(S)), où Z^(S) est le sous-anneau deQobtenu en inversant tous les nombres premiers qui n’appartiennent pas àS.

Le groupe des automorphimes deM^cong(Q^cycl) surM(SL₂(Z),Q^cycl) est le groupe profini SL₂(ˆZ), le complété profini de SL₂(Z) par rapport aux sous-groupes de congruence. D’autre part, quel que soitf ∈ M^cong(Q^cycl), le groupe G_Q agit sur les coefficients du q-développement de f à travers son quotient Gal(Q^cycl/Q) qui est isomorphe à ˆZ^∗ par le caractère cyclo- tomique. On note H le groupe des automorphismes de M^cong(Q^cycl) sur M(SL₂(Z),Q). La sous-algèbre M^cong(Q^cycl) est stable par Π_Q qui agit à traversH.

Théorème 2.2. On a un diagramme commutatif de groupes : 1 ^//Π_¯

Q //

Π_Q //

G_Q //

kk 1

1 ^//SL₂(ˆZ) ^//

H ^//

α

Gal(Q^cycl/Q) ^//

χcycl

ι0

kk 1

1 ^//SL₂(ˆZ) ^//GL₂(ˆZ) ^{det //}Zˆ^{∗ //}

mm ι 1

,

où α : H → GL₂(ˆZ) est un isomorphisme, ce qui permet d’identifier H et GL₂(ˆZ). Dans cette identification la section de G_Q dans Π_Q décrite plus haut envoie u∈Zˆ^∗ sur la matrice (^{1 0}_0u)∈GL₂(ˆZ).

La démonstration repose sur l’étude des séries d’Eisenstein qui se trouve plus loin, et donc on donne l’idée ici.

•Construire une bijection α:H →GL₂(ˆZ) :

Soit u ∈ Zˆ^∗ et soit σu ∈ Gal(Q^cycl/Q) l’image inverse de u dans Gal(Q^cycl/Q) via l’isomorphisme χ_cycl : Gal(Q^cycl/Q) ∼= ˆZ^∗. On peut dé- composer H (resp. GL₂(ˆZ)) en l’ensemble SL₂(ˆZ)σu (resp. SL₂(ˆZ)(^{1 0}_0u)) par la classe à droite suivant SL₂(ˆZ). Alors, on définit une bijection de H sur GL₂(ˆZ) en envoyant la classe à droiteγσu surγ(^{1 0}_0u), si γ ∈SL₂(ˆZ).

Wang

•L’étude des séries d’Eisenstein (c.f. Prop. 2.12) montre que la bijection α :H → GL₂(ˆZ) construite dans l’étape précédente est un morphisme de groupes :

En utilisant la bijection α, on définit une action de GL₂(ˆZ) sur M^cong(Q^cycl) induit par celle deH :

Définition 2.3. Si γ =γ0(^{1 0}_0u)∈GL₂(ˆZ) avecγ0 ∈SL₂(ˆZ) et u∈Zˆ^∗, et sif ∈ M^cong(Q^cycl), on définit

f∗γ :=f∗(α⁻¹(γ)) =f∗(γ₀σ_u).

En utilisant le fait que l’algèbre M(SL₂(Z),Q) est engendrée par les séries d’Eisenstein, on conclut que le corps des fractions deM^cong(Q^cycl) est engendré par les séries d’Eisenstein par la théorie de Galois pour l’extension Frac(M^cong(Q^cycl)) sur Frac(M(SL₂(Z),Q)). On définit une autre action du groupe GL₂(ˆZ) sur les séries d’Eisenstein (c.f. déf. 2.7), dont on peut le prolonger en M^cong(Q^cycl), et on montre dans la proposition 2.12 que ces deux actions coïncident. Doncα est un morphisme de groupes et cela nous permet d’identifier le groupeH au groupe GL₂(ˆZ) naturellement.

Remarque 2.4. Ce théorème est un analogue du résultat de Shimura [25, Chapter 6], qui étudie le groupe de galois du corps des fonctions modulaires.

2.1.2. Séries d’Eisenstein-Kronecker.

Définition 2.5. Si (τ, z) ∈ H ×C, on pose q = e^2iπτ et qz = e^2iπz. On introduit l’opérateur ∂_z := _2iπ¹ _∂z^∂ = q_z∂q^∂

z. On pose aussi e(a) = e^2iπa. Si k ∈ N, τ ∈ H, et z, u ∈ C, la série d’Eisenstein-Kronecker (c.f. [28, Chapter VIII]) est

H_k(s, τ, z, u) = Γ(s)

(−2iπ)^k(τ−τ¯

2iπ )^{s−k X0}

ω∈Z+Zτ

ω+z^k

|ω+z|^2se(ωu¯−uω¯ τ−τ¯ ), qui converge pour Re(s)>1 +^k₂, et possède un prolongement méromorphe à tout le plan complexe avec des pôles simples en s = 1 (si k = 0 et u ∈Z+Zτ) et s= 0 (sik = 0 et z ∈Z+Zτ). Dans la formule ci-dessus

X0

signifie (si z ∈ Z+Zτ) que l’on supprime le terme correspondant à ω=−z. De plus, elle vérifie l’équation fonctionnelle :

H_k(s, τ, z, u) =e(z¯u−uz¯

τ −τ¯ )H_k(k+ 1−s, τ, u, z).

Sik≥1, on définit les fonctions suivantes : E_k(τ, z) = H_k(k, τ, z,0)(= Γ(k)

(−2iπ)^k X⁰

ω∈Z+Zτ

1

(ω+z)^k si k≥3), F_k(τ, z) = H_k(k, τ,0, z)(= Γ(k)

(−2iπ)^k X⁰

ω∈Z+Zτ

1

(ω)^ke(ωz¯−zω¯

τ −τ¯ ) sik≥3).

Les fonctionsE_k(τ, z) et F_k(τ, z) sont périodiques en zde période Zτ +Z. De plus on a :

E_k+1(τ, z) =∂_zE_k(τ, z), si k∈NetE₀(τ, z) = log|θ(τ, z)|si z /∈Z+Zτ, oùθ(τ, z) est donnée par le produit infini :

θ(τ, z) =q^1/12(q_z^1/2−q_z^−1/2) ^Y

n≥1

((1−qⁿqz)(1−qⁿq⁻¹_z )).

On note ∆ = (∂zθ(τ, z)|_z=0)¹² =q^Y

n≥1(1−qⁿ)²⁴ la forme modulaire de poids 12.

Soient (α, β) ∈ (Q/Z)² et (a, b) ∈ Q² qui a pour image (α, β) dans (Q/Z)². Sik= 2 et (α, β)6= (0,0), ou si k≥1 et k6= 2, on définit :

E_α,β^(k) =E_k(τ, aτ +b) et F_α,β^(k)=F_k(τ, aτ +b).

Sik= 2 et (α, β) = (0,0), on définit² E_0,0⁽²⁾ =F_0,0⁽²⁾:= lims→2H₂(s, τ,0,0).

Lemme 2.6. Les fonctionsE_α,β^(k), F_α,β^(k) satisfont les relations de distribution suivantes, quel que soit l’entierf ≥1 :

X

f α⁰=α,f β⁰=β

E_α^(k)0,β⁰ =f^kE_α,β^(k) et ^X

f α⁰=α,f β⁰=β

F_α^(k)0,β⁰ =f^2−kF_α,β^(k) (2.2)

X

f β⁰=β

E_α,β^(k)0(τ

f) =f^kE_α,β^(k) et ^X

f β⁰=β

F_α,β^(k)0(τ

f) =f F_α,β^(k). (2.3)

Démonstration. Soit (a, b) ∈ Q² un représentant de (α, β) ∈ (Q/Z)². Les relations pourE_α,β^(k) se déduisent du calcul suivant pourk≥3 (pourk= 1,2, il faut utiliser un prolongement analytique ) :

X

f α⁰=α f β⁰=β

E_α^(k)0,β⁰ = ^X

0≤i≤f−1 0≤j≤f−1

Γ(k) (−2iπ)^k

X0 w∈Z+Zτ

1

(w+ ^a+i_f τ +^b+j_f )^k =f^kE_α,β^(k);

X

f β⁰=β

E_α,β^(k)0(τ f) =

f−1

X

j=0

Γ(k) (−2iπ)^k

X0 w∈Z+Z^τ_f

1

(w+ ^aτ_f +^b+j_f )^k =f^kE_α,β^(k). La relation ^P

f β⁰=β

F_α,β^(k)0(^τ_f) = f F_α,β^(k) se déduit du même genre de calculs que les relations ^P

f α⁰=α f β⁰=β

F_α^(k)0,β⁰ =f^2−kF_α,β^(k) et ^P

f β⁰=β

E_α,β^(k)0(^τ_f) =f^kE_α,β^(k); et la relation ^P

f α⁰=α f β⁰=β

F_α^(k)0,β⁰ = f^2−kF_α,β^(k) se déduit facilement en utilisant les deux égalités suivantes :

2. La sérieH2(s, τ,0,0) converge pour Re(s)>2, mais pas pours= 2.

Wang

(1) Quels que soientw∈Z+Zτ et 0≤i, j ≤f−1 , on a e(i(w¯τ −τw) +¯ j(w−w)¯

τ −τ¯ ) = 1.

(2) Quel que soientw=f w⁰+m+nτ avecw⁰∈Z+Zτ etmou n6= 0, on a

X

0≤i≤f−1 0≤j≤f−1

1

w^ke(w(^a+i_f τ¯+ ^b+j_f )−(^a+i_f τ+ ^b+j_f ) ¯w

τ −τ¯ ) = 0.

On dispose d’une action du groupe GL₂(ˆZ) sur les séries d’Eisenstein.

Définition 2.7. Si γ = (^{a b}_{c d}) ∈ GL₂(ˆZ), k ≥ 1 et (α, β) ∈ (Q/Z)², on définit

E^(k)_α,β◦γ =Eaα+cβ,bα+dβ^(k) etF_α,β^(k)◦γ =Faα+cβ,bα+dβ^(k) .

Nous allons vérifier que ces séries d’Eisenstein appartiennent à M^cong(Q^cycl) (c.f. prop. 2.8) et que l’action de GL₂(ˆZ) sur M^cong(Q^cycl) via la bijection α :H → GL₂(ˆZ), définie plus haut, induit l’action précé- dente sur les séries d’Eisenstein.

Proposition 2.8. (1) E_0,0⁽²⁾ = F_0,0⁽²⁾ = ⁻¹₂₄E₂^∗, où E₂^∗ = _iπ(τ−¯⁶ _τ) + 1 − 24^X+∞

n=1σ₁(n)qⁿ est la série d’Eisenstein non holomorphe de poids 2 ha- bituelle.

(2) Si N α=N β= 0, alors

(i) E˜_α,β⁽²⁾ =E_α,β⁽²⁾−E_0,0⁽²⁾∈ M₂(Γ(N),Q(ζ_N))etE_α,β^(k) ∈ M_k(Γ(N),Q(ζ_N)) sik≥1 et k6= 2.

(ii) F_α,β^(k) ∈ M_k(Γ(N),Q(ζN))sik≥1, k6= 2 ou sik= 2,(α, β)6= (0,0).

Les résultats au-dessus sont bien connus. Pour faciliter la lecture, on donne l’idée de la preuve ; les détails se trouvent plus loin.

Démonstration. (1) Par définition, on a E_0,0⁽²⁾=F_0,0⁽²⁾= lim

s→2

Γ(s)

(−2iπ)^k(τ−¯τ

2iπ )^{s−k X0}

ω∈Z+Zτ

ω¯^k

|ω|^2s.

On applique la formule de Poisson pour la somme (voir la démonstra- tion de la proposition (2.10)) et on prend la limite.

(2) On considère le q-développement des séries d’Eisenstein et on va montrer dans la proposition 2.10 que les coefficients sont dans l’ex- tension cyclotomique. Il ne reste qu’à vérifier que les séries sont fixées par le sous-groupe de congruence Γ(N). Mais ce fait est vérifié par des formules plus générales dans la proposition 2.12.