Construction de l’application exponentielle duale de Kato

Proposition 4.19. Soit v_p(M)≥v_p(2p); si V est une Qp-représentation dePK_M munie d’un Zp-réseauT tel que PK_M agit trivialement surT /2pT, alors pour i∈N, R_M induit un isomorphisme :

R_M : Hⁱ(P_KM,B⁺_dR(K⁺_{M p}∞)⊗V)∼= Hⁱ(P_KM,K˜⁺_M ⊗V).

Démonstration. On pose ˜X_M ={x ∈ B⁺_dR(K⁺_{M p}∞)|R_M(x) = 0}. Quel que soit n ∈ N, on a une décomposition de B⁺_dR(K⁺_{M p}∞)/tⁿ comme ˜K⁺/tⁿ -module :B⁺_dR(K⁺_{M p}∞)/tⁿ= ˜K⁺_M/tⁿ⊕X˜_M/tⁿ.Cela induit une décomposition deB⁺_dR(K⁺_{M p}∞) comme ˜K⁺-module :B⁺_dR(K⁺_{M p}∞) = ˜K⁺_M⊕X˜_M.On se ramène donc à montrer : Hⁱ(PKM,X˜M ⊗T) = 0.

Soit c₀ un i-cocycle qui présente un élément dans Hⁱ(P_KM,X˜_M ⊗T).

D’après la proposition 4.15, θ(c₀) est un cobord dans Hⁱ(P_KM, X_M ⊗T) et donc θc₀ = db₀. L’élémentc₀ −d(ι_dR(b₀)) est encore un i-cocycle dans Hⁱ(PKM,X˜M ⊗T), qui est à valeurs dans tX˜M ⊗T. On définit une suites (db_n)n∈Ndei-cobords dans Hⁱ(P_KM, X_M⊗T(−n)) et (c_n)n∈Nde i-cocycles dans Hⁱ(P_KM,X˜_M ⊗T(−n)) par récurrence :

dbn−1=θ(cn−1) et c_n=t⁻¹(cn−1−d(ι_dRbn−1))), sin≥1.

Donc, on a c₀ = ^P+∞_n=0tⁿd(ι_dR(b_n)), qui est une somme des cobords qui converge dans Hⁱ(PKM,X˜M ⊗T). Ceci permet de conclure la proposition.

5. La loi de réciprocité explicite de Kato

5.1. Construction de l’application exponentielle duale de Kato.

On note K⁺ = Qp[[q]] le complété q-adique de K⁺ et K_M⁺ le complété q-adique de K⁺-module K⁺_M = K⁺[ζ_M, q_M]. On a donc K⁺_M = F_M[[q_M]].

On note ˜K⁺ = Qp[[˜q, t]] le complété ˜q-adique de ˜K⁺ = ι_dR(K⁺)[[t]], où l’application ιdR identifie K⁺ à un sous-anneau de B⁺_dR(K⁺). On note ˜K⁺_M

Wang

le complété ˜q-adique de ˜K⁺_M comme ˜K⁺-module. D’après le lemme 3.16, on a bien ˜K⁺_M = ˜K⁺[ ˜ζM,q˜M] = ˜K⁺[ζM,q˜M] = FM[[t,q˜M]].On définit une applicationθ: ˜K⁺_M →F_M[[q_M]] par réduction modulot. Elle coïncide avec l’applicationθ sur ˜K⁺_M.

On note K⁺_M,n = K⁺_M/(q_M)ⁿ, ˜K⁺_M,n = ˜K_M⁺/(t,q˜_M)ⁿ. La représentation K˜⁺_M ⊗V_k,j de P_m n’est pas une représentation analytique ; mais c’est la limite projective des représentations analytiques{K˜_M,n⁺ ⊗V_k,j}_n∈N de P_m. Lemme 5.1. Les actions de∂₁ et ∂₂−1 sur t etq˜_M sont données par les formules suivantes :

∂1(t) = 0, ∂1(˜qM) = t

Mq˜M;∂2(t) =t, ∂2(˜qM) = 0.

Proposition 5.2. [6, Prop. 2.4]Si v_p(M) =m≥v_p(2p) et 1 ≤j ≤k−1, alors l’application

f(qM)7→te^k−2₁ f(˜qM)

induit un isomorphisme de K⁺_M,n sur ( ˜K⁺_M,n+j−1⊗V_k,j)/(∂1, ∂2−1), pour tout n∈N.

Démonstration. Les {eⁱ₁e^k−2−i₂ t^l+2−jq_M^v : 0 ≤ i ≤ k−2, v, l ≥ 0, v+l ≤ n−1}forment uneF_M-base de ˜K_M,n⁺ ⊗V_k,j. Rappelons que l’action de P_m sur Vk,j est donnée par la formule :e1∗(^{a b}_{c d}) = ae1+be2 et e2∗(^{a b}_{c d}) = ce₁+de₂, si (^{a b}_{c d})∈P_m. On a donc les formules suivantes pour l’opérateur

∂1 :

∂1(e1) =p^−m lim

n→+∞e1∗u^p_mⁿ−1

pⁿ =e2;∂1(e2) =p^−m lim

n→+∞e2∗u^p_mⁿ−1 pⁿ = 0.

On en déduit que

(5.1) ∂1(eⁱ₁e^k−2−i₂ t^lq˜^v_M)) =ieⁱ⁻¹₁ e^k−1−i₂ t^lq˜_M^v +eⁱ₁e^k−2−i₂ t^lv˜q^v_M t M. Ceci nous fournit la relation suivante dans ( ˜K⁺_M,n⊗V_k,j)/∂1 :

eⁱ₁e^k−2−i₂ t^lq˜_M^v = −1

i+ 1eⁱ⁺¹₁ e^k−3−i₂ t^l+1q˜_M^v v M

= (−1)^k−2−ii!

(k−2)! e^k−2₁ t^l+k−2−iq˜_M^v ( v

M)^k−2−i.

Par conséquent, chaque élément de ( ˜K⁺_M,n⊗Vk,j)/∂1 peut être représenté par un élément de ˜K⁺_M,n(1⊗(e^k−2₁ t^2−j)). Ceci implique que le morphisme naturel deFM-espaces

φ: ˜K⁺_M,n(1⊗(e^k−2₁ t^2−j))→( ˜K⁺_M,n⊗V_k,j)/∂₁

est surjectif. La formule (5.1) montre qu’il n’existe pas d’élément non-nul x dans ( ˜K⁺_M,n⊗V_k,j) tel que ∂₁x appartient à ˜K⁺_M,n(1⊗(e^k−2₁ t^2−j)). En conséquence, φest un isomorphisme.

Par ailleurs, on a les formules suivantes pour l’opérateur ∂2 − 1 sur K˜⁺_M,n⊗V_k,j :

∂2(e1) =p^−m lim

n→+∞e1∗γ_m^pn−1

pⁿ = 0, ∂2(e2) =p^−m lim

n→+∞e2∗γ_m^pn−1 pⁿ =e2. On en déduit que :

(5.2) (∂2−1)(eⁱ₁e^k−2−i₂ t^lq˜_M^v ) = (k−3−i+l)eⁱ₁e^k−2−i₂ t^lq˜^v_M.

On tire la commutativité de ∂1 et∂2−1 sur ( ˜K_M⁺ ⊗V_k,j)_n des formules (5.1) et (5.2). On a donc le diagramme commutatif suivant :

(e^k−2₁ t^2−j⊗K˜⁺_M,n) ^{∼= //}

∂2−1

( ˜K⁺_M,n⊗V_k,j)/∂₁

∂2−1

(e^k−2₁ t^2−j⊗K˜⁺_M,n) ^{∼= //}( ˜K_M,n⁺ ⊗V_k,j)_n/∂₁ .

On déduit de la formule (5.2) que,eⁱ₁e^k−2−i₂ t^lq˜_M^v est un vecteur propre de

∂₂−1 avec la valeur propre (k−3−i+l). Donc ˜K_M,n⁺ (1⊗e^k−2₁ t^2−j) est dans l’image de∂₂−1 sil−16= 0 et donc on obtient ( ˜K⁺_M,n⊗V_k,j)/(∂₁, ∂₂−1)∼=

K⁺_M,n+1−jte^k−2₁ ,ce qui permet de conclure.

En composant les applications obtenues dans les paragraphes précédents, on obtient le diagramme suivant :

H²(G_KM,B⁺_dR⊗V_k,j)

H²(P_KM,B⁺_dR(K⁺_{M p}∞)⊗V_k,j)

(1)

OO

(2) //

exp^∗_Kato

H²(P_KM,K˜⁺_M ⊗V_k,j)

(3)

lim←−nH²(P_KM,K˜⁺_M,n⊗V_k,j)

(4)

K⁺_{M ∼} lim←−n( ˜K⁺_M,n⊗Vk,j)/(∂1, ∂2−1),

=

oo (5)

où

•l’application (1), d’inflation, est injective car (B⁺_dR)^{GKM p∞} =B⁺_dR(K⁺_{M p}∞) etG_{KM p}∞ agit trivialement surV_k,j;

• (2) est l’isomorphisme induit par "la trace de Tate normalisée" R_M (c.f

Wang

prop. 4.19) ;

•(3) est l’application naturelle induit par la projection K˜⁺_M ⊗V_k,j →K˜_M,n⁺ ⊗V_k,j;

• (4) est l’isomorphisme du corollaire 4.9 car ˜K⁺_M,n⊗V_k,j est analytique pour toutn;

• Comme ( ˜K⁺_M ⊗V_k,j)_n est une représentation analytique pour tout n, l’application (4) se calcule grâce à la prop 4.10 . Plus précisément, cela se fait comme suit :

Recette 5.3. On définit une application res⁽ⁿ⁾_k,j : ˜K⁺_M,n+j−1⊗V_k,j → K_M,n⁺ en composant la projection ˜K⁺_M,n+j−1⊗V_k,j →( ˜K_M,n+j−1⁺ ⊗V_k,j)/(∂₁, ∂₂−1) avec l’inverse de l’isomorphisme dans la proposition 5.2. En prenant la limite projective, on obtient un morphisme res_k,j : ˜K_M⁺ ⊗Vk,j → K⁺_M. Si c = (c⁽ⁿ⁾) ∈ lim←−H²(P_KM,K˜⁺_M,n+j−1 ⊗V_k,j) est représenté par une limite de 2-cocycle analytique (σ, τ) 7→ c⁽ⁿ⁾σ,τ sur P_KM à valeurs dans ˜K⁺_M,n+j−1 ⊗ V_k,j, alors l’image de c sous l’application (5) est res_k,j(δ⁽²⁾(c)), oùδ⁽²⁾ est l’application définie dans la proposition 4.10.

On définit l’application exp^∗_Kato en composant les applications (2),(3), (4), (5).

5.2. Application au système d’Euler de Kato. Ce paragraphe cor-respond au paragraphe [6, §2.4]. Il y a deux modifications, qui permettent de donner un bon sens pour les calculs :

(1) Colmez a donné une construction d’un 2-cocycle pour l’élément de Kato zKato dans [6, §2.4.2], qui est une distribution (cf. [6, footnote 68]). Donc on ne peut pas faire la technique "la torsion à la Soulé".

Par contre, on donne une construction d’un 2-cocycle pour l’élément de Kato z_Kato,c,d, qui est une mesure.

(2) Colmez a déja indiqué un problème (cf. [6, footnote 70]) dans sa construction : son anneau B⁺_dR est trop petit pour la construction.

On utilise notre anneau B⁺_log (cf. §3.3 et lemme 5.6) pour résoudre ce problème.

5.2.1. Esquise de la preuve du Théorème (1.4). Soient M ≥ 1 et A = ^{α β}_{γ δ} avec α, β, γ, δ ∈ {1,· · ·, M} et detA ∈ Z^∗p. On note ψM,A = 1_A+MM

2(ˆZ)la fonction caractéristique deA+MM₂(ˆZ). C’est une fonction invariante sous l’action deG_KM. Par ailleurs, la distribution z_Kato,c,d(k, j) appartient à H²(G_KM,D_alg(M₂(Q⊗Zˆ)^(p), V_k,j)). Alors, on a

Z

ψ_M,Az_Kato,c,d(k, j)∈H²(G_KM, V_k,j)

et on note son image dans H²(G_KM,B⁺_dR(K⁺_{M p}∞)⊗V_k,j) parz_M,A. En outre, on note z_Eis,c,d^(p) (k, j) la distribution sur M₂(Q⊗Zˆ)^(p) à valeurs dans K⁺_∞ obtenue en restreignant la distribution

zEis,c,d(k, j)∈D_alg(M₂(Q⊗Zˆ),M^cong_k (Q^cycl_p ))

àM₂(Q⊗Zˆ)^(p), et en utilisant l’injection de M^cong_k (Q^cycl_p ) dansK⁺_∞. Lemme 5.4. Soit k un entier ≥2 et soit j∈N tel que 1≤j ≤k−1. La distributionz_Eis,c,d^(p) (k, j) est invariante sous l’action de G_K.

Démonstration. Le groupeG_K agit surM^cong(Q^cyclp ) à travers son quotient P^cycl

Q^p vu comme sous-groupe de GL₂(ˆZ). D’après le théorème (2.13), on a : siγ ∈GL₂(Q⊗Zˆ), zEis,c,d(k, j)|_kγ =|detγ|^j−1zEis,c,d(k, j).

En particulier, si γ ∈GL₂(ˆZ), alors on a|detγ|= 1. Donc la distribution z_Eis,c,d^(p) (k, j) est invariante sous l’action de GL₂(ˆZ).

Pour montrer le théorème (1.4), il suffit de prouver :

Proposition 5.5. [6, Prop. 2.5] Pour toute paire (M, A) ci-dessus et v_p(M)≥v_p(2p), detA∈Z^∗_p, on a

exp^∗_Kato(z_M,A) = 1

(j−1)!M^k−2−2jF_c,α/M,β/M^(k−j) E_d,γ/M,δ/M^(j) .

Pour démontrer ceci, nous aurons besoin d’écrire un 2-cocycle explicite représentant z_M,A et le suivre à travers les étapes de la construction de l’application exp^∗_Kato.

5.2.2. Construction d’un 2-cocycle. Soient a₀, b₀, c₀, d₀ ∈ {1,· · · , pⁿM} verifiant : a0 ≡ α, b0 ≡ β, c0 ≡ γ, d0 ≡ δ modM. On note les fonctions caractéristiques 1_{(a0+M p}n

Zp)×(b0+M pⁿZp), 1_{(c0+M p}n

Zp)×(d0+M pⁿZp)

, et 1 _{a0 b0}

c0 d0

+M pⁿM2(Zp) parψ_a⁽ⁿ⁾

0,b0,ψ⁽ⁿ⁾_c

0,d0, etψ_a⁽ⁿ⁾

0,b0,c0,d0 respectivement.

NotonsU₁ etU₂ respectivement les ouverts (α+MZp)×(β+MZp) et (γ +MZp)×(δ+MZp) de Z²p, et U = U₁×U₂ que l’on voit comme un ouvert de M₂(Zp) et même de GL₂(Zp) puisque detA∈Z^∗p etp|M.

On définit les mesures algébriques µi ∈ H¹(G_KM,D₀(Ui,Zp(1))), pour i= 1,2, par les formules suivantes :

Z ψ_a⁽ⁿ⁾

0,b0µ₁ = Z

(a0+M pⁿˆZ)×(b0+M pⁿZˆ)

r_c(z_Siegel^(p) ), Z

ψ_c⁽ⁿ⁾

0,d0µ₂ = Z

(c0+M pⁿZ)×(dˆ 0+M pⁿZ)ˆ

r_d(z_Siegel^(p) ).

Wang

On note ν = µ₁ ⊗µ₂ l’élément de H²(G_KM,D₀(U,Zp(2))). Comme on a z_Kato,c,d(k, j) = (e^k−2₁ t^−j)∗xpz_Kato,c,d, on a

(5.3) z_M,A= Z

ψ_M,Az_Kato,c,d(k, j) = Z

U

(e^k−2₁ t^−j)∗xν.

Considérons leq-développement d’une unité modulaire, on a une décom-position du groupe des unités modulairesU^cong(Q^cycl) :

U^cong(Q^cycl) = (Q^cycl)^∗×q^Q× U₁^cong(Q^cycl),

où U₁^cong(Q^cycl) est l’ensemble d’éléments x ∈ U^cong(Q^cycl) vérifiant v_q(x−1)>0. Alors on a une inclusion deU^cong(Q^cycl) dans (K⁺_∞[q⁻¹])^∗.

Rappelons que, l’expression explicite de⁸ gc(q, q_N^aζ_N^b ) ∈ U(Q^cycl), pour N un entier ≥ 1, 0 ≤ a, b ≤ N −1, et c un entier tel que (c,6) = 1 et (ca, cb)∈/ NZ², est comme suit :

(5.4) q^c

2−1

12 (−q_N^aζ_N^b )^c−c

2 2

Q

n≥0(1−qⁿq_N^aζ_N^b)^c2Q_n≥1(1−qⁿ(q_N^aζ_N^b )⁻¹)^c2 Q

n≥0(1−qⁿ(q^a_Nζ_N^b )^c)^Q_n≥1(1−qⁿ(q_N^aζ_N^b )^−c) . Soitg∈K; on note ¯g= (g, g^p1,· · · ,) un relèvement degdansR(K) et [¯g]

son représentant de Teichmüller dans Ainf(K). Alors l’élément g_c(q, q_n^aζ_N^b ) est bien défini et appartient à (U0(K⁺)[¯q⁻¹])^∗, à multiplication par un élé-ment de (1, ζ_p,· · · ,)^Q près .

Lemme 5.6. Soit c un entier tel que (c,6) = 1 et c ≡ 1 mod N. L’élé-mentlog[¯g_c,^a

N,_N^b]est un élément bien défini dansB⁺_log, à addition près d’un élément deQpt près .

Démonstration. Pour tout n ≥ 0 ( resp. n ≥ 1 ), [1−qⁿq^a_Nζ_N^b ] (resp.

[1−qⁿq_N^−aζ_N^−b]) est un élément inversible de A^∗∗_inf. Commeq est de valua-tion 1 pour la valuavalua-tionp-adique surK⁺, on a^Q_n≥0(1−qⁿq^a_Nζ_N^b ) converge dansU₀(K⁺). Ceci implique^Q_n≥0[(1−qⁿq_N^aζ_N^b)] converge dans A^∗∗_inf. De la même manière, on obtient que

O= Q

n≥0[(1−qⁿq^a_Nζ_N^b )]^c2Q_n≥1[(1−qⁿ(q_N^aζ_N^b ))⁻¹]^c2 Q

n≥0[(1−qⁿ(q^a_Nζ_N^b ))^c]^Q_n≥1[(1−qⁿ(q_N^aζ_N^b ))^−c]

converge dansA^∗∗_inf . Donc l’élément [g_c(q, q_N^a, q_N^b )]∈Ainf(K) est donné par la formule explicite suivante :

[gc(q, q_N^a, q_N^b )] = ˜q^c

2−1

12 (−˜q^a_Nζ˜_N^b )^c−c

2

2 ×O;

8. on note gc(q, q^a_Nζ_N^b), ce qui est notég_c,a

N,_N^b dans la section§2.2, même chose pour la fonctionθet les séries d’Eisenstein.

ceci implique qu’il est dansA^∗∗_inf ×q˜^Q. En appliquant l’application log (c.f

§3.3) à [¯g_i,a

N,_N^b], on conclut la démonstration du lemme.

Sic ∈ Z^∗p, on définit log[¯g_c,a

N,_N^b] comme un élément de B⁺_log, à addition d’un élément deQpt près, par la formule :

log[¯g_c,a

N,_N^b] = c²−c²₁

e²−1 log[¯g_e,a

N,_N^b] + log[¯g_c

1,_N^a,_N^b],

où e est un entier tel que (e,6) = 1 et e≡ 1 mod N, et c₁ est un entier tel quevp(^c−c_e2−1¹)≥0,c≡c1 mod N et (c1,6) = 1 ; ceci ne depend pas du choix deeetc1 à addition d’un élément de Qptprès .

Si i = 1,2, soit Ψ_i une base du Z-module des fonctions localement constantes surUi constituée de fonctions du typeψ_a⁽ⁿ⁾_0,b0 (resp.ψ_c⁽ⁿ⁾_0,d0), avec n∈ Net a0, b0 (resp. c0, d0) comme ci-dessus. On définit une distribution algébriqueµ_1,Ψ1 (resp.µ_2,Ψ2) sur U₁ (resp.U₂) à valeurs dansB⁺_dR(K⁺)[u_q] par la formule : si ψ_a⁽ⁿ⁾

0,b0 ∈Ψ₁ (resp.ψ⁽ⁿ⁾_c

0,d0 ∈Ψ₂), Z

ψ⁽ⁿ⁾_a0,b0µ1,Ψ1 = log[gc(q, q^a_{M p}⁰ nζ_{M p}^b0 n)]

(resp.

Z ψ⁽ⁿ⁾_c

0,d0µ_2,Ψ2 = log[g_d(q, q_{M p}^c0 nζ_{M p}^d0 n)]).

On identifieZp(1) au sous-module deB⁺_dR via l’isomorphisme deZp[G_K ]-modules

log◦[·] :Zp(1)→Zpt.

Lemme 5.7. [6, Lemme 2.6]Si i= 1,2, alors µi est l’image du 1-cocycle σ 7→ µ_i,Ψi∗(σ−1) dans H¹(G_KM,D₀(U_i,Zp(1))) pour tout choix de Ψ_i et des valeurs de l’intégration de µi,Ψi.

Démonstration. La démonstration est la même pouri= 1,2. On peut donc supposer que i= 1 et ψ_a0,b0 ∈Ψ₁. Rappelons que log[¯g_c, a0

M pn,_{M pn}^b0 ] est bien défini àQptprès. Commeσ 7→t∗(σ−1) est un cobord dans H¹(G_KM,Zp(1)), µ_i,Ψi ne dépend du choix de log[¯g

c,_{M pn}^a0 ,_{M pn}^b0 ].

Siψ_a⁽ⁿ⁾

0,b0 ∈ Ψ₁, on a ^R ψ⁽ⁿ⁾_a

0,b0µ₁ =^R ψ_a⁽ⁿ⁾

0,b0r_cz_Siegel^(p) . D’après la théorie de Kummerp-adique (cf.§2.3),µ₁ est représenté par le 1-cocycleσ 7→µ∗(σ− 1) de H¹(Π⁰

Q,D_alg(X₁,Zp(1))) avec µ ∈ H¹(Π⁰

Q,D_alg(X₁, Z⁰)) vérifiant : Rψ_a⁽ⁿ⁾

0,b0µ=rcg¯ ^a0 M pn,_{M pn}^b0 .

Appliquons l’isomorphisme log◦[·] :Zp(1)→Zptàµ∗(σ−1) ; on déduit

le lemme de la formule log[σx] =σlog[x].

Wang

Comme q est de valuation 1 pour la valuation p-adique dans K⁺, on a q˜=pα(1 +ωβ)∈Ainf, où α, β∈Ainf, etv_p(˜q)≥1. Donc on a

converge dans Ainf pour la topologie p-adique. D’autre part, on a

vp(c_k)≥k(k−1)/2etvp(˜q^ak_Nζ_N^bkc_k)≥ ak

N +k(k−1) 2 >0;

ceci implique que le produit converge pour la topologiep-adique dansA^∗∗_inf. Il est évident que le produit est un élément deB⁺_dR(K⁺_{M p}∞).

Démonstration. On montre le lemme pour le cas n ≥ 0 et l’autre cas se déduit de la même manière. Commeq est de valuation 1 pour la valuation p-adique dansK⁺, ˜qpeut s’écrire sous la formepβ+ωαavecα, β ∈Ainf(K⁺).

La série ^P

mn≥k,m≥1 mn

k

α^k(pβ)^mn−kq˜^ma_N ζ˜_N^mbconverge dansAinf(K⁺) et donc 1 +^P+∞_m=1(˜qⁿq˜_N^aζ˜_N^b)^m converge dansAinf(K⁺) pour la topologie faible. Ceci donne l’inverse de 1−q˜ⁿq˜_N^aζ˜_N^b dansAinf(K⁺) et implique que ^[1−qnq

a Nζ_N^b] 1−˜qⁿq˜^a_Nζ˜_N^b est un élément dansAinf(K⁺). Par ailleurs,θ(^[1−q_1−˜^nqaNζbN]

qⁿq˜^a_Nζ˜^b_N ) a pour image 1 dans

C(K⁺), ce qui permet de conclure.

Sii= 1,2 et sic, d∈Z^∗p, on définit une distribution algébrique ˜µ_i,Ψi sur U_i par la formule : pour ψ_a⁽ⁿ⁾

0,b0 ∈Ψ₁ (resp. ψ⁽ⁿ⁾_c

0,d0 ∈Ψ₂), Z

ψ_a⁽ⁿ⁾

0,b0µ˜1,Ψ1 = loggc(˜q,q˜_{M p}^a0 nζ˜_{M p}^b0 n) (resp.

Z ψ_c⁽ⁿ⁾

0,d0µ˜_2,Ψ2 = logg_d(˜q,q˜_{M p}^c0 nζ˜_{M p}^d0 n)).

De la formule explicite (5.4) deg_c(q, q_N^aζ_N^b ), on obtient queg_c(˜q,q˜_{M p}^a0 nζ˜_{M p}^b0 n) appartient àB⁺_dR(K⁺_{M p}∞)⊕Qpq, et son image par˜ θdansC(K⁺_{M p}∞)⊕Qpqest gc(q, q^a_{M p}⁰ nζ_{M p}^b0 n). On en tire que loggc(˜q,q˜^a_{M p}⁰ nζ˜_{M p}^b0 n) et logg_d(˜q,q˜_{M p}^c0 nζ˜_{M p}^d0 n) appartiennent àB⁺_dR(K⁺_{M p}∞)⊕Qpuq.

Lemme 5.10. [6, Lemme 2.7]Si i= 1,2, alors : (1) ˜µi,Ψi−µi,Ψi est une mesure à valeurs dans tB⁺_dR; (2) Considérons l’application :

H¹(G_KM,D₀(Ui,Zp(1)))→H¹(G_KM,D₀(Ui, tB⁺_dR)).

L’image deµ_i est représenté par le cocycle σ7→µ˜_i,Ψi∗(σ−1),

qui est l’inflation d’un cocycle surP_KM à valeurs dansD₀(U_i, tB⁺_dR(K⁺_{M p}∞)).

Démonstration. Le (1) se déduit du lemme 5.9. Le (2) est une conséquence immédiate du (1). En effet, comme (˜µ_i,Ψi−µ_i,Ψi) est une mesure à valeurs dans tB⁺_dR, on obtient que (˜µi,Ψi −µi,Ψi) ∗(σ −1) est un cobord dans H¹(G_KM,D₀(U_i, tB⁺_dR)). D’autre part, on a ˜µ_i,Ψi∗(σ−1) =µ_i,Ψi∗(σ−1) + (˜µi,Ψi−µi,Ψi)∗(σ−1),et doncσ7→µ˜i,Ψi∗(σ−1) est un 1-cocycle à valeurs danstB⁺_dR qui représenteµ_i ∈H¹(G_KM,D₀(U_i, tB⁺_dR)).

Soient Λ₁,Λ₂ deux G-modules à droite. Si x₁ ∈Λ₁, x₂ ∈Λ₂ etσ, τ ∈G, on définit un élément{x₁⊗x₂}_σ,τ := (x1∗(τ σ−σ)⊗(x₂∗(σ−1)))∈Λ₁⊗Λ₂. Corollaire 5.11. [6, Coro. 2.8] Considérons l’application :

H²(G_KM,D₀(U,Zp(2)))→H²(G_KM,D₀(U, t²B⁺_dR(K⁺))).

Wang

L’image deν =µ₁⊗µ₂ peut être représenté par le 2-cocycle (σ, τ)7→ {µ˜_1,Ψ1⊗µ˜_1,Ψ2}_σ,τ,

qui est l’inflation du2-cocycle surP_KM à valeurs dansD₀(U, t²B⁺_dR(K⁺_{M p}∞)).

Démonstration. Ce corollaire résulte du lemme précédent et de la formule du cup-produit. La formule du cup-produit de deux cocycles est : soientG un groupe,A, BdeuxG-module à droite. Sif₁∈Hⁱ(G, A) etf₂∈H^j(G, B), on af1∪f2 ∈H^i+j(G, A⊗B) où

f₁∪f₂(σ_i+j,· · ·, σ_i+1, σ_i,· · · , σ₁)

=(f₁(σ_i,· · ·, σ₁)∗σ_i+1∗ · · · ∗σ_i+j)⊗f₂(σ_i+j,· · · , σ_i+1).

On applique cette formule àf₁ = ˜µ_1,Ψ1 ∗(σ−1) et f₂= ˜µ_2,Ψ2 ∗(σ−1) et on obtient un 2-cocycle (σ, τ) 7→ {µ˜1,Ψ1 ⊗µ˜1,Ψ2}_σ,τ, qui représente ν et à valeurs dans D₀(U, t²B⁺_dR(K⁺_{M p}∞)). Donc il est l’inflation du 2-cocycle sur P_KM à valeurs dansD₀(U, t²B⁺_dR(K⁺_{M p}∞)).

5.2.4. Descente de K_{M p}^∞ à K_M.

Définition 5.12. Siv_p(M)≥v_p(2p), on pose B⁺_log(K⁺_{M p}∞) =B⁺_dR(K⁺_{M p}∞)[u_q], oùu_q= log ˜q. On définit une application ˜K⁺_M[u_q]-linéaire :

R_M,log:B⁺_log(K⁺_{M p}∞)−→K˜⁺_M[uq];^X

k

x_ku^k_q 7→^X

k

R_M(x_k)u^k_q,

oùR_M est la trace de Tate normalisée surB⁺_dR(K⁺_{M p}∞) à valeurs dans ˜K⁺_M. Comme ˜K⁺_M[u_q] est stable sous l’action deP_KM etR_M commute avec l’ac-tion dePKM, on déduit que R_M,log commute avec l’action dePKM. Notons R_M,log encore parR_M.

D’après ce qui précède et de la relation (5.3), z_M,A est la classe du 2-cocycle

(σ, τ)7→

Z

U

((e^k−2₁ t^−j)∗g){µ˜1,Ψ1 ⊗µ˜2,Ψ2}_σ,τ,

qui est aussi la classe du 2-cocycle par “la trace de Tate normalisée "

(σ, τ)7→R_M( Z

U

(e^k−2₁ t^−j)∗g){µ˜1,Ψ1 ⊗µ˜2,Ψ2}_σ,τ. Lemme 5.13. [6, Lemme 2.9]Si ad−bc∈Z^∗p, alors

R_M(logθ(˜q,q˜_{M p}^a nζ˜_{M p}^b n) logθ(˜q,q˜^c_{M p}nζ˜_{M p}^d n)) =

p⁻²ⁿlogθ(˜q^pn,q˜_M^a ζ˜_M^b ) logθ(˜q^pn,q˜^c_Mζ˜_M^d ).

Démonstration. On a la formule explicite pour logθ(˜q,q˜_{M p}^a nζ˜_{M p}^b n) : logθ(˜q,q˜^a_{M p}ⁿζ˜_{M p}^{b n}) = ( 1

12 + a

2M pⁿ)uq+ b 2M pnt + (

+∞

X

m=1

log(1−q˜^mq˜^a_{M p}nζ˜_{M p}^b n) +

∞

X

m=0

log(1−q˜^mq˜_{M p}^−anζ˜_{M p}^−bn)).

Comme R_M(uq) = uq = p⁻ⁿu^p_qⁿ et R_M(t) = t = p⁻ⁿlog ˜ζ^pn, il suffit de vérifier les relations suivantes :

R_M(log(1−q˜^mq˜_{M p}^a nζ˜_{M p}^b n)) =p⁻ⁿlog(1−q˜^pnmq˜^a_Mζ˜_M^b ), R_M(log(1−q˜^m1q˜^a_{M p}ⁿζ˜_{M p}^{b n}) log(1−q˜^m2q˜_{M p}^{c n}ζ˜_{M p}^{d n}))

=p⁻²ⁿlog(1−q˜^pnm1q˜_M^a ζ˜_M^b ) log(1−q˜^pnm2q˜_M^c ζ˜_M^d ) Commead−bc∈Z^∗_p,aetbne sont pas divisibles parpⁿsimultanément.

Donc pourpⁿ-i, on obtient R_M((˜q^mq˜^a_{M p}nζ˜_{M p}^b n)ⁱ) = 0. On en déduit que

R_M(log(1−q˜^mq˜^a_{M p}nζ˜_{M p}^b n)) =R_M(−

∞

X

i=1

(˜q^mq˜^a_{M p}nζ˜_{M p}^b n)ⁱ

i )

=p⁻ⁿlog(1−(˜q^pn)^mq˜_M^a ζ˜_M^b ).

Pour le terme

log(1−q˜^m1q˜_{M p}^a nζ˜_{M p}^b n)·log(1−q˜^m2q˜_{M p}^c nζ˜_{M p}^d n), on développe le produit :

log(1−q˜^m1q˜_{M p}^a nζ˜_{M p}^b n)·log(1−q˜^m2q˜_{M p}^c nζ˜_{M p}^d n)

= (

+∞

X

i=1

−(˜q^m1q˜_{M p}^a nζ˜_{M p}^b n)ⁱ

i )(

+∞

X

j=1

−(˜q^m2q˜_{M p}^c nζ˜_{M p}^d n)^j

j )

=

+∞

X

i,j=1

(˜q^m1q˜_{M p}^a nζ˜_{M p}^b n)ⁱ(˜q^m2q˜_{M p}^c nζ˜_{M p}^d n)^j ij

Commead−bc∈Z^∗_p, cela équivaut à dire que "pⁿ|ai+cj etpⁿ|bi+dj sont équivalent à pⁿ|i et pⁿ|j". Donc en appliquant R_M à la formule ci-dessus,

Wang En composant les résultats ci-dessus, on obtient la formule voulue dans

le lemme. z_M,A peut se représenter par le 2-cocycle

(σ, τ)7→ lim la somme portant sur l’ensembleU⁽ⁿ⁾ comme ci-dessous

{(a₀, b0, c0, d0)∈ {1,· · · , M pⁿ}⁴|a₀ ≡α, b0≡β, c0 ≡γ, d0 ≡δ mod M}.

Démonstration. zM,A peut se représenter par le 2-cocycle (σ, τ)7→R_M(

Z

U

((e^k−2₁ t^−j)∗g){µ˜1,Ψ1 ⊗µ˜2,Ψ2}_σ,τ).

Par la définition de l’intégration surU, on a R_M(

Comme la trace de Tate normalisée commute avec l’action deP_KM, on a R_M{logθ(˜q,q˜_{M p}^a0 nζ˜_{M p}^b0 n)⊗logθ(˜q,q˜^c_{M p}⁰ nζ˜_{M p}^d0 n)}_σ,τ

={R_M(logθ(˜q,q˜_{M p}^a0 nζ˜_{M p}^b0 n)⊗logθ(˜q,q˜^c_{M p}⁰ nζ˜_{M p}^d0 n))}_σ,τ.

D’après le lemme précédent, on a 5.2.5. Passage à l’algèbre de Lie. Comme le 2-cocycle

(σ, τ)7→ lim

obtenu dans la section précédente est la limite de 2-cocycles analytiques à valeurs dans K_M⁺ ⊗V_k,j, on peut utiliser les techniques différentielles dans la section (4.1) pour calculer son image dansK⁺_M par l’application exp^∗_Kato. Si f(x₁, x₂) est une fonction en deux variables, on note D₁ (resp. D₂)

Démonstration. Soitf_a,b⁽ⁿ⁾ définie comme ci-dessus. Alors l’action habituelle de (u, v)∈P_m sur f_a,b⁽ⁿ⁾ est :

(u, v)f_a,b⁽ⁿ⁾=f(˜q^pn,q˜_M^a ζ˜_M^au+bev).

Du développement limité du terme de droite enu etv, on déduit f(˜q^pn,q˜_M^a ζ˜_M^au+bev) =f(˜q^pn,q˜^a_Mζ˜_M^b )+u(at

Wang

Soientσ = (u, v),τ = (x, y)∈P_m. Par un calcul explicite de f_a⁽ⁿ⁾

0,b0 ∗(^1uey+x

0 e^v+y )−(¹_0e^xy)⊗g_c⁽ⁿ⁾

0,d0∗((¹_0e^xy)−1)

àO((u, v, x, y)³) près, en utilisant la formule que l’on vient juste d’établir, on obtient :

∆ = (a₀u+b₀v)(c₀x+d₀y)

M² t²D₂logr_cθ_a⁽ⁿ⁾

0,b0

·D₂logr_dθ_c⁽ⁿ⁾

0,d0

.

Alors, par la définition de l’applicationδ⁽²⁾, on obtient δ_a⁽²⁾

0,b0,c0,d0 = (a₀d₀−b₀c₀)t²

M² ·D₂logr_cθ_a⁽ⁿ⁾

0,b0

·D₂logr_dθ⁽ⁿ⁾_c

0,d0

Lemme 5.16. Si s≥2−j et a, b, c, d∈Z, alors on a

(ae1+be2)^k−2t^sf_a,b⁽ⁿ⁾·g_c,d⁽ⁿ⁾ = (ae1+be2)^k−2

a(1−s) ·(ad−bc)· t

Mf_a,b⁽ⁿ⁾·D2g_c,d⁽ⁿ⁾, dans( ˜K⁺_M ⊗V_k,j)/(∂₁,1−∂₂).

Démonstration. Pour (u, v)∈P_m, on a :

f_a,b⁽ⁿ⁾∗((u, v)−1) =u∂1f_a,b⁽ⁿ⁾+v∂2f_a,b⁽ⁿ⁾+O((u, v)²).

En comparant avec la formule (5.6), on obtient que ∂₁f_a,b⁽ⁿ⁾ = _M^atD₂f_a,b⁽ⁿ⁾ et

∂2f_a,b⁽ⁿ⁾= _M^btD2f_a,b⁽ⁿ⁾. En composant les formules dans la démonstration de la proposition (5.2), on obtient :

(a(1−∂₂) +b∂₁)(ae₁+be₂)^k−2t^sf_a,b⁽ⁿ⁾g⁽ⁿ⁾_c,d

=a(1−s)(ae₁+be₂)^k−2t^sf_a,b⁽ⁿ⁾g_c,d⁽ⁿ⁾ + (bc−ad)t

M (ae₁+be₂)^k−2t^sf_a,b⁽ⁿ⁾D₂g_c,d⁽ⁿ⁾, qui est nul dans (˜K⊗Vk,j)/(∂1,1−∂2) pours≥2−j. Donc :

(ae1+be2)^k−2t^sf_a,b⁽ⁿ⁾g⁽ⁿ⁾_c,d = (ad−bc) a(1−s)

t

M(ae1+be2)^k−2t^sf_a,b⁽ⁿ⁾D2g_c,d⁽ⁿ⁾. On a défini une application res_k,j : ˜K⁺_M⊗V_k,j → K_M⁺ dans la recette 5.3.

Elle permet de calculer l’image de zM,A dans K⁺_M.

Corollaire 5.17. On a res_k,j (a₀e₁+b₀e₂)^k−2

(a₀d₀−b₀c₀)^jt^j ·δ_a⁽²⁾

0,b0,c0,d0

!

=M^−1−j· a^k−1−j₀

(j−1)! ·D₂log(r_cθ_a⁽ⁿ⁾

0,b0)·D^j₂log(r_dθ⁽ⁿ⁾_c

0,d0).

Démonstration. D’après les lemmes (5.15) et (5.16), on obtient la formule suivante,

(a₀e₁+b₀e₂)^k−2

(a0d0−b0c0)^jt^j ·δ⁽²⁾_a0,b0,c0,d0

= (a₀e₁+b₀e₂)^k−2t^2−j

(a0d0−b0c0)^j−1M² ·D₂logr_cθ_a⁽ⁿ⁾

0,b0

·D₂logr_dθ_c⁽ⁿ⁾

0,d0

=M^−1−j(a₀e₁+b₀e₂)^k−2t

a^j−1₀ (j−1)! ·D₂logr_cθ⁽ⁿ⁾_a

0,b0

·D^j₂logr_dθ⁽ⁿ⁾_c

0,d0

. Par definition de res_k,j, on a :

res_k,j (a₀e₁+b₀e₂)^k−2 (a₀d₀−b₀c₀)^jt^j ·δ_a⁽²⁾

0,b0,c0,d0

!

= M^−1−ja^k−1−j₀

(j−1)! ·D₂logr_cθ_a⁽ⁿ⁾

0,b0

·D₂^jlogr_dθ_c⁽ⁿ⁾

0,d0

. Comme∂_zE_c,α,β^(k) =E_c,α,β^(k+1), pour k≥0, on a

D^r₂logr_cθ(x₁, x₂) =c²E_r(x₁, x₂)−c^rE_r(x₁, x^c₂).

On note E_c,r(x₁, x₂) =c²E_r(x₁, x₂)−c^rE_r(x₁, x^c₂). Si b≡β mod M et d≡δ mod M, on a ζ_M^b =ζ_M^β , ζ_M^d =ζ_M^δ . Donc par le corollaire (5.14) et le calcul que nous avons fait, on obtient :

exp^∗_Kato(z_M,A)

= M^−1−j (j−1)! · lim

n→∞

X

a0≡α[M] c0≡γ[M] 1≤a0,c0≤M pⁿ

a^k−1−j₀ E_c,1(q^pn, q_M^a0ζ_M^β )E_d,j(q^pn, q^c_M⁰ζ_M^δ ).

Enfin, on utilise le lemme suivant pour terminer le calcul :

Lemme 5.18. [6, Lemme 2.14] Si 1≤r ∈N, et si c, d∈Z^∗p, on a : (1)

X

c0≡γ[M]

1≤c₀≤M pⁿ

Ej(q^pn, q^c_M⁰ζ_M^δ ) =E_γ/M,δ/M^(j) et

Wang

Démonstration. (1) La deuxième assertion découle de la première, et la première est un calcul direct par définition.

(2) On démontre l’assertion en prouvant que ces deux formes modulaires p-adiques ont le même q-développement. D’après la proposition (2.10), on a :

Notons la limite à gauche par (?).

D’abord, on montre l’égalité pour le terme constant. D’après la proposi-tion (2.10), le terme constant de (?) et M^rF_c,α/M,β/M^(r+1) sont

On noteµc la mesure surZp dont sa transformée d’Amice est c²

On constate queA0 est la somme de Riemann

n→+∞lim et donc il coïncide avec l’intégrationp-adiqueM^rR

Z^p(α/M+x)^rµc, qui est exactementB0.

Ensuite, on se ramène à montrer l’égalité suivante :

(5.8) lim

n→∞

X

a0≡α[M] 1≤a0≤M pⁿ

a^r₀E₁(q^pn, q_M^a0ζ_M^β ) =M^rF_α/M,β/M^(r+1) .

On note la limite à gauche par (?⁰). En effet, si (5.8) est vrai, on a

n→∞lim X

a0≡α[M] 1≤a₀≤M pⁿ

a^r₀E_c,1(q^pn, q_M^a0ζ_M^β )

=M^rc²F_α/M,β/M^(r+1) − lim

n→∞

X

a0≡α[M]

1≤a₀≤M pⁿ

a^r₀cE1(q^pn, q^ca_M⁰ζ_M^cβ)

Commec∈Z^∗p, on conclut en appliquant le (5.8) à

n→∞lim X

a0≡α[M] 1≤a₀≤M pⁿ

a^r₀cE1(q^pn, q_M^ca0ζ_M^cβ)

=c^−r lim

n→∞

X

a0≡α[M] 1≤a0≤M pⁿ

(ca₀)^rcE₁(q^pn, q_M^ca0ζ_M^cβ).

Revenons à la démonstration de l’égalité (5.8). Il ne reste qu’à comparer les séries de Dirichlet formelles associées aux q-développements de (?⁰) et de M^rF_α/M,β/M^(r+1)

SoitF_a⁽¹⁾

0/M pⁿ,β/M(q) =^P_m∈Q+b_mq^m. D’après la proposition (2.10), la sé-rie de Dirichlet formelle à coefficients dansQ^cyclassociée àF_a⁽¹⁾

0/M pⁿ,β/M(q^pn) vérifie :

(5.9) ^X

m∈Q⁺

bm

(pⁿm)^s

=p^−ns(ζ(a₀/M pⁿ, s)ζ^∗(β/M, s)−ζ(−a₀/M pⁿ, s)ζ^∗(−β/M, s)).

Soit ^P_m∈

Q⁺b_m,nm^−s la série de Dirichlet formelle à coefficients dans Q^cycl associée au q-développement de ^P _a0≡α[M]

1≤a0≤M pⁿ

a^r₀F_a⁽¹⁾

0/M pⁿ,β/M(q^pn).

Alors, de la formule (5.9), on a :

Wang

Considérons l’injection de Dir(Q^cycl) dans Dir(Q^cyclp ). Alors la série de Dirichlet formelle, à coefficients dansQ^cyclp , associée auq-développement de (?), est la limite p-adique lim

n→∞

C’est la même série de Dirichlet à coefficients dans Q^cyclp associée au q-développement deM^rF_α/M,β/M^(r+1) .

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ShanwenWang

Université Pierre et Marie Curie Institut de Mathématiques de Jussieu 4, Place Jussieu

75005 PARIS, France

E-mail:wetiron1984@gmail.com