Les anneaux de Fontaine 1. Le corps K et les formes modulaires

3.1.1. Le corps K. Soit K⁺ =Qp{^q_p} l’algèbre des fonctions analytiques sur la boule v_p(q) ≥ 1 à coefficients dans Qp; c’est un anneau principal complet pour la valuationv_p,K définie par la formule :

v_p,K(f) = inf

n∈N

v_p(a_n), sif = ^X

n∈N

a_nqⁿ/pⁿ∈K⁺. Cette valuation est aussi la valuation spectrale :

v_p,K(f) = inf

vp(q)≥1v_p(f(q)).

La restriction de la valuationv_p,K à Qp coïncide avec la valuation p-adique normaliséevp surQp. Dans la suite, on noteravp au lieu devp,K. L’anneau K⁺est un anneau de Dedekind, et donc chaque idéal premier deK⁺ définit une valuation sur K⁺. En particulier, on a la valuation normaliséevq (i.e.

v_q(q) = 1) correspondant à l’idéal premier (q) deK⁺.

On note K le complété du corps des fractions de l’anneau K⁺ pour la valuationv_p. Fixons une clôture algébriqueKde K. CommeKest un corps complet pour la valuation vp, on peut prolonger vp sur K à K de manière unique par la formule :

v_p(x) = 1

[K[x] :K]v_p(N_K[x]/K(x)), si x∈K.

On note le groupe de Galois de KsurK parG_K.

Remarque 3.1. Il existe une manière de prolonger la valuation spectrale en une valuation spectrale surK: six∈K, on noteP(X) =Xⁿ+a1Xⁿ⁻¹+

· · ·+a_n∈K[X] le polynôme caractéristique dey 7→xy,∀y∈K[x]. On définit la valuation spectralevspsurK[x] par la formule :vsp(x) = min1≤i≤nvp(ai)

i . Elle coïncide avec la valuationv_p sur K.

Soit M ≥ 1 un entier. On note qM (resp. ζM) une racine M-ième q^1/M (resp. exp(^2iπ_M )) de q (resp. 1). On note F_M = Qp[ζ_M]. Soit K_M = K[qM, ζM] ; c’est une extension galoisienne de K. Soit F_M =K[ζM] la sous-extension deK_M surK, qui est aussi une extension galoisienne deK; la clô-ture intégraleF⁺_M deK⁺dansF_M estK⁺[ζM], qui est l’anneau des fonctions analytiques sur la boule v_p(q) ≥ 1 à coefficients dans F_M. Alors, K_M est une extension de Kummer deF_M de groupe de Galois cyclique d’ordreM, dont un générateurσM est défini par son action sur qM :σMqM =ζMqM.

On noteK_∞ (resp. F_∞) la réunion des K_M (resp.F_M),M ≥1. On note P_Qp(resp.P

Qp) le groupe de Galois deQpK_∞surK(resp.QpK) . Le groupe PQpest un groupe profini qui est isomorphe au groupe ˆZ. De plus, on a une suite exacte :

0→P

Qp →P_Qp → G_Qp→0.

FixonsM un entier≥1. On noteK_{M p}^∞ (resp.F_{M p}^∞, F_{M p}^∞) la réunion des K_{M p}ⁿ (resp. F_{M p}ⁿ, F_{M p}^∞), n ≥ 1, ainsi que P_KM le groupe de Galois de K_{M p}^∞ sur K_M. On note U_KM le groupe de Galois de K_{M p}^∞ sur F_{M p}^∞, qui est isomorphe au groupe Zp, et on note Γ_KM le groupe de Galois de F_{M p}^∞ sur K_M, qui est isomorphe au groupe Gal(FM p^∞/FM). On a une suite exacte : 0→U_KM →P_KM →Γ_KM →0.

Soit K⁺ la clôture intégrale de K⁺ dans K. La clôture intégrale de Qp

dansKest une clôture algébrique deQp. Donc on a une inclusionQp ⊂K⁺. On note K⁺_M la clôture intégrale de K⁺ dans K_M, qui est aussi la clôture intégrale deF⁺_M dansK_M.

Lemme 3.2. (1) Si M ≥ 1 est un entier, on a K⁺_M = K⁺[ζ_M, q_M].

En particulier, K⁺_M est l’anneau des fonctions analytiques sur la boule vp(qM)≥ _M¹ .

(2) La valuationvp sur K⁺_M est donnée par la formule : v_p(x) = inf

vp(qM)≥_M¹

v_p(

+∞

X

n=0

a_n(x)qⁿ_M).

Wang

Démonstration. (1) Six∈K⁺_M, il s’écrit uniquement sous la forme x=

M−1

X

i=0

biqⁱ_M avec bi ∈F_M. Comme xq_M^M−i ∈ K⁺_M, on a _M¹ Tr_K

M/FM(xq_M^M−i) = b_iq ∈ F⁺_M et donc b_i ∈ q⁻¹F⁺_M. La valuation normalisée v_q de K⁺ s’étend de manière unique en une valuation vq sur K_M car (q) est totalement ramifié. On constate que v_q(F⁺_M[q⁻¹]) =Zet les v_q(b_iqⁱ_M) sont distincts deux à deux. On en déduit que 0≤vq(x) = infi(vq(bi) +_Mⁱ ) et inf_ivq(bi)≥0. Ceci permet de conclure queb_i ∈F⁺_M pour touti.

Sia∈F⁺_M, alorsapeut s’écrire uniquement sous la formea=^P+∞_j=0ajq^j, où aj est une suite d’éléments deFM telle que limj→+∞vp(aj) +j= +∞.

On conclut le (1) en appliquant cette écriture àbi pour 0≤i≤M−1.

(2) D’après le (1),K⁺_M est l’anneau des fonctions analytiques sur la boule v_p(q_M) ≥ _M¹ à coefficients dans F_M et donc il est muni d’une valuation spectralev donnée par la formule : v(x) = inf_vp(q

M)≥¹

M vp(^P+∞_n=0an(x)q_Mⁿ).

L’anneau K⁺ s’identifie à un sous-anneau de K⁺_M par changement de va-riable : f(q) =^P+∞_n=0anqⁿ=^P+∞_n=0aM nq_M^{M n} si f(q) ∈K⁺. Alors la restric-tion de la valuarestric-tion spectralev sur K⁺_M àK⁺ coïncide avec la valuation v_p surK⁺. On en déduit la formule de valuation dans le lemme puisqu’il existe une manière unique de prolonger la valuationv_p sur Kà K_M.

On noteK⁺_{M p}∞ (resp.F⁺_{M p}∞) la clôture intégrale deK⁺dansK_{M p}^∞ (resp.

F_{M p}^∞). PosonsIn={_pn−1^a |a∈N,0≤a≤(p−1)pⁿ⁻¹−1} etJn={_p^bn|b∈ N,0≤b≤pⁿ−1}. On noteI (resp.J) la réunion des In (resp. Jn), pour toutesn≥1. Le lemme suivant, qui décrit l’écriture explicite d’un élément de K⁺_{M p}∞, est une conséquence directe du lemme 3.2.

Lemme 3.3. SoitM ≥1un entier tel quevp(M)≥vp(2p) (resp.vp(M)<

vp(2p)).

(1) Les {q_M^j }_j∈J forment une base de K⁺_{M p}∞ sur F⁺_{M p}∞. De plus, tout x∈ K⁺_{M p}∞ peut s’écrire uniquement sous la forme ^P_j∈J^P_k∈

Na_jk(x)q_M^j+k, pour une suite double a_jk(x)∈F_{M p}^∞, telle que,

(i) quel que soitj ∈J, la série ^P_k∈

Na_jk(x)q_M^k converge dans F⁺_{M p}∞; (ii) L’ensemble des j∈J tels qu’il existe k∈Navec a_jk(x)6= 0 est fini.

(2)Les{ζ_Mⁱ q^j_M}_(i,j)∈J×J (resp.{ζ_Mⁱ q_M^j }_(i,j)∈I×J)forment une base deK⁺_{M p}∞

sur K⁺_M. De plus, tout x∈K⁺_{M p}∞ peut s’écrire uniquement sous la forme X

j∈J

X

i∈J

X

k∈N

a_ijk(x)ζ_Mⁱ q^j+k_M (resp.^X

j∈J

X

i∈I

X

k∈N

a_ijk(x)ζ_Mⁱ q^j+k_M ),

pour une suite triplea_ijk(x)∈F_M telle que :

(i) Quel que soit(i, j)∈J×J (resp.(i, j)∈I×J), la série^X

k∈N

a_ijk(x)q_M^k converge dansK⁺_M (i.e.lim_k→+∞v_p(a_ijk(x)) + _M^k = +∞.)

(ii) L’ensemble {(i, j)|∃k∈N, aijk(x)6= 0} est fini.

(3) La valuationv_p sur K⁺_{M p}∞ est donnée par la formule : v_p(x) = inf

vp(q)≥1(v_p(^X

j∈J

X

i∈J

X

k∈N

a_ijk(x)ζ_Mⁱ q_M^j+k)) (resp. inf

vp(q)≥1(v_p(^X

j∈J

X

i∈I

X

k∈N

a_ijk(x)ζ_Mⁱ q_M^j+k))).

3.1.2. Le théorème d’Ax-Sen-Tate. Soit L un anneau de caractéris-tique 0, muni d’une valuation vp normalisée par vp(p) = 1. On note C(L) le complété de L pour la valuation v_p. Le but du reste de ce paragraphe est de montrer un analogue (le théorème 3.6) du théorème d’Ax-Sen-Tate et de donner une description de l’anneauC(K⁺_{M p}∞) (c.f. Corollaire 3.7).

Soit H un sous-groupe fermé de G_KM ; si α ∈ K, on définit le dia-mètre ∆_H(α) par rapport à un sous-groupe fermé H deG_KM par ∆_H(α) = inf_g∈H(vp(gα−α)). Notons queα∈K^H si et seulement si ∆_H(α) = +∞.

Lemme 3.4. SoitP(X)∈K[X] (resp.∈K⁺[X]), unitaire de degrén, dont toutes les racines vérifient vp(α)≥u, où u est une constante.

(1) Si n = p^kd avec (p, d) = 1 et d ≥ 0 et si l = p^k, alors le polynôme P^(l), dérivée l-ième deP, a au moins une racineβ ∈K (resp.K⁺) vérifiant v_p(β)≥u.

(2) Si n= p^k+1 et l =p^k, alors P^(l) a au moins une racine β ∈ K (resp.

K⁺) vérifiant vp(β)≥u−_pk+1¹_−pk.

Démonstration. La démonstration pourP ∈K[X] est classique. Par exem-ple, elle se trouve dans les notes du cours⁶ de Colmez. Elle marche aussi

pourP ∈K⁺[X].

Lemme 3.5 (Ax). Il existe une constante C= _(p−1)^p 2 telle que (1)siα∈K, alors il existea∈K_{M p}^∞ vérifiantv_p(α−a)≥∆_GK

M p∞(α)−C; (2) siα∈K⁺, alors il existe a∈K⁺_{M p}∞ vérifiant

v_p(α−a)≥∆_GK

M p∞(α)−C.

Démonstration. Le (1) correspond au cas traité par Ax ; nous ne traiterons donc que le (2). Soit α ∈ K⁺ tel que [K_{M p}^∞[α] : K_{M p}^∞] = n et soit l(n) le plus grand entier l tel que p^l ≤ n. On montre le résultat suivant par

6. http ://www.math.jussieu.fr/˜colmez/nombres-p-adiques.pdf

Wang

récurrence sur n: il existe a∈K⁺_{M p}∞ vérifiantv_p(a−α) ≥∆G_K

M p∞(α)− Pl(n)

i=1 1

pⁱ−pⁱ⁻¹ ; ce qui permet de conclure la démonstration du lemme car P+∞

i=1 1

pⁱ−pⁱ⁻¹ = _(p−1)¹ 2.

On prend la constanteu= ∆_GK

M p∞(α) dans le lemme précédent. Posons P(X) =Q(X+α), oùQest le polynôme minimal deα surK⁺_{M p}∞. Comme les racines deP sont lesσ(α)−α, pourσ∈ G_{KM p}∞,P(X) vérifie la condition du lemme précédent.

(i) Si n n’est pas une puissance de p, il existe l ∈ N tel que le polynôme Q^(l) ∈ K⁺_{M p}∞[X] ait une racine β ∈ K⁺ vérifiant vp(β−α) ≥ u. D’autre part, siσ ∈ G_{KM p}∞, alors on a

v_p(σ(β)−β)≥min(v_p(σ(β−α)), v_p(σ(α)−α), v_p(α−β))≥u.

Par ailleurs, on a [K_{M p}^∞[β] : K_{M p}^∞] = degQ^(l) < n. Cela permet de conclure par l’hypothèse de récurrence.

(ii) Si n = p^k+1, on peut trouver une racine β de Q^(pk)(X) vérifiant les conditions

vp(β−α)≥u− 1

p^k+1−p^k et [K_{M p}^∞[β] :K_{M p}^∞]< n.

On tire l’existence de a∈K⁺_{M p}∞, de l’hypothèse de récurrence, vérifiant v_p(β−a)≥∆_GK

M p∞(β)−

k

X

i=1

1 pⁱ−pⁱ⁻¹. On a ∆G_K

M p∞(β)≥u de la même manière de (i). Ceci permet de conclure

la démonstration du lemme.

Théorème 3.6 (Ax-Sen-Tate). (1) Le corps K_{M p}^∞ est dense dans C(K)^{GKM p∞}.

(2) L’anneauK⁺_{M p}∞ est dense dans C(K⁺)^{GKM p∞}.

Démonstration. On montre le (2) et le (1) se déduit de la même manière.

L’inclusionC(K⁺_{M p}∞)⊂H⁰(G_{KM p}∞,C(K⁺)) est immédiate. Il suffit de mon-trer l’inverse.

Siα ∈H⁰(G_{KM p}∞,C(K⁺)), il existe une suite {α_n ∈K⁺ : v_p(α−α_n) ≥ n}_n∈N. On note ∆_n = ∆G_K

M p∞(αn). Quel que soit σ ∈ G_{KM p}∞, on a v_p(σ(α_n)−α_n)≥min{v_p(σ(α_n−α)), v_p(α_n−α)} ≥n. Ceci implique que

∆_n ≥n. Par ailleurs, quel que soit n≥1, par le lemme d’Ax 3.5, il existe un élément an ∈ K⁺_{M p}∞ tel que vp(αn−an) ≥ ∆_n− _(p−1)^p ₂ ≥ n− _(p−1)^p ₂. Ceci implique que vp(α−an) ≥ n− _(p−1)^p ₂ et α est la limite de la suite

{a_n}_n∈N.

Corollaire 3.7. Soit M ≥ 1 un entier tel que v_p(M) ≥ v_p(2p) (resp.

Démonstration. On déduit le corollaire du lemme 3.3 et du théorème

d’Ax-Sen-Tate 3.6.

3.1.3. Trace de Tate normalisée. Dans ce paragraphe, on construira une applicationK⁺_M-linéaire continue T_M, appelée la trace de Tate norma-lisée, de K⁺_{M p}∞ dans K⁺_M pour tous M ∈ N, et on décrira ses propriétés.

L’ingrédient principal est la construction de la trace de Tate normalisée pour l’algèbre de Tate de type Zp{T, T⁻¹}, qui est bien étudiée par

Simest un entier non negatif, on définit une application R^m_∞[¹_p]-linéaire Λ_m :R^∞_∞[¹_p]→R^m_∞[¹_p] par la formule :

Λ_m(x) = 1

p^n−mTr_Rn

n[¹_p]/R^m_n[¹_p](x), si n≥m etx∈Rⁿ_n[1 p].

Lemme 3.8. (1) Il existe une constanteC telle que pour tout m∈Net x∈R^m+1_m+1[¹_p], on avp((um−1)x)≥vp(x) +_p−1¹ −Cp^−m.

Wang

(2) Λ_m est continue. Plus précisément, on a v_p(Λ_m(x))≥v_p(x)−_pm−1^C . Démonstration. Ce lemme est un cas particulier dans [3, Lemme 3.7 et 3.8], et l’ingrédient principal est la contrôlation de ramification dans [2, coro. 3.10 ].

(1) D’après [2, coro. 3.10], il existe une constante C telle que, pour tous m≥1, on a

p^C/pmR^m+1_m+1 ⊂ ⊕^p−1_i=0R^m_m+1·(q p)

i

pm+1 ⊂R^m+1_m+1.

Si x ∈ R_m+1^m+1[¹_p], x s’écrit sous la forme

p−1

P

i=0

xi(^q_p)

i

pm+1, où xi ∈ R^m_m+1 et v(x_i)≥v(x)− _p^C_m. On en déduit que

vp((um−1)x) =vp(

p−1

X

i=0

xi(ζ_pⁱ −1)(q p)

i

pm+1)≥vp(x) + 1

p−1 − C p^m. (2) Six∈R^m+1_m+1[¹_p], on a

pΛ_m(x) = (

p−1

X

i=0

uⁱ_m)(x) = ((1−u_m)^p−1+pP(u_m))(x), oùP(X)∈Z[X] etP(1) = 1. On déduit de (1) que

vp(Λ_m(x))≥vp(x)−(p−1)C p^m. En conséquence, six∈Rⁿ_n[¹_p], on a

v_p(Λ_m(x))≥v_p(Λ_m+1(x))−(p−1)C p^m ≥ · · ·

≥v_p(x)−(p−1)C p^m(

n−1

X

i=0

1

pⁱ)≥v_p(x)− C p^m−1.

On note πn = ζ_pⁿ⁺¹−1. Comme (^q_p)^pn1 = a_(π^qpn

n)^p−1, où a est une unité de O_F

pn+1, on a une inclusion naturelle de K⁺_p∞ dans R^∞_∞[¹_p]. Si n ≥ m, on définit une application K⁺_pmFpⁿ-linéaire T_p^m_,pⁿ : K⁺_p∞ → K⁺_pmFpⁿ en composant la restriction de Λ_m à K⁺_p∞ et la trace de Tate normalisée de F∞ dans Fpⁿ. Soit M = M0p^m avec (p, M0) = 1. L’application T_p^m_,p^m s’étend en une trace de Tate normalisée T_M,p^m : K⁺_p∞F_M → K⁺_pmF_M par FM-linéarité.

Lemme 3.9. La trace de Tate normaliséeT_M,p^m estK⁺_pmF_M-linéaire, don-née par la formule :

T_M,p^m:K⁺_p∞FM −→K⁺_pmFM

ζ_M^a_0pⁿq_p^bn 7→

(ζ_M^a_0pⁿq_p^bn; sip^n−m|aet p^n−m|b;

0; sinon.

Soite1,· · · , e_d une base deK⁺_M sur K⁺_pmFM. Comme [K⁺_{M p}∞ :K⁺_p∞FM] = [K⁺_M :K⁺_pmFM], lese1,· · · , e_dforment aussi une base deK⁺_{M p}∞ surK⁺_p∞FM. Si x ∈ K⁺_{M p}∞, alors x peut s’écrire uniquement sous la forme x = Pd

i=1ai(x)ei avec ai(x)∈K⁺_p∞FM. On pose une applicationK⁺_M-linéaire T_M :K⁺_{M p}∞ →K⁺_M

par la formule T_M(x) =^Pd_i=1T_M,p^m(a_i(x))e_i.

Remarque 3.10. Si on fixe une base de K⁺_M sur K⁺_pmF_M, les coefficients ai(x) dans l’écriture de x ∈ K_{M p}ⁿ se calculent de la manière suivante : Soit e^∗₁,· · ·e^∗_d la base duale de K_M sur K_p^mF_M par rapport à la trace

1

dTr_KM/KpmFM. On a donca_i(x) = ¹_dTr_KpnM/K

pm+nFM(xe^∗_i).

Lemme 3.11. Si M ∈ N, l’application T_M est continue et elle s’étend par continuité en une application K⁺_M-linéaire T_M : C(K⁺_{M p}∞) → K⁺_M qui commute à l’action de G_K.

Démonstration. Par construction, il suffit de démontrer le lemme pourM = p^m. D’après Tate [26], la trace de Tate normalisée de F∞ dans F_p^m est continue. Comme Λ_m est continue, on en déduit que T_p^m est continue.

Sii∈I, j ∈J etσ ∈ G_K, on a (ζⁱq^j)∗σ =ζ^{(χcycl(σ)−1)i}ζ^cq(σ)jζⁱq^j, où c_q est le 1-cocycle associé àq à valeurs dansZp(1) par la théorie de Kummer.

La commutativité de T_p^m etG_K vient de la formule de l’action deG_K et de la formule de T_pm surK⁺_p∞(c.f. lemme 3.9).

3.1.4. Lien avec l’algèbre M(Q) des formes moduaires. En asso-ciant sonq-développement à une forme modulaire, on voit les formes mo-dulaires comme des éléments deQpK_∞.

Lemme 3.12. Le groupe de GaloisP_Qp de Q¯pK_∞ sur Kpréserve l’algèbre des formes modulairesM(Q); c’est-à dire, P_Qp est un sous-groupe de Π_Q. Démonstration. Considérons la suite exacte : 0→P

Qp →P_Qp → G_Qp →0, oùP

Qp

∼= (^{1 ˆ}_{0 1}^Z) le groupe de Galois de ¯QpK_∞surKQp. CommeG_Qp preserve M(Q), G_Qp est un sous-groupe de Π_Q. On a deux actions de (^{1 ˆ}Z

0 1) sur M(Q) :

(1) l’action induite par celle deP

Qp surQpK∞;

Wang

(2) l’action modulaire étendant par continuité celle de (¹_{0 1}^Z) surM(Q).

On constate que que ces deux actions de (^{1 ˆZ}

0 1) sur M(Q) coïncident en comparant les formules : on a (¹_{0 1}^b)q_M = q_Mζ_M^b dans les deux cas. Donc PQp preserve l’algèbre M(Q), ce qui permet de déduire le lemme.

En composant les morphismesG_K →P_Qp, l’inclusionP_Qp→Π_Qinduit un morphismeG_K→Π_Q. De plus, siM ≥1 un entier,G_KM est un sous-groupe de G_K et donc on a un morphismeG_KM →Π_Q.

3.2. Application de la construction de Fontaine à l’anneau K⁺. 3.2.1. La construction de Fontaine. Soit L un anneau de caractéris-tique 0, qui est muni d’une valuation vp telle que vp(p) = 1. On note O_L = {x ∈ L, v_p(x) ≥ 0} l’anneau des entiers de L pour la topologie p-adique. On note O_C(L) le complété de O_L pour la valuation vp. On pose C(L) =O_C(L)[¹_p].

Définition 3.13. Soit An =O_L/pO_L pour tous n; alors {A_n} muni des morphismes de transitionAn7→An−1définis par l’application de Frobenius absolux_n7→x^p_n forme un système projectif. Notons

R(L) = lim←−A_n={(x_n)n∈N|x_n∈ O_L/pO_L etx^p_n+1=x_n, si n∈N}.

Six= (x_n)_n∈N∈R(L), soit ˆx_nun relèvement dex_ndansO_C(L). La suite (ˆx^p_n+k^k ) converge quand k tend vers l’infini. On note x⁽ⁿ⁾ sa limite, qui ne dépend pas du choix des relèvements ˆxn. On obtient ainsi une bijection : R(L) → {(x⁽ⁿ⁾)n∈N|x⁽ⁿ⁾ ∈ O_C(L),(x⁽ⁿ⁺¹⁾)^p = x⁽ⁿ⁾,∀n}. Si x = (x⁽ⁱ⁾), y = y⁽ⁱ⁾sont deux éléments de R(L), alors leur sommex+y et leur produitxy sont donnés par : (x+y)⁽ⁱ⁾= lim_j→∞(x^(i+j)+y^(i+j))^pj et (xy)⁽ⁱ⁾ =x⁽ⁱ⁾y⁽ⁱ⁾. L’anneau R(L) est un anneau parfait de caractéristique p (i.e. le mor-phismex7→x^pest bijectif). On noteAinf(L) l’anneau des vecteurs de Witt à coefficients dansR(L). AlorsAinf(L) est un anneaup-adique (i.e. un anneau séparé et complet pour la topologiep-adique), d’anneau résiduel parfait de caractéristique p. Si x∈ R(L), on note [x] = (x,0,0, ...) ∈Ainf(L) son re-présentant de Teichmüller. Alors tout élémentadeAinf(L) peut s’écrire de manière unique sous la forme

∞

P

k=0

p^k[x_k] avec une suite (x_k)∈(R(L))^N. On définit un morphisme d’anneauxθ:Ainf(L)→ O_C(L) par la formule P+∞

k=0p^k[x_k] 7→ ^P+∞_k=0p^kx⁽⁰⁾_k . On note Binf(L) = Ainf(L)[¹_p], et on étend θ en un morphismeBinf(L)→C(L).On noteBm(L) =Binf(L)/(Kerθ)^m. On fait deBm(L) un anneau de Banach en prenant l’image de Ainf(L) comme anneau d’entiers.

On définit B⁺_dR(L) := lim←−Bm(L) comme le complété Ker(θ)-adique de Binf(L) ; on le munit de la topologie de la limite projective, ce qui en fait

un anneau de Fréchet. Doncθs’étend en un morphisme continu d’anneaux topologiquesB⁺_dR(L)→C(L).

On peut munirB⁺_dR(L) d’une filtration de la façon suivante : pouri∈N, notons FilⁱB⁺_dR(L) lai-ième puissance de l’idéal Kerθde B⁺_dR(L) .

L’anneauxAinf(L) s’identifie canoniquement à un sous-anneau deB⁺_dR(L) et sik∈N, m∈Z, on pose

U_m,k =p^mAinf(L) + (Kerθ)^k+1B⁺_dR(L),

alors les Um,k forment une base de voisinages de 0 dansB⁺_dR(L).

Exemple 3.14. (1) Si L = Qp, alors la construction est triviale (i.e.

B⁺_dR(Qp) =Qp).

(2) SiL=Qp, on note C_p =C(Qp), ˜E⁺=R(Qp),A˜⁺=Ainf(Qp) , ˜B⁺ = Binf(Qp) et B⁺_dR =B⁺_dR(Qp). On note ˜ζ (resp. ˜ζM pour un entierM ≥ 1) le représentant de Teichmüler de ζ⁽¹⁾ = (1, ζp,· · · , ζpⁿ,· · ·) (resp.

ζ^(M)= (ζM,· · ·, ζM pⁿ,· · ·)) dansAinf(K⁺). SiM|N, alors on a ˜ζ_N^N/M = ζ˜M. Le noyau du morphisme θ : ˜A⁺ → O_Cp est un idéal principal engendré par ω = _˜^ζ−1˜

ζp−1. On pose t= log ˜ζ =−^X+∞

n=1 (1−ζ)˜ⁿ

n ; c’est le 2πi p-adique de Fontaine, qui appartient à B⁺_dR et aussi engendre le noyau du morphismeθ: B⁺_dR →C_p.

(3) On va considérer les cas L = K⁺_{M p}∞ pour M ≥ 1 ∈ N et L = K⁺. Le 2πi p-adique de Fontaine t appartient à B⁺_dR(L). D’après la construction de Fontaine, on a un morphisme surjectif d’anneaux : θ :Ainf(L)→ O_C(L) avec le noyau engendré par ω = _˜^ζ−1˜

ζp−1. De plus,θ s’étend en un morphisme continu d’anneaux θ:B⁺_dR(L)→C(L),dont le noyau est l’idéal principal engendré par t ou ω , sur lequel G_K agit par multiplication par χ_cycl.

3.2.2. Trace de Tate normalisée pourB⁺_dR(K⁺_{M p}∞). Pour simplifier la notation, on noteAinf (resp.Binf etB⁺_dR) l’anneauAinf(K⁺) (resp.Binf(K⁺) et B⁺_dR(K⁺)). Soit ˜q (resp. ˜qM si M ≥ 1 est un entier) le représentant de Teichmüller dansAinf de (q, q_p,· · · , q_pⁿ,· · ·) (resp. (q_M,· · ·, q_{M p}ⁿ,· · ·)) . Si M|N, on a ˜q^N/M_N = ˜q_M.

On définit une application ι_dR : K⁺ → B⁺_dR par f(q) 7→ f(˜q) ; ce qui permet d’identifierK⁺ à un sous-anneau deB⁺_dR.

On note α= ^q_p^˜−[(^q_p,(^q_p)^p1,· · · ,)] et on aα ∈Ainf ∩Kerθ. Si f(q)∈K⁺ est de valuationp-adique≥0 (i.e.f(q) =^P_n∈Nan(^q_p)ⁿ∈K⁺avecan∈Zp),

Wang

on a f(˜q) =

+∞

X

n=0

an(α+ [(q p,(q

p)^1p,· · ·,)])ⁿ=

+∞

X

k=0

α^kX

n≥k

an

n k

! [(q

p,(q

p)^1p,· · ·,)]^k et la séries ^P_n≥kan n

k

[(^q_p,(^q_p)^1p,· · ·,)]^k converge dans Ainf. Donc ι_dR est continue. Mais il faut faire attention au fait que ιdR(K⁺) n’est pas stable parG_Kcar ˜qσ= ˜qζ˜^cq(σ) siσ∈ G_K, oùc_q est le 1-cocycle à valeur dansZp(1) associé à q par la théorie de Kummer.

Posons ˜K⁺ =ι_dR(K⁺)[[t]]. SiM ≥1 est un entier, on note ˜K⁺_M l’anneau K˜⁺[˜q_M,ζ˜_M] et pose ˜K⁺_{M p}∞ = ^S_nK˜⁺_{M p}n. L’application ι_dR s’étend en un morphisme continu deK⁺-modules ι_dR :K⁺_M →B⁺_dR en envoyantζ_M etq_M sur ˜ζ_M et ˜q_M respectivement. On a ˜K⁺_M =ι_dR(K⁺_M)[[t]].

Remarque 3.15. Le module ι_dR(K⁺_M) n’est pas un anneau car ˜ζ = ˜ζ_M^M ∈/ ιdR(K⁺_M). Donc le morphismeιdR :K⁺_M →B⁺_dR(K⁺) n’est plus un morphisme d’anneaux.

Lemme 3.16. (1) ˜K⁺ est stable sous l’action de G_K. (2) Le K˜⁺-module K˜⁺_M est égal au K˜⁺-moduleK˜⁺[ζM,q˜M].

Démonstration. Si σ ∈ G_K, σq˜ = ˜qζ˜^cq(σ) et ˜ζ ∈ K[[t]]. Alors σq˜ ∈ K[[t]].

Par ailleurs, on a σt=χcycl(σ)t. Cela permet de conclure le (1). Le (2) se déduit du fait suivant (c.f. [7, Lemme V 1.1]) :ζM = ˜ζMexp(−_M^t ).

Théorème 3.17. Soit M ≥1. On a (1) H⁰(G_{KM p}∞,B⁺_dR) =B⁺_dR(K⁺_{M p}∞); (2) ˜K⁺_{M p}∞ est dense dans B⁺_dR(K⁺_{M p}∞).

Le théorème se déduit des lemmes 3.18 et 3.20 suivants :

Lemme 3.18. Tout élémentxde(B⁺_dR)^GKp∞ s’écrit de manière unique sous la forme

+∞

X

k=0

ω^k( ^X

i∈I,j∈J

aijk(x) ˜ζⁱq˜^j),

où a_ijk(x) est une suite triple d’éléments deι_dR(K⁺) avec la propriété sui-vante : pourkfixé etN ∈N, l’ensemble{(i, j)∈I×J :v_p(a_ijk(x))+j≤N} est fini. De plus,K˜⁺_p∞ est dense dans (B⁺_dR)^GKp∞.

Démonstration. En composant l’applicationθ, l’application T₁ :C(K⁺)^GKp∞ →K⁺

et l’applicationι_dR, on définit une suite d’applications pouri∈I etj∈J : θ_ij : (B⁺_dR)^GKp∞ →ι_dR(K⁺);x7→θ_ij(x) = 1

q˜ ι_dR◦T₁(θ(x)ζ⁻ⁱq^1−j).

Soitη l’application de (B⁺_dR)^GKp∞ dans (B⁺_dR)^GKp∞ définie par η(x) =ω⁻¹(x− ^X

i∈I,j∈J

θij(x) ˜ζⁱq˜^j).

Six∈(B⁺_dR)^GKp∞ etn∈N, on a x=ωⁿ⁺¹ηⁿ⁺¹(x) +

n

X

k=0

ω^k( ^X

i∈I,j∈J

θij(η^k(x)) ˜ζⁱq˜^j),

ce qui montre que l’on peut poser aijk(x) = θij(η^k(x)) ; d’où l’existence d’une telle écriture. D’autre part, l’unicité se déduit de la construction de θij et de l’unicité d’écriture d’élément dans C(K⁺)^GKp∞. Enfin, la densité est une conséquence directe d’une telle écriture.

Remarque 3.19. Tout élément x de (B⁺_dR)^GKp∞ s’écrit aussi de manière unique sous la forme

+∞

X

k=0

t^k( ^X

i∈I,j∈J

a⁰_ijk(x) ˜ζⁱq˜^j)),

où la suite triple a⁰_ijk(x) d’éléments de ι_dR(K⁺) vérifie la même propriété dans le lemme.

Passons au cas général. SoitM =M₀p^mavec (p, M₀) = 1. Soientl, h∈N et h ≥ l tels que [K⁺_MK⁺

p^l : F⁺_MK_pl] = [K⁺_{M p}∞ : F⁺_MK⁺_p∞] = c et [F_MF_ph : F_p^h] = [FM p^∞ : Fp^∞] = d. Supposons que e1,· · ·, ec une base de K⁺_MK⁺_pl surF⁺_MK_pl etf₁,· · ·, f_dune base deF_MF_ph surF_ph. On peut démontrer le lemme suivant de la même manière du lemme 3.18.

Lemme 3.20. Sous l’hypothèse ci-dessus. Tout élément x de (B⁺_dR)^{GKM p∞} s’écrit de manière unique sous la forme :

+∞

X

k=0

ω^k(

c

X

i=0 d

X

j=0

b_ijk(x)ι_dR(ei)fj), avec b_ijk(x)∈(B⁺_dR)^GKp∞.

Proposition 3.21. Si X est un ouvert compact de Qp vérifiant X + p⁻¹Zp =X, il existe une unique application ι_dR(K⁺)-linéaire Res_X conti-nue de (B⁺_dR)^GKp∞ dans (B⁺_dR)^GKp∞ telle que l’on ait

Res_X( ˜ζ^xq˜^y) = ˜ζ^xq˜^y, six∈X, y ∈X∩Z[1

p], et Res_X( ˜ζ^xq˜^y) = 0, sinon.

Démonstration. Commeω =^Pp−1_i=0ζ˜_pⁱ est un polynôme en ˜ζ_p, on voit que s’il existe une telle application, Res_X doit être donnée par la formule (3.1) Res_X(x) =

+∞

X

k=0

ω^k( ^X

(i,j)∈(I∩X)×(J∩X)

a_ijk(x) ˜ζⁱq˜^j).

Wang Res_X définie par la formule (3.1) est continue.

Il ne reste donc plus qu’à donner la formule explicite pour Res_X( ˜ζ^x) si x∈Qp. On a le fait suivant dans ([7, prop. 4.2]) :

Res_X( ˜ζ^x) = ˜ζ^x, si x∈X, et Res_X( ˜ζ^x) = 0 sinon.

Ceci permet de conclure la démonstration en utilisant le formule explicite

pour Res_X.

Démonstration. S’il existe une telle application, elle est unique par conti-nuité deR_M.

Passons à l’existence. On décomposeM =M₀p^m avec (M₀, p) = 1.

Soit M₀ = 1. Soit S_m le sous-ι_dR(K⁺)-module de B⁺_dR engendré par les ζ˜^xq˜^y pourx∈p^−mZp, y∈p^−mZ. L’adhérence deS_m dansB⁺_dR est ˜K⁺_pm. En appliquant la proposition 3.21 à X = p^−mZp, on obtient une application K˜⁺_pm-linéaire continue Res_p^−m_Zp de (B⁺_dR)^GKp∞ dans (B⁺_dR)^GKp∞ telle que la restriction de Res_p−m

Z^p à ˜K⁺_p∞ vérifie la formule voulue. On pose R₁ = Res_p−m

Zp.

Passons au cas général. D’après le lemme 3.20, si x=

C’est une application ˜K⁺_M-linéaire. La continuité de R_M se déduit de celle de R₁.

Il ne reste donc plus qu’à vérifier que la restriction de R_M à ˜K_{M p}^∞ satisfait la formule voulue. On constate que l =m vérifie la condition du lemme 3.20 et si n ≥ m, on a [K⁺_MK⁺_pn : K⁺_pnF_M] = M₀ avec une base

3.3. Une application logarithme log. On noteU₀(K⁺) l’ensemble des éléments xde R(K⁺) tels quevp(x⁽⁰⁾−1)>0.

Lemme 3.23. Si x ∈U₀(K⁺), la série log[x] =^P+∞_n=1^(−1)n−1_n^([x]−1)n con-verge dans B⁺_dR(K⁺). Ceci définit une unique application logarithme x 7→

log[x]deU₀(K⁺)dansB⁺_dR(K⁺), qui est un morphisme deG_Qp-modules(i.e.

km+r converge dans Binf et la série P+∞

n=1

(−1)ⁿ⁻¹([x]−1)ⁿ

n est donc convergente pour la topologie faible dansB⁺_dR. La relation log[xy] = log[x] + log[y] se déduit par un argument de séries formelles.

Wang

On note ¯q = (q, q^1p,· · ·,)∈R(K⁺) ; son représentant de Teichmüller est q. Il est évident que ¯˜ q n’appartient pas à ˜E⁺U0(K⁺). On aimerait bien que l’application logarithme s’étend à ˜E⁺U₀(K⁺)×q¯^Q. On aσq˜= ˜qζ˜^cq(σ), oùc_q est le 1-cocycle à valeurs dansZp(1) associé à q par la théorie de Kummer, et le minimum que l’on puisse demander à u_q = log ˜q est de vérifier la formule σuq = uq +cq(σ)t, quel que soit σ ∈ G_K. Mais on a le résultat suivant qui dit qu’il n’existe pas un élémentu_q dansB⁺_dR et, de plus, un tel uq est transcendant sur B⁺_dR.

Théorème 3.24. u_q est transcendant sur B⁺_dR.

Démonstration. Supposons queu_q est algébrique sur B⁺_dR.

SoitP(X) =Xⁿ+a1Xⁿ⁻¹+· · ·+a0 ∈B⁺_dR[X] le polynôme minimal deuq

surB⁺_dR. Siσ∈ G_K, alors on a

0 =σ(P(X)) = (X+c_q(σ)t)ⁿ+σ(a₁)(X+c_q(σ)t)ⁿ⁻¹+· · ·+σ(a_n).

CommeP(X) est le polynôme minimal deuq, on aσ(P(X)) =P(X). Ceci permet de déduireσ(a₁) =a₁−ncq(σ)t et doncσ(^a_n¹) = ^a_n¹ −cq(σ)t. Ceci n’est pas possible car il n’existe pas d’élémentx de B⁺_dR tel que, siσ ∈ G_K, σx=x+cq(σ)t.

En effet, s’il existe un tel élément x dans B⁺_dR, alors il est stable sous l’action de G_{KM p}∞ pour tous M ≥ 1 et donc appartient à (B⁺_dR)^{GKM p∞} = B⁺_dR(K⁺_{M p}∞). Appliquons la trace de Tate normaliséeR_M :B⁺_dR(K⁺_{M p}∞) → K˜⁺_M à x, et donc on obtient que R_M(x) appartient à ˜K⁺_M tel que

(3.2) σRM(x) =R_M(x) +cq(σ)t, pour tous σ∈PK,

Par ailleurs, la filtration sur B⁺_dR est stable sous l’action de G_K, alors on peut supposer R_M(x) = a1 +a2(˜qM)t mod t² avec ai ∈ ιdR(K⁺_M) pour i= 1,2. On déduit la relation suivante de la formule (3.2) :σθ(a₂χ_cycl(σ)) = θ(a2) +cq(σ) pour tout σ ∈ PK, ce qui est impossible car θ(a2) ∈K⁺_M n’a qu’un nombre fini de conjugués etc_q(σ) prend un nombre d’infini de valeurs pourσ ∈Um⊂PK.

Remarque3.25. On peut montrer de la même manière que logtest trans-cendant sur B⁺_dR.

On poseB⁺_log =B⁺_dR[u_q] avecσ(u_q) =u_q+c_q(σ)t. Le groupeU₀(K⁺)×q¯^Q est stable sous l’action de G_K car σq¯ = ¯q(1, ζ_p,· · ·) pour σ ∈ G_K. Alors l’application log◦[·] s’étend à U₀(K⁺)×q¯^Q à valeurs dans B⁺_log telle que log[¯q^a] =auq sia∈Q, etσ(logx) = log(σx) siσ ∈ G_K. On pose

A^∗∗_inf ={x=

+∞

X

k=0

p^k[x_k]∈Ainf(K⁺) :x₀∈U₀(K⁺), x_k∈R(K⁺) sik≥1}.

Proposition 3.26. (1) Si 1 +x ∈ A^∗∗_inf, alors la série ^P+∞_n=1 ^(−1)n−1_n ^xn converge dansB⁺_dR.

(2) L’applicationlog◦[·] :U₀(K⁺)×q¯^Q →B⁺_log s’étend en une application log :A^∗∗_inf ×q˜^Q →B⁺_dR[u_q]telle que

• log([x]) = log[x], log ˜q^a=auq sia∈Q;

• log(xy) = log(x) + log(y);

• log(x) =^P+∞_n=1^(−1)n−1_n^(x−1)n, si la série converge.

De plus, on a σ(logx) = log(σx) siσ ∈ G_K.

Démonstration. (1) Si 1 +x∈A^∗∗_inf, alors il existe k∈N, tel que x^k−pα, oùα= [^(¯x(0)_p^)k], appartient à Kerθ. Donc on a x^k=pα+ωβ avec β∈Ainf. Donc l’argument dans 3.23 s’adapte à montrer la convergence.

(2) Il suffit de montrer que log :A^∗∗_inf →B⁺_logest bien définie. Six0 ∈U0(K⁺), alors [x0] est inversible dans A^∗∗_inf. Donc pout toutx=^P+∞_k=0p^k[x_k]∈A^∗∗_inf, on ax= [x₀](1 +pa) avec a∈Ainf(K⁺). On constate que

log(1 +pa) = ^X

n≥1

(−pa)ⁿ n

converge dansAinf(K⁺). Alors logxest bien défini par multiplicativité.

Dans le document Le système d’Euler de Kato (Page 33-48)