Série 21

L.S.Marsa Elriadh

Série 21 ^{M : Zribi}

4

Sc

09/10

Exercice :

A/ soit f la fonction définie sur IR par : f(x)=1+

1

² x

x



1) étudier les variations de f sur IR.

2) en annexe ;  la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,

, )

i j ;compléter la courbe par ces asymptotes.

3) a) montrer que  admet un point d’inflexion I que l’on précisera.

b) écrire un équation de la tangente T à  en I et tracer T.

c) préciser graphiquement, la position relative de T et .

4) a) montrer que f est une bijection de IR sur un intervalle J que l’on déterminera.

b) calculer l’expression de f ^-1(x) pour xJ.

c) tracer la courbe ’ de f ^–1 dans (O, i , j).

5) a) montrer que l’équation f(x)=x admet une solution réelle unique.

b) vérifier que ]1,2[.

B/ soit la suite U définie sur IN par : U₀ réel donné 1 ; et Un+1=f(U_n) 1/ montrer que pour tout nIN ; 1 Un.

2/ montrer que pour tout x [1,+[ ; on a 0 f’(x)  2 2

1 3/ en déduire que pour tout n IN ; |Un+1-| 

2 2

1 |Un-|.

4/ montrer que pour nIN ; |Un+1-|  ( 2 2

1 )ⁿ|U₀-|.

5/ en déduire que U converge et déterminer sa limite.

L.S.Marsa Elriadh

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