EPFL 19 avril 2010 Algèbre linéaire
1ère année 2009-2010
Série 21
Dans cette série, le symbole F désigne soitR, soit C.
L’exercice 5 est àrédiger soigneusement et à rendre le lundi 26 avril au début de la séance d’exercices.
Exercice 1. Soit ϕ∈(Fn)]. L’espace vectoriel Fn est muni du produit scalaire standard.
1. Montrer qu’il existe a1, . . . , an ∈ F tels que ϕ(x1, . . . , xn) = Pn i=1aixi pour tout(x1, . . . , xn)∈Fn.
2. En déduire le vecteur vϕ ∈ Fn tel que ϕ(x1, . . . , xn) = h(x1, . . . , xn), vϕi pour tout (x1, . . . , xn) ∈ Fn et montrer qu’il vérifie la formule donnée en cours. Ce vecteur existe et est unique d’après le Théorème 9.1 !
3. Exprimer ker(ϕ) à l’aide de vϕ. Que peut-on dire sur la dimension de ker(ϕ)? Dans le cas où F = R, n = 3, et ϕ 6= 0, quelle est l’interprétation géométrique du vecteur vϕ pour le plan ker(ϕ)?
Exercice 2. On considèreP2(R)muni du produit scalairehp, qi=R1
−1p(x)q(x)dx.On rappelle qu’on a trouvé une base orthonormale de (P2(R),h,i) dans l’exercice 2 de la série 17.
1. a) Soitψ :P2(R)→R, ψ(p) = R1
0 p(x)exdx pour tout p∈P2(R). Montrer que ψ ∈(P2(R))]. b) Trouver q ∈P2(R) tel que hp, qi=ψ(p) pour tout p∈P2(R).
2. a) Montrer que ϕ:P2(R)→R, ϕ(p) =p(1/2), est un fonctionnel linéaire.
b) Trouver un polynôme q∈P2(R)tel que ϕ(p) = hp, qi pour toutp∈P2(R).
Exercice 3. Soient a < b, V := P(R) et q ∈ P(R). On définit une application λq: P(R) → R par λq(p) :=Rb
a p(t)q(t)dt.
1. Montrer que λq ∈ P(R)]
et que λ :P(R)→P(R), q7→λq définit λ∈L(V, V]).
2. Montrer que si λq=λq˜, alors q= ˜q.
Indication : Il suffit de considérer le casq˜= 0 (pourquoi ?) et de choisirp=q.
3. Soit α ∈ [a, b]. On considère l’évaluation en α evα: P(R) → R, définie par evα(p) := p(α).
Montrer que evα ∈ P(R)]
, mais qu’il n’existe pas de polynôme q ∈P(R) tel que evα =λq.
Indication : Faire un raisonnement par l’absurde : si on admet que evα(p) =λq(p), alors p(x) = (x−α)2q(x) conduit à une contradiction.
4. En déduire que le point 2 du Théorème 9.1 du polycopié n’est pas vrai siV n’est pas de dimension finie.
5. (facultatif ) Si W := Pn(R) est muni du produit scalaire hp, qi = Rb
a p(x)q(x)dx, alors l’appli- cation δ : W → W], δ(p) = h·, pi est un isomorphisme car W est de dimension finie (voir le cours). Quel argument de la preuve de la question précédente ne marche pas ici ? En déduire que pour tout α ∈R, le polynôme pα ∈ Pn(R) satisfaisant q(α) =hq, pαi pour tout q ∈Pn(R) est de degré au moins n−1.
Exercice 4. Trouver les adjoints des applications linéaires suivantes. Le produit scalaire à considérer est dans chacun des cas le produit scalaire standard.
1. T ∈L(R2); T(x, y) = (x+y, y).
2. Fixer w∈V ; T ∈L(V,F);T(v) = hv, wi.
3. T ∈L(Fn); T(x1, . . . , xn) = (0, x1, . . . , xn−1).
Exercice 5. Soit V unF-espace vectoriel de dimension finie.
1. Supposons que T ∈L(V) et λ ∈ F. Montrer que λ est une valeur propre de T si et seulement siλ¯ est une valeur propre deT∗.
2. Supposons que T ∈ L(V) et U est un sous-espace vectoriel de V. Montrer queU est invariant par rapport àT si et seulement si U⊥ est invariant par rapport àT∗.
3. Soient T ∈L(V) et k un entier positif. Montrer que (Tk)∗ = (T∗)k.
Exercice 6. (facultatif ) “L’adjoint” en dimension infinie L’adjoint d’un opérateur T ∈L(V), V de dimension infinie, n’a pas été défini en cours. Il n’existe en fait pas toujours. Dans cet exercice, nous traitons un cas où l’adjoint ne peut pas exister, et un cas où l’adjoint pourrait être défini.
1. Soit V le R-espace vectoriel P(R) , muni du produit scalaire hp, qi = R1
0 pq = R1
0 p(x)q(x)dx.
SoitD∈L(V)l’opérateur différentiel, défini comme suit : pour toutp∈V,D(p)est donné par D(p) =p0.
Le but de cet exercice est de montrer qu’il n’existe pas d’opérateurD∗ ∈L(V)tel quehD(p), qi= hp, D∗(q)i pour toutp, q ∈P(R).
a) Supposons que D∗ existe. Calculerhp, D(q) +D∗(q)i pourp, q ∈V.
b) Considérer p∈P(R), q(x) = x et déduire une contradiction au résultat de l’exercice 3.3.
2. Soit V ={f :R→ R infiniment d´erivable et 2π p´eriodique }. On munit V du produit scalaire défini par
hf, gi= Z π
−π
f(t)g(t)dt.
Soit T : V → V l’application linéaire définie par : T(f) = f0. Trouver T∗ ∈ L(V) satisfaisant hT(f), gi=hf, T∗(g)i pour tout f, g∈V.
Exercice 7. (facultatif ) Supposons que T ∈ L(V, W), où V, W sont des F-espaces vectoriels de dimension finie, munis de produits scalaires. Montrer que
1. T est injective si et seulement si T∗ est surjective ; 2. T est surjective si et seulement si T∗ est injective.
