σ dans le cas où la variable parente est normale.

LE COIN FORMATION

Théorème de FISHER : distribution de

²

² nS

σ dans le cas où la variable parente est normale.

I. Résultats préliminaires :

Soient • X une variable aléatoire réelle,

• (X

1

, X

2

, …,X

n

) un échantillon aléatoire simple de X de taille n, X _n et S _n ²

respectivement sa moyenne et sa variance empiriques.

SCE

n

= _∑ ( )

= n −

i

n

i X

X

1

2 la somme des carrés des écarts à la moyenne empirique

• (X

1

, X

2

, …,X

n+1

) l’échantillon aléatoire simple de X de taille n+1, X _{n + 1} et

2 + 1

S n respectivement sa moyenne et sa variance empiriques.

SCE

n+1

= _∑ ⁺ ( )

= ¹ − +

1

2 1 n

i

n

i X

X la somme des carrés des écarts à la moyenne 1. Relation entre X _n et X _{n + 1}

(n+1) X _{n + 1} = ∑ ⁺

= 1

1 n

i

X i

= ₁

1

= +

∑ ⁿ + ⁿ

i

i X

X

d’où (n+1) X _{n + 1} = n X _n + X

n+1

2. Relation entre SCE

n+1

et SCE

n

.

D’après le théorème de KOENIG on a : SCE

_n+1

= ² ₁

1

1

2 1 ₊

+

=

+

∑ ⁿ − ⁿ

i

i ( n ) X

X

SCE

n+1

=

2

1

1 2

1 2

1 1 1

∑ = + + ⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ +

+ +

−

n +

i

n n n

i ( n X X )

) n n ( X X

= ₁

1

2 1 2

2

1 2 1

1 1

1 ⁺

= + − +

− + + +

∑ ⁿ − ^{n n}

i

n n

i X X

n X n

n ) ( n X

² X n

= ₁

1

2 1 2

2

1 2 1

1 1

= + − + +

+ + +

−

− +

∑ ^{n n n}

i

n n

i X X

n X n

n X n n

n ) n ( X n

= ₁

1

2 1 2

2 2

1 2 1

1 ⁺

= + − +

+ + + +

∑ ⁿ − ^{n n}

i

n n

n

i X X

n X n

n

X n

n

X n

n

X

D’après KOENIG : SCE

_n

= ²

1 2

n n

i

i n X

X −

∑ =

d’où

SCE

_n+1

= SCE

_n

+ ( 1 ² 1 )

2 2

1 − ⁺ + ⁺

+ X ⁿ X ⁿ X ⁿ X ⁿ n

n

= SCE

_n

+ ( ₁ ) ²

1 − ⁺

+ X ⁿ X ⁿ n

n

= SCE

n

+

2 1 2

1

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + + + −

+ ^{n +}

n X

n

X ...

X X n

n

= SCE

n

+ ( _{1 2 1} ) ²

1 1

− +

+ +

+ X + X ... X ⁿ nX ⁿ )

n ( n

D’où SCE

n+1

= SCE

n

+

2 1 2

1

1 ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

+

− + +

+ ₊

) n ( n

nX X

...

X

X _{n n (1)}

II. Distribution d’échantillonnage de

² nS _n

σ

2

. Théorème de FISHER

Soit • X une variable aléatoire réelle de loi normale N( μ , σ ),

• (X

1

, X

₂

, …, X

_n

) l’échantillon aléatoire simple de X de taille n,

• S _n ² sa variance empirique d’échantillon.

² nS _n

σ

2

est distribuée selon la loi du chi-deux à n-1 degrés de liberté

1. Relation entre

² nS _n

σ

2

et ²

S ) n

( _n

σ + 1 ² _{+ 1}

.

En divisant les deux membres de la relation (1) par σ ² et en remarquant que SCE

_n+1

= (n+1)

2 + 1

S n et SCE

_n

= n S _n ² on obtient :

² S ) n

( _n

σ + 1 ² _{+ 1}

= ² nS _n

σ

2

+

2 1 2

1

1 ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

σ

× +

− + +

+ ₊

) n ( n

nX X

...

X

X _{n n}

(2).

X

1

, X

2

, …, X

n+1

sont n+1 variables indépendantes ayant même loi que X donc sont distribuées selon la loi normale N( μ , σ ).

E(X

1

+ X

2

+ …+X

n

− n X

n+1

) = E(X

1

) + E(X

2

) + …+E(X

n

) − nE(X

n+1

)

= μ + μ + …+ μ − n μ

= 0

Les n+1 variables X

₁

, X

₂

, …, X

_n+1

sont indépendantes donc

V(X

₁

+ X

₂

+ …+X

_n

− n X

_n+1

) = V(X

₁

) + V(X

₂

) + …+V(X

_n

) + n²V(X

_n+1

)

= σ ² + σ ² + …+ σ ² + n ² σ ²

= n σ ² + n ² σ ²

X

1

+ X

2

+ …+X

n

− n X

n+1

, combinaison linéaire de n+1 variables normales indépendantes, est distribuée selon la loi normale N ( ^{0 , n ( n + 1 ) × σ} ) . La variable U

n

, définie par U

_n

=

σ

× +

− + +

+ ₊

) n ( n

nX X

...

X

X _{n n}

1

1 2

1 , est donc distribuée selon la loi normale N(0 ; 1).

En remplaçant dans (2)

σ

× +

− + +

+ ₊

) n ( n

nX X

...

X

X _{n n}

1

1 2

1 par U

_n

on obtient

² S ) n

( _n

σ + 1 ² _{+ 1}

= ² nS _n

σ

2

+ ( ) U _n ^{2 (3)}

2. Récurrence.

• Si

² nS _n

σ

2

est la somme des carrés de n−1 variables normales centrée réduites (hypothèse de

récurrence) alors il résulte de (3) que

² S ) n

( _n

σ + 1 ² _{+ 1}

est la somme des carrés de n variables normales centrées réduites.

• Vérifions que cette propriété est vraie pour n=2 on a :

SCE

2

= ( ) ( 2 2 ) ²

2 2

1 X X X

X − + −

=

2 2 1 2 2

2 1

1 2 2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − + X X

X X X X

=

2 1 2 2

2 1

2

2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ X − X X X

=

2 2 1

2 2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ X − X

SCE

2

=

2 2 1

2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ X − X

or SCE

2

= 2S ₂ ² d’où

² S σ

2

2 2

=

2 2 1

2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ σ

− X X

Considérons la variable aléatoire U

1

définie par U

1

=

2

2 1

σ

− X

X .

U

₁

est normale car X

₁

et X

₂

sont normales. On vérifie facilement que E(U

₁

) = 0

V(U

₁

) = 1 (car X

₁

et X

₂

sont indépendantes).

La variable U

1

est normale centrée réduite et l’on a

² S σ

2

2 2

= U

1

²

² S σ

2

2 2

est le carré d’une variable normale centrée réduite.

La propriété est vraie pour n=2, donc elle est vraie pour tout n , n≥ 2.

Pour tout entier n, n ≥ 2,

² nS _n

σ

2

est la somme des carrés de n−1 variables normales centrées réduites.

² nS _n

σ

2

= ∑ ⁻

= 1

1 2 n

k

U k avec

σ

× +

− + +

= + ⁺

) k ( k

kX X

...

X

U _k X ^{k k}

1

1 2

1

3. Indépendance des variables normales U

_k

, 1 ≤ k ≤ n−1

Pour montrer que les n−1 variables U

k

sont indépendantes nous allons utiliser la définition et une propriété remarquable des vecteurs gaussiens :

• Un vecteur est gaussien si toute combinaison linéaire de ses composantes est de loi normale.

• Les composantes d’un vecteur gaussien sont indépendantes si et seulement si elles sont non corrélées.

Soient Y

_k

définies, pour 1 ≤ k ≤ n−1, par Y _k = X ₁ + X ₂ + ... + X _k − kX _{k + 1}

Pour que les n−1 variables U

_k

soient indépendantes il suffit que les n−1 variables Y

_k

le soient.

Pour tout entier k, 1 ≤ k ≤ n−1, la variable Y

k

est combinaison linéaire des variables normales indépendantes X

₁

, X

₂

, ..., X

_k

, X

_k+1

, elle est donc de loi normale. De plus, toute combinaison linéaire des Y

k

, 1 ≤ k ≤ n−1, est elle même combinaison linéaire des variables normales indépendantes X

1

, X

2

, …, X

n

,et donc, est aussi de loi normale.

Il en résulte que le vecteur ayant pour composantes les n−1 variables normales Y

1

, Y

2

, …, Y

n-1

est gaussien par définition.

Pour que les composantes d’un vecteur gaussien soient indépendantes il suffit qu’elles soient non corrélées.

Il reste à montrer que Y

1

, Y

2

, …, Y

n-1

sont deux à deux non corrélées.

Soit deux entiers h et k tels que 1 ≤ h < k ≤ n−1 A = Cov(Y

h

, Y

k

)

= Cov ( X ₁ + X ₂ + ... + X _h − hX _{h + 1} , X ₁ + X ₂ + ... + X _k − kX _{k + 1} )

= Cov ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ − − ₊

+ =

= ∑

∑ ¹

1 1 1

k k

j j h

h

i

i hX , X kX

X

= ( X , X ) h ( X , X ) k ( X , X _k )

h

i

i j

k

j

h h

i k

j

j

i 1

1 1

1 1 1

Cov Cov

Cov ₊

=

= +

= = ∑ ∑

∑∑ ^{− − +hkCov(X}

^h+1

^,X

^k+1

⁾

Les variables X

1

, X

2

, …,X

n

sont indépendantes donc pour i ≠ j Cov(X

i

,X

j

) = 0.

A = ( X , X ) h ( X _h , X _h )

h

i

i

i 1 1

1

Cov

Cov _{+ +}

=

∑ −

Pour tout i, 1≤ i ≤ n Cov(X

i

, X

_i

) = V(X

_i

) = σ ²

Il en résulte que ²

1

Cov = σ

∑ =

h ) X , X (

h

i

i

i et h Cov ( X _{h + 1} , X _{h + 1} ) = h σ ² d’où A = 0.

Pour tous les entiers h et k tels que 1 ≤ h < k ≤ n−1 Cov(Y

h

, Y

k

) = 0

n−1 variables normales Y

4. Conclusion

Pour tout entier n, n≥2,

² nS _n

σ

2

est la somme des carrés de n−1 variables normales centrées réduites et indépendantes, donc :

² nS _n

σ

2

est distribuée selon la loi du Chi-deux à n−1 degrés de liberté.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈