EPFL 21 avril 2008 Algèbre linéaire
1ère année 2007-2008
Série 21
L'exercice 2 est à rendre le 28 avril au début de la séance d'exercices.
Le symbole F désigne soit R, soit C, et V un F-espace vectoriel de dimension nie, muni d'un produit scalaire h−,−i: V ×V →F arbitraire. Les espaces vectorielsFn (n≥1) sont supposés munis du produit scalaire usuel.
Exercice 1. Soit A ∈ Mat(n, n;F) une matrice diagonale en blocs, dont les blocs soient les matrices Ai ∈ Mat(ni, ni;F), i = 1, . . . , k, où Pk
i=1ni =n. Montrer que A est inversible si et seulement si toutes lesAi sont inversibles.
Exercice 2. Soit F =C. Montrer qu'un opérateur normal est auto-adjoint si et seulement si toutes ses valeurs propres sont réelles.
Exercice 3. Soit T ∈ L(V) tel que T∗T = −T. Montrer que T est auto-adjoint et que spec(T)⊆ {0,−1}.
Exercice 4. Soit A∈Mat(n, n;R) une matrice antisymétrique, i.e. telle que A=−At.
(a) SoitB =iA. Montrer que TB ∈L(Cn)est auto-adjoint. En déduire que toutes les valeurs propres de TA∈L(Cn) sont imaginaires pures.
(b) (Dur !) En utilisant le fait queTA est normal, montrer le résultat suivant : Toute matrice antisymétrique réelle est de rang pair.
Exercice 5. Déterminer l'ensemble des isométries auto-adjointes de R2, de R3 et de C2. Exercice 6. Soit S ∈ L(R3) une isométrie. Montrer qu'il existe un vecteur ~v ∈ R3 tel que S2~v =~v.
Exercice 7. Soit V un espace vectoriel de dimension n, muni d'un produit scalaire. Montrer ou donner un contre-exemple : si S ∈L(V) et il existe une base orthonormale (~u1, . . . , ~un) de V telle que kS~uik= 1 pour touti, alors S est une isométrie.
