EPFL 6 avril 2009 Algèbre linéaire
1ère année 2008-2009
Série 21
L’exercice 4 est à rendre le 20 avril au début de la séance d’exercices.
Dans cette série, le symbole F désigne soit R, soit C. Les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie si cela n’est pas précisé.
Exercice 1. Trouver les adjoints des applications linéaires suivantes.
1. T ∈L(R2); T(x, y) = (x+y, y).
2. Fixer w∈V ; T ∈L(V,F); T(v) = hv, wi.
3. T ∈L(Fn); T(x1, . . . , xn) = (0, x1, . . . , xn−1).
Exercice 2. On considèreP2(R)muni du produit scalairehp, qi=R1
−1p(x)q(x)dx. On rappelle qu’on a trouvé une base orthonormale de(P2(R),h,i)dans l’exercice 6 de la série 18.
1. Trouver q∈P2(R)tel que
hp, qi= Z 1
0
p(x)exdx
pour toutp∈P2(R).
2. (a) Montrer que ϕ:P2(R)→R, ϕ(p) = p(1/2), est un fonctionnel linéaire.
(b) Trouver un polynôme q∈P2(R)tel que ϕ(p) =hp, qi pour toutp∈P2(R).
Exercice 3. Soit V = {f : R → R infiniment d´erivable et 2π p´eriodique }. On munit V du produit scalaire défini par
hf, gi= Z π
−π
f(t)g(t)dt.
Soit T : V → V l’application linéaire définie par : T(f) = f0. Trouver T∗ ∈ L(V) satisfaisant hT(f), gi=hf, T∗(g)i pour tout f, g∈V.
Attention ! L’espace vectoriel V n’est pas de dimension finie, donc l’adjoint de T n’a pas été défini dans le cours.
Exercice 4. 1. Supposons que T ∈L(V) etλ∈F. Montrer que λ est une valeur propre de T si et seulement si λ¯ est une valeur propre de T∗.
2. Supposons que T ∈L(V) etU est un sous-espace deV. Montrer que U est invariant par rapport àT si et seulement si U⊥ est invariant par rapport àT∗.
3. Soient T ∈L(V) et k un entier positif. Montrer que (Tk)∗ = (T∗)k. Exercice 5. Supposons que T ∈L(V, W). Montrer que
1. T est injective si et seulement si T∗ est surjective ; 2. T est surjective si et seulement si T∗ est injective.
Exercice 6. Soit T ∈ L(V, W). On définit le dual T] ∈ L(W], V]) de T comme suit : pour tout l ∈W], l’application linéaire T](l) :V →F est donnée par
T](l)(v) =l(T(v)) pour toutv ∈V. Montrer queT∗ =δ−1V ◦T]◦δW.
