EPFL 16 mars 2009 Algèbre linéaire
1ère année 2008-2009
Série 18
L’exercice 6 est à rendre le 23 mars au début de la séance d’exercices.
Dans cette série, le symbole F désigne soit R, soit C. Les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie si cela n’est pas précisé explicitemement.
Exercice 1. 1. Calculer la distance de v = (2,−1,0,1,1)∈R5 au sous-espace
U :=
(x1, x2, x3, x4, x5)∈R5
x1+x2−x3+x4+x5 = 0, x1−x3+x4 = 0 . 2. Soit U = span((1,1,0,0),(1,1,1,2)) ⊂R4. Trouver, de deux manières différentes, u ∈U
qui minimise ku−(1,2,3,4)k.
3. Trouver p∈P3(R) qui vérifiep(0) = 0 etp0(0) = 0, qui minimise R1
−1(2 + 3x−p(x))2dx.
Exercice 2. On considère le système d’équations linéaires
x−y = −1
x−4y = 2
2x+y = 4
1. Montrer que le système est inconsistant et trouver le système normal associé.
2. Utiliser la méthode des moindres carrés pour trouver une solution approximative.
Exercice 3. 1. Trouver l’équation de la droite donnée par la méthode des moindres carrés pour l’ensemble
{(0.5,2.1),(1.0,2.4),(2.5,2.8),(4.0,3.4)}.
Faire un dessin des quatre points et de la droite obtenue.
2. Appliquer la méthode des moindres carrés pour trouver une parabole y =ax2+bx+cqui soit la meilleure approximation à l’ensemble
{(−2,8.4),(−1,2.7),(0,0.8),(1,3.1),(2,9.2)}.
Exercice 4. Soit F un sous-espace d’un espace euclidien E. Montrer qu’il existe une base orthonormale de F qui est incluse dans une base orthonormale de E.
Exercice 5. Trouver la matrice de la projection orthogonale de R3 sur le plan P d’équation x+ 2y−3z = 0, par rapport au produit scalaire usuel.
Exercice 6. Soit V =P2(R), muni du produit scalaire φ(p, q) =R1
−1p(t)q(t)dt.
1. Trouver une base orthonormale (p0, p1, p2)de V telle quepi est de degré i.
2. Considérons P1(R) comme sous-espace vectoriel de P2(R). Quel est son complément or- thogonal P1(R)⊥?
