Série 17

(1)

EPFL 9 mars 2009 Algèbre linéaire

1ère année 2008-2009

Série 17

L’exercice 4 est à rendre le 16 mars au début de la séance d’exercices.

Dans cette série, le symbole F désigne soit R, soit C. Les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie si cela n’est pas précisé explicitemement.

Exercice 1. Soit V un F-espace vectoriel muni d’un produit scalaire φ. Soient F et G des sous-espaces vectoriels deV. Montrer :

1. F ⊆G =⇒ G^⊥⊆F^⊥; 2. (F +G)^⊥=F^⊥∩G^⊥; 3. (F ∩G)^⊥ =F^⊥+G^⊥; 4. V^⊥ ={0} et{0}^⊥ =V.

5. Si F est engendré par (v₁, . . . , v_k)et w∈V, alorsw ∈F^⊥ si et seulement si φ(v_i, w) = 0 pour touti= 1, . . . , k.

Exercice 2. SoitUun sous-espace vectoriel de l’espace vectorielV,Proj_U: V →U la projection orthogonale sur U etT ∈L(V). Montrer que T préserveU si et seulement si

Proj_U◦T ◦Proj_U =T ◦Proj_U.

Exercice 3. 1. Soit W = span{1, x} le sous-espace vectoriel du R-espace vectoriel V = P2(R)muni du produit scalaire hp, qi:=R1

0 p(x)q(x)dx. Trouver une base deW^⊥. Vérifier l’égalité W ⊕W^⊥ =V.

2. Trouver une base de W^⊥ pourW = span{1−x²}.

3. Faire de même dans le cas où V = R⁴ muni du produit scalaire standard et W = span{(1,1,1,1),(−1,1,−1,1)}. Vérifier l’égalité (W^⊥)^⊥=W.

Exercice 4. Le but de cet exercice est de montrer que la Proposition 7.5 du polycopié n’est pas vraie si W n’est pas de dimension finie.

`²(N) est l’ensemble des suites réelles (a_n)n∈N, satisfaisantP∞

n=0a²_n <∞.

1. Montrer que`²(N)est un sous-espace vectoriel duR-espace vectorielR^Ndes suites réelles, et

(an)n∈N,(bn)n∈N

:=

∞

X

n=0

anbn

définit un produit scalaire sur `²(N).

Indication : Montrer que si(a_n)_n∈N,(b_n)_n∈Nsont des éléments de`²(N), alors la série

∞ X

n=0

a_nb_nconverge de manière absolue. Utiliser pour cela2|a_nb_n| ≤a²_n+b²_n.

(2)

On définit pour i∈N la suite eⁱ ∈`²(N) :

(eⁱ)_n =

(1 si n=i 0 sinon etU := span{eⁱ |i∈N} ⊂`²(N). Montrer que

2. {eⁱ |i∈N} est une liste orthonormale.

3. Une suite réelle (a_n)n∈N est un élément de U, si et seulement si il existe N ∈ N tel que a_n = 0 pour toutn > N. On a en particulier U (`²(N).

4. Montrer que U^⊥={0}. En particulier, on n’obtient pas U ⊕U^⊥=`²(N).