Série 19

EPFL 23 mars 2009 Algèbre linéaire

1ère année 2008-2009

Série 19

L’exercice 4 est à rendre le 30 mars au début de la séance d’exercices.

Dans cette série, le symbole F désigne soit R, soit C. Les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie si cela n’est pas précisé explicitemement. Un opérateur T ∈ L(V) est dit nilpotent s’il existe un entier k tel que T^k = 0.

Exercice 1. Trouver toutes les valeurs propres des applications F-linéaires suivantes. Pour chaque valeur propre, trouver un vecteur propre.

1. T₁ ∈L(V) un opérateur nilpotent, 2. F=C, T2:C² →C², T2(w, z) = (z,0), 3. F=C, T₃:C² →C², T₃(w, z) = (−z, w), 4. F=C, T₄:C² →C², T₄(w, z) = (5w+z,5z),

5. F=C, T₅:Cⁿ →Cⁿ, T₅(x₁, . . . , x_n) = (x₁+· · ·+x_n, . . . , x₁+· · ·+x_n).

Exercice 2. 1. Soit V le R-espace vectoriel des fonctions différentiables un nombre infini de fois et2π-périodiquesf: R→R, soitL∈L(V) défini parL(f) = f⁰⁰. Montrer que les fonctionsf_k, définies parf_k(x) = cos(kx),k ∈N, sont des vecteurs propres de L. Calculer les valeurs propres associées λ_k ∈R.

2. Soit L_A et L_B ∈L(R³) les application linéaires associées aux matrices

A=





4 0 0 0 3 0 0 0 −1



 et B =





5 0 1 1 1 0

−7 1 0



.

Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de L_A etL_B. Exercice 3. Soient L₁, L₂ ∈L(V), telles queL₁◦L₂ =L₂◦L₁. Montrer

1. Soit U un sous-espace L₁-invariant de V, alors L₂(U) est L₁-invariant.

2. Si λ est une valeur propre de L₁, alors V_λ est L₂-invariant.

3. Si L1◦L2 est nilpotent, alors L2◦L1 est nilpotent.

Exercice 4. 1. Supposons que T ∈ L(V) et v ∈ V vérifient T^m−1(v) 6= 0 mais T^m(v) = 0 pour un certainm≥1. Montrer que(v, T(v), . . . , T^m−1(v))est linéairement indépendante.

2. SoitF=CetT ∈L(V). Montrer qu’il existe un sous-espace invariant sousT de dimension k pour tout k ∈ {0, . . . ,dim(V)}.

Exercice 5. Soient T ∈L(V)et p∈P(F). Montrer que p(Spec(T))⊆Spec(p(T))

où p(Spec(T)) := {p(λ)|λ ∈ Spec(T)}. Montrer que cette inclusion est stricte dans le cas où F=R,p=X²+ 1 et T :R² →R², (x, y)7→(−y, x).

Remarque : dans le cas où F=C, il y a en fait égalité : p(Spec(T)) = Spec(p(T)).

Exercice 6. Soit T ∈ L(V). On dit qu’un polynôme p ∈ P(F) annule T ou que p est un polynôme annulateur de T si p(T) = 0.

1. Soit T ∈ L(V) un projecteur, c’est-à-dire T² = T. Trouver un polynôme annulateur de T.

2. Soitpun polynôme annulateur deT. Montrer que les valeurs propres deT sont des racines de p. (Attention : Ceci n’est pas une équivalence. Par exemple, (t−1)t² annule Id_V, mais 0 n’est pas une valeur propre de Id_V.)

Indication : on peut utiliser l’inclusion démontrée dans l’exercice précédent.

3. Application : Trouver un polynôme annulateur de degré2 de l’opérateurT_A représenté par la matrice





2 0 0

3 −4 3 3 −6 5



dans le base canonique deF³. En déduire les valeurs propres et espaces propres associés de T_A.

Indication : la matriceA²peut-être écrite comme la somme deAet d’un multiple de la matrice identitéI₃.