1) soit xR tel que sinx=22/5 et /2x. Calculer cosx et tgx.
2) soit xR tel que tgx= -3/2 et -/2x0. Calculer cosx et sinx.
3) soit xR et A= cos(3+x)+cos(4-x)+sin(3/2+x)+sin(5/2+x).
exprimer A en fonction de cosx.
3/ calculer cosx, sinx et tgx pour x= -/6, x= -2/3, x=5/4, x= -41/6.
Exercice 2:
1) soit xR et A=sin(
3
+x)-sin(x- 3
); B=tg(
4
+x)-tg(x- 4
).
Exprimer A et B en fonction de cosx ou sinx.
2/ a et bR tel que cos(a+b)+cos(a-b)0; simplifier A= sin( a b ) sin( a b )
cos( a b ) cos( a b )
.
Exercice 3:
1/ calculer cos 8
et sin 8
puis tg 8
.
2/ xR ; A=cos(
6
+2x)+cos(
6
-2x); exprimer A en fonction de cosx ou sinx.
3/ soit xR tel que cos(2x)= -3 4 et -
2
x 0.calculer cosx, sinx et tgx.
4/ simplifier 2 sin x sin 2x 1 cos x sin x
A puis B
2 sin x sin 2x 1 cos x sin x
.
Exercice 4:
soit xR et A= 1 cos x sin x 3 cos x sin x
.
1/ prouver que A existe pour tout xR.
2/a) exprimer A en fonction de t=tg(t/2).
b) en déduire cos 8
. Exercice 5:
montrer que pour tout xR on a:
1/ cos(3 2
+x)sin(+x)-sin(5 2
-x)sin(3 2
+x) = cos2x
2/ sin(3+x)sin(21 2
+x)+cos(-x)cos(7 2
+x)= -sin2x.
soit x un réel différent de (2k+1) ; kZ.
1/ montrer que tg( x
2)= sin x 1 cos x . 2/ calculer: tg
8
et tg 12
.
3/ en déduire tg 24
. Exercice 7:
a/ montrer que
cos sin cos sin
12 12
12 12
3
.
b/ simplifier A=sin sin
cos
cos ; cos cos
sin sin
5 5 1 2
2 x
x
x
x B x x
x x
.
Exercice 8:
1/ montrer que: cos4 x=1/8cos4x+1/2cos2x+3/8 ; sin4 x=cos4 x-cos2x.
2/ calculer alors: A=cos4 /8+cos4 3/8+cos4 5/8+cos4 5/8.
B=sin4/8+sin4 3/8+sin4 5/8+sin4 7/8.
Exercice 9:
1/ on pose A=
1 5
5
cos sin
; montrer que A=cotg(/10).
2/ on pose B= sin(/5)+sin(2/5).
a/ vérifier que B=2cos/5 cos/10.
b/ démontrer que sin(/10)B =1/2cos(/10) et en déduire que B=1/2 A.
3/ déduisez de ce qui précède que cos/5 est solution de l’équation - 4x²+2x+1=0; donner alors la valeur de cos /5.
Exercice 10:
1/ montrer que tg x x x 2
1cos sin . 2/ en déduire: tg(/8) et tg(/6).
Exercice 11:
soit x un réel, on pose:
A(x)= cos(13 ) sin(3 ) cos( ) sin( )
2
7
2 7
x x x x C=cos7 cos
12 12
1/ exprimer A(x) à l’aide de cosx ou sinx.
3/ calculer C.
Exercice 12:
1) démontrer que:
a) tg²x=sin²x+sin²xtg²x ; pour tout xIR\{ k ,k } 2
. b) sinx cosx(1+tgx)(1+ctgx)=(sinx+cosx)²; pour tout
xIR\{k ,k } 2
c) 2(1+cosx)(1-sinx)=(1+cosx-sinx)² ; pour tout xIR.
2) calculer A= -sin4x+cos4x+2sin²x et B=sin² sin² 5 sin²7 sin² 11
12 12 12 12
Exercice 13:
on pose a=1-cosx et b= -sinx ; x]0, [.
1) montrer que a sin x b 1 cos x
2) montrer que ab= -4cosxsin3 x 2 2 . 3) Simplifier a
b.le plan P est munie d'un repère orthonormé ( , , )O i j , on pose M(a,b).
a) vérifier que (a-1)²+b²=1.
b) Déterminer et construire l'ensemble des points M . Exercice 14:
on donne f(x)=2cos2x-1 et g(x)=1+cos2x- 3 sin2x.
1) montrer que f(x)=cos²x-3sin²x et g(x)=2cosx(cosx- 3 sinx) 2) on suppose que g(x) 0; on pose f ( x )
h( x )
g( x )
.
2 3) en déduire tg
12
. Exercice 15:
On donne f(x)=cos 2x 2cos² x 2 sin4x sin 2x
et on suppose que sin4x-sin2x0.
1) vérifier que f(x)= 1 sin 2x.
2) Montrer que f(x)=cotgx-cotg2x.
3) En déduire la valeur de la somme: n n
k 0 k
S 1
sin( 2 x )
Exercice 16:
On donne f(x)=sin4x 4 sin x.
1) montrer que 2 1
f ( ) f ( )
3 5 4
2) a) exprimer f(x) en fonction de cosx.
b) en déduire que 1
et cos
2 5
sont deux solution de l'équation (E): 8x3 -4x-1=0
3) a) trouver alors la valeur de cos 5
.
b) en déduire la valeur de cos2 5
.
4) déduire que cos3 5
est solution de l'équation (E).
Exercice 17:
1) montrer que pur tout xIR; cos( 4x ) cos( 4x ) cos 4x.
3 3
2) a) montrer que pour tout xIR; cos4x=1-8cos²xsin²x.
b) en déduire que pour tout xIR; 6 6 3 5 cos x sin x cos 4x
8 8
3) déduire que pour tout xIR;
6 6 2 6 3 6 4 6 5
cos x cos ( x ) cos²( x ) cos ( x ) cos ( x ) cos ( x )
6 6 6 6 6
est une constante que l'on déterminera.
