Série 21

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EPFL 30 avril 2007 Algèbre linéaire

1ère année 2006-2007

Série 21

L’exercice 4 est à rendre le 7 mai au début de la séance d’exercices.

Exercice 1 Soit V =R² muni du produit scalaire euclidien.

1. Donner un exemple d’opérateur de V non auto-adjoint et normal.

2. Donner un exemple d’opérateur de V ni auto-adjoint, ni normal.

Exercice 2 Soit n∈N\ {0}, V =L(Cⁿ), S ∈V normal et T ∈V tel que S◦T =T ◦S.

1. Montrer que S^∗◦T =T ◦S^∗.

(Indication : On montrera que ||S^∗◦T −T ◦S^∗||= 0 où ||.|| est la norme induite par le produit scalaire : hT₁, T₂i=tr(T₁^∗ ◦T₂).)

2. On suppose maintenant que S et T sont normaux et que S◦T =T◦S.Montrer que S◦T est normal.

Exercice 3 Soit V un espace vectoriel hermitien, T ∈ L(V) normal. Montrer que Ker(T^∗) =Ker(T).

Exercice 4 SoitT ∈ L(Rⁿ). Montrer que siT+T^∗est nilpotent (i.e.∃p∈Ntel que(T+T^∗)^p = 0) alors T^∗ =−T.

Exercice 5 Soient T ∈ L(Rⁿ) un opérateur auto-adjoint et A=T +iI ∈ L(Cⁿ). Montrer que A est inversible.

Exercice 6 Soit V un espace vectoriel hermitien. Montrer que pour tout opérateur normal T ∈ L(V) il existe un opérateur S ∈ L(V) tel que S² =T. (Un tel opérateur S sera appelé une racine carrée de T.)

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