Corrigé de la série 21

EPFL

Algèbre linéaire 1ère année 2006-2007

Corrigé de la série 21

Correction exercice 1

1. Exemple : A=

0 1

−1 0

. A^t=−A6=A et AA^t=A^tA.

2. Exemple : B =

0 1

0 0

. BB^t=

1 0

0 0

et B^tB =

0 0

0 1

.

Correction exercice 2

1. ||S^∗◦T −T ◦S^∗||² =tr((S^∗◦T −T ◦S^∗)^∗◦(S^∗◦T −T ◦S^∗))

=tr((T^∗◦S−S◦T^∗)◦(S^∗◦T −T ◦S^∗))

=tr(T^∗◦S◦S^∗ ◦T −T^∗◦S◦T ◦S^∗−S◦T^∗◦S^∗◦T +S◦T^∗◦T ◦S^∗)

=tr(T^∗◦S◦S^∗ ◦T)−tr(T^∗◦S◦T ◦S^∗)−tr(S◦T^∗◦S^∗ ◦T) +tr(S◦T^∗◦T ◦S^∗) Comme S est supposé normal, on a S ◦S^∗ = S^∗ ◦ S, de plus, S◦T = T ◦S d’après l’énoncé, d’où :

tr(T^∗◦S◦S^∗◦T) =tr(T^∗◦S^∗◦S◦T) =tr(T^∗ ◦S^∗◦T ◦S) =tr(S◦T^∗ ◦S^∗◦T) où la dernière égalité découle de tr(AB) =tr(BA) et

tr(S◦T^∗ ◦T ◦S^∗) = tr(T^∗◦T ◦S^∗◦S) = tr(T^∗◦T ◦S◦S^∗) = tr(T^∗◦S◦T ◦S^∗).

D’où ||S^∗◦T −T ◦S^∗||² = 0 et donc S^∗◦T =T ◦S^∗.

2. Les hypothèses du point 1. étant satisfaites on a S^∗◦T =T ◦S^∗ et T^∗◦S = (S^∗◦T)^∗ = (T ◦S^∗)^∗ =S◦T^∗.

(T ◦S)^∗◦(T ◦S) = S^∗◦(T^∗◦T)◦S =S^∗◦(T ◦T^∗)◦S puisque T est normal. En utilisant le point1. on obtient :

(T◦S)^∗◦(T◦S) = (S^∗◦T)◦(T^∗◦S) = (T◦S^∗)◦(S◦T^∗) =T◦S^∗◦S◦T^∗ =T◦S◦S^∗◦T^∗ puisque S est normal, et finalement :

(T ◦S)^∗◦(T ◦S) =T ◦S◦(T ◦S)^∗ et donc T ◦S est normal.

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Correction exercice 3 Soit x∈V, on a

||T^∗(x)||² =hT^∗(x), T^∗(x)i

=hx, T ◦T^∗(x)i par d´efinition d⁰adjoint

=hx, T^∗◦T(x)i puisque T est normal

=hT(x), T(x)i par d´efinition d⁰adjoint

=||T(x)||²

Si x∈Ker(T) on obtient que ||T^∗(x)||² = 0 donc T^∗(x) = 0 et x ∈Ker(T^∗). Réciproquement si x∈Ker(T^∗) on obtient que x∈Ker(T).

Correction exercice 4 On a

(T +T^∗)^∗ =T^∗+T

par conséquent T +T^∗ est auto-adjoint. Par le théorème spectral on en déduit qu’il existe une base orthonorméeB de vecteurs propres de T+T^∗ et de valeurs propres associées réelles. Donc,

[T +T^∗]B =D

où D = diag(λ₁, . . . , λ_n) ∈ M at_n(R). Comme T +T^∗ est supposée nilpotente, il existe p ∈ N tel que (T +T^∗)^p = 0 et donc D^p = 0 d’où λ^p₁ =. . .=λ^p_n = 0 et donc λ₁ = . . .=λ_n = 0. On en déduit que D= 0 et que T +T^∗ = 0.

Correction exercice 5

L’opérateur T étant supposé auto-adjoint, par le théorème spectral on sait qu’il existe une base orthonormée B de vecteurs propres deT et que les valeurs propres associées sont réelles. Donc,

[T]B =D où D=diag(λ₁, . . . , λ_n)∈M at_n(R). D’où,

[A]B =D+iI.

Or det(D+iI) = (λ1+i). . . . .(λn+i)6= 0 puisque ∀k, λk ∈R. On en déduit que D+iI est inversible et donc que A est inversible.

Correction exercice 6

Comme T est supposé normal, d’après le théorème spectral, on sait qu’il existe une base ortho- normée B de vecteurs propres de T, c’est à dire

[T]B =D

où D=diag(λ₁, . . . , λ_n)∈M at_n(C).

On pose ∀i δi ∈ C tel que δ²_i = λi. (δi existe d’après le cours sur les nombres complexes). On considère E =diag(δ₁, . . . , δ_n) ∈M at_n(C) et S l’opérateur de L(V) tel que [S]B =E. Comme E² =D on a S² =T.

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