EPFL
Algèbre linéaire 1ère année 2009-2010
Corrigé de la série 24
Exercice 1. 1. On a
(T +T∗)∗ =T∗+T
par conséquentT +T∗ est auto-adjoint. Par le théorème spectral on en déduit qu’il existe une base orthonormée B de vecteurs propres de T +T∗ et de valeurs propres associées réelles. Donc,
[T +T∗]B =D
où D = diag(λ1, . . . , λn) ∈ Mat(n,R). Comme T +T∗ est supposée nilpotente, il existe k ∈N tel que (T +T∗)k = 0 et donc Dk = 0 d’où λk1 = . . .=λkn = 0 et doncλ1 =. . .= λn = 0. On en déduit que D= 0 et que T +T∗ = 0.
2. L’opérateur T étant supposé auto-adjoint, par le théorème spectral on sait qu’il existe une base orthonormée B de vecteurs propres de T et que les valeurs propres associées sont réelles. Donc,
[T]B =D oùD= diag(λ1, . . . , λn)∈Mat(n,R). D’où,
[S]B=D+iIn.
Or det(D+iIn) = (λ1 +i)·. . .·(λn +i) 6= 0 puisque ∀k, λk ∈ R. On en déduit que D+iIdCn est inversible et donc que S est inversible.
3. Comme T est supposé normal, d’après le théorème spectral, on sait qu’il existe une base orthonorméeB de vecteurs propres deT, c’est à dire
[T]B =D oùD= diag(λ1, . . . , λn)∈Mat(n,C).
Pour chaque i= 1, . . . , n on choisit δi ∈ C tel que δi2 =λi (δi existe d’après le cours sur les nombres complexes). On considère E = diag(δ1, . . . , δn)∈Mat(n,C) et S l’opérateur deL(V) tel que [S]B =E. Comme E2 =D on a S2 =T.
4. D’après le théorème spectral, il existe une base orthonormale BdeCn telle que[T]B,B = diag(r1eiθi, . . . , rneiθn) avec r1, . . . , rn ∈ R≥0 et θ1, . . . , θn ∈ R. Comme T8 = T9, on a r8jei8θj = rj9ei9θj pour j = 1, . . . , n. Donc soit rj = 0 soit rjeiθj = 1, ce qui implique que [T]B,B = diag(ε1, . . . , εn) avecε1, . . . , εn ∈ {0,1}. Donc T est auto-adjoint etT2 =T. Exercice 2. 1. Non. SiP1(R)est muni du produit scalaireφdéfini parφ(p, q) =R1
−1p(t)q(t)dt, alors B=
√1 2,
q3 2X
est une base orthonormale de P1(R). La matrice de T dans cette base est[T]B =
1 −1 1 1
. On trouve donc que T est normal, car
[T ◦T∗]B =
1 −1 1 1
·
1 1
−1 1
= 2I2 =
1 1
−1 1
·
1 −1 1 1
= [T∗◦T]B.
1
Par conséquent, s’il existep, q ∈P1(R)tels que T(p) = p,T(q) =−q et φ(p, q) = 1, alors p, q 6= 0 et ce sont donc des vecteurs propres de l’opérateur normal T pour les valeurs propres1 et −1. On a donc φ(p, q) = 0 d’après le cours, une contradiction.
2. Non. Si φ et S existaient, on aurait T∗ = (SS∗)∗ = (S∗)∗S∗ =SS∗ = T (car dimCn est de dimension finien), et donc T serait auto-adjoint. Par le théorème spectral, il existerait donc une base B orthonormale de Cn formée de vecteurs propres de T. On aurait donc
[T]B =
iλ1
. ..
iλn
avec λ1, . . . , λn∈R puisqueSpec(T)⊆iR. Mais on aurait alors
[T∗]B =
−iλ1 . ..
−iλn
6= [T]B, une contradiction.
Exercice 4. 1. Si dimV = 1, c’est évident. Si dimV = 2, on a deux cas : soit T est auto- adjoint, soitT est normal et non auto-adjoint. Dans le premier cas, on sait par le théorème spectral pour un opérateur auto-adjoint réel qu’il existe une base orthonormée deV telle que la matrice de T dans cette base est diagonale. Dans le deuxième cas, on sait par l’exercice 4 de la série 22 que la matrice deT dans une base orthonormale de V est de la forme
a −b
b a
aveca, b∈R etb >0.
2. On procède par induction sur la dimension n de V. On a montré les cas n = 1 et n = 2 dans la question précédente. Soit n ≥ 3 et l’assertion vraie pour n0 ≤ n−1. D’après le théorème 8.5 du polycopié, il existe un sous-espace T-invariant U 6= {0} de dimension m≤2.
D’après l’exercice 5 de la série 23, les opérateurs T|U et T|U⊥ sont normaux. Comme U et U⊥ sont de dimensions inférieures à n−1, on trouve des bases orthonormales BU de U etBU⊥ deU⊥ telles que [T|U]BU et[T|U⊥]B
U⊥ sont diagonales en blocs, où chaque bloc est de dimension 1×1ou 2×2de la forme
ai −bi bi ai
avecai, bi ∈R etbi >0. Comme B=BU∪BU⊥, l’assertion est donc démontrée pour dimV =n.
2