Corrigé de la série 24

EPFL

Algèbre linéaire 1ère année 2009-2010

Corrigé de la série 24

Exercice 1. 1. On a

(T +T^∗)^∗ =T^∗+T

par conséquentT +T^∗ est auto-adjoint. Par le théorème spectral on en déduit qu’il existe une base orthonormée B de vecteurs propres de T +T^∗ et de valeurs propres associées réelles. Donc,

[T +T^∗]_B =D

où D = diag(λ₁, . . . , λ_n) ∈ Mat(n,R). Comme T +T^∗ est supposée nilpotente, il existe k ∈N tel que (T +T^∗)^k = 0 et donc D^k = 0 d’où λ^k₁ = . . .=λ^k_n = 0 et doncλ₁ =. . .= λ_n = 0. On en déduit que D= 0 et que T +T^∗ = 0.

2. L’opérateur T étant supposé auto-adjoint, par le théorème spectral on sait qu’il existe une base orthonormée B de vecteurs propres de T et que les valeurs propres associées sont réelles. Donc,

[T]_B =D oùD= diag(λ1, . . . , λn)∈Mat(n,R). D’où,

[S]_B=D+iIn.

Or det(D+iIn) = (λ1 +i)·. . .·(λn +i) 6= 0 puisque ∀k, λk ∈ R. On en déduit que D+iId_Cⁿ est inversible et donc que S est inversible.

3. Comme T est supposé normal, d’après le théorème spectral, on sait qu’il existe une base orthonorméeB de vecteurs propres deT, c’est à dire

[T]_B =D oùD= diag(λ₁, . . . , λ_n)∈Mat(n,C).

Pour chaque i= 1, . . . , n on choisit δ_i ∈ C tel que δ_i² =λ_i (δ_i existe d’après le cours sur les nombres complexes). On considère E = diag(δ₁, . . . , δ_n)∈Mat(n,C) et S l’opérateur deL(V) tel que [S]_B =E. Comme E² =D on a S² =T.

4. D’après le théorème spectral, il existe une base orthonormale BdeCⁿ telle que[T]_B,B = diag(r₁e^iθi, . . . , r_ne^iθn) avec r₁, . . . , r_n ∈ R^≥0 et θ₁, . . . , θ_n ∈ R. Comme T⁸ = T⁹, on a r⁸_je^i8θj = r_j⁹e^i9θj pour j = 1, . . . , n. Donc soit r_j = 0 soit r_je^iθj = 1, ce qui implique que [T]_B,B = diag(ε₁, . . . , ε_n) avecε₁, . . . , ε_n ∈ {0,1}. Donc T est auto-adjoint etT² =T. Exercice 2. 1. Non. SiP1(R)est muni du produit scalaireφdéfini parφ(p, q) =R1

−1p(t)q(t)dt, alors B=

√1 2,

q3 2X

est une base orthonormale de P1(R). La matrice de T dans cette base est[T]_B =

1 −1 1 1

. On trouve donc que T est normal, car

[T ◦T^∗]_B =

1 −1 1 1

·

1 1

−1 1

= 2I₂ =

1 1

−1 1

·

1 −1 1 1

= [T^∗◦T]_B.

1

Par conséquent, s’il existep, q ∈P1(R)tels que T(p) = p,T(q) =−q et φ(p, q) = 1, alors p, q 6= 0 et ce sont donc des vecteurs propres de l’opérateur normal T pour les valeurs propres1 et −1. On a donc φ(p, q) = 0 d’après le cours, une contradiction.

2. Non. Si φ et S existaient, on aurait T^∗ = (SS^∗)^∗ = (S^∗)^∗S^∗ =SS^∗ = T (car dimCⁿ est de dimension finien), et donc T serait auto-adjoint. Par le théorème spectral, il existerait donc une base B orthonormale de Cⁿ formée de vecteurs propres de T. On aurait donc

[T]_B =





 iλ1

. ..

iλ_n





avec λ₁, . . . , λ_n∈R puisqueSpec(T)⊆iR. Mais on aurait alors

[T^∗]_B =







−iλ₁ . ..

−iλ_n





6= [T]_B, une contradiction.

Exercice 4. 1. Si dimV = 1, c’est évident. Si dimV = 2, on a deux cas : soit T est auto- adjoint, soitT est normal et non auto-adjoint. Dans le premier cas, on sait par le théorème spectral pour un opérateur auto-adjoint réel qu’il existe une base orthonormée deV telle que la matrice de T dans cette base est diagonale. Dans le deuxième cas, on sait par l’exercice 4 de la série 22 que la matrice deT dans une base orthonormale de V est de la forme

a −b

b a

aveca, b∈R etb >0.

2. On procède par induction sur la dimension n de V. On a montré les cas n = 1 et n = 2 dans la question précédente. Soit n ≥ 3 et l’assertion vraie pour n⁰ ≤ n−1. D’après le théorème 8.5 du polycopié, il existe un sous-espace T-invariant U 6= {0} de dimension m≤2.

D’après l’exercice 5 de la série 23, les opérateurs T|_U et T|_U^⊥ sont normaux. Comme U et U^⊥ sont de dimensions inférieures à n−1, on trouve des bases orthonormales BU de U etBU^⊥ deU^⊥ telles que [T|_U]_BU et[T|_U^⊥]_B

U⊥ sont diagonales en blocs, où chaque bloc est de dimension 1×1ou 2×2de la forme

a_i −b_i b_i a_i

aveca_i, b_i ∈R etb_i >0. Comme B=BU∪BU^⊥, l’assertion est donc démontrée pour dimV =n.

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