EPFLAlgèbre linéaire 1ère année 2009-2010
Corrigé de la série 24
Exercice 1. 1. On a
(T+T∗)∗=T∗+T
par conséquentT+T∗est auto-adjoint. Par le théorème spectral on en déduit qu’il existe une base orthonorméeBde vecteurs propres deT+T∗ et de valeurs propres associées réelles. Donc,
[T+T∗]B=D
oùD= diag(λ1, . . . , λn)∈Mat(n,R). CommeT+T∗ est supposée nilpotente, il existe k∈Ntel que(T+T∗)k= 0et doncDk= 0d’oùλk1=. . .=λkn= 0et doncλ1=. . .= λn= 0. On en déduit queD= 0et queT+T∗= 0.
2. L’opérateurT étant supposé auto-adjoint, par le théorème spectral on sait qu’il existe une base orthonorméeBde vecteurs propres deT et que les valeurs propres associées sont réelles. Donc,
[T]B=D oùD= diag(λ1, . . . , λn)∈Mat(n,R). D’où,
[S]B=D+iIn.
Or det(D+iIn) = (λ1+i)·. . .·(λn+i)6= 0puisque∀k, λk ∈R. On en déduit que D+iIdCnest inversible et donc queSest inversible.
3. CommeT est supposé normal, d’après le théorème spectral, on sait qu’il existe une base orthonorméeBde vecteurs propres deT, c’est à dire
[T]B=D oùD= diag(λ1, . . . , λn)∈Mat(n,C).
Pour chaquei= 1, . . . , non choisitδi∈Ctel queδ2i =λi(δiexiste d’après le cours sur les nombres complexes). On considèreE= diag(δ1, . . . , δn)∈Mat(n,C)etSl’opérateur deL(V)tel que[S]B=E. CommeE2=Don aS2=T.
4. D’après le théorème spectral, il existe une base orthonormaleBdeCntelle que[T]B,B= diag(r1eiθi, . . . , rneiθn)avec r1, . . . , rn ∈ R≥0 et θ1, . . . , θn ∈ R. CommeT8 =T9, on a r8jei8θj =rj9ei9θj pourj= 1, . . . , n. Donc soitrj= 0soitrjeiθj = 1, ce qui implique que [T]B,B= diag(ε1, . . . , εn)avecε1, . . . , εn∈ {0,1}. DoncT est auto-adjoint etT2=T. Exercice 2. 1. Non. SiP1(R)est muni du produit scalaireφdéfini parφ(p, q) =R1
−1p(t)q(t)dt, alorsB=
√1 2,q
3 2X
est une base orthonormale deP1(R). La matrice deT dans cette base est[T]B=
1 −1 1 1
. On trouve donc queT est normal, car
[T◦T∗]B= 1 −1
1 1
· 1 1
−1 1
= 2I2= 1 1
−1 1
· 1 −1
1 1
= [T∗◦T]B. 1
Par conséquent, s’il existep, q∈P1(R)tels queT(p) =p,T(q) =−qetφ(p, q) = 1, alors p, q 6= 0et ce sont donc des vecteurs propres de l’opérateur normalT pour les valeurs propres1et−1. On a doncφ(p, q) = 0d’après le cours, une contradiction.
2. Non. SiφetSexistaient, on auraitT∗= (SS∗)∗= (S∗)∗S∗=SS∗=T (cardimCn est de dimension finien), et doncT serait auto-adjoint. Par le théorème spectral, il existerait donc une baseBorthonormale de Cnformée de vecteurs propres deT. On aurait donc [T]B=
iλ1
...
iλn
avecλ1, . . . , λn∈RpuisqueSpec(T)⊆iR. Mais on aurait alors
[T∗]B=
−iλ1
...
−iλn
6= [T]B, une contradiction.
Exercice 4. 1. SidimV = 1, c’est évident. SidimV = 2, on a deux cas : soitT est auto- adjoint, soitTest normal et non auto-adjoint. Dans le premier cas, on sait par le théorème spectral pour un opérateur auto-adjoint réel qu’il existe une base orthonormée deV telle que la matrice deT dans cette base est diagonale. Dans le deuxième cas, on sait par l’exercice 4 de la série 22 que la matrice deT dans une base orthonormale deV est de la forme
a −b
b a
aveca, b∈Retb >0.
2. On procède par induction sur la dimensionndeV. On a montré les casn= 1etn= 2 dans la question précédente. Soitn≥3et l’assertion vraie pourn0 ≤n−1. D’après le théorème 8.5 du polycopié, il existe un sous-espaceT-invariantU 6={0} de dimension m≤2.
D’après l’exercice 5 de la série 23, les opérateursT|U etT|U⊥sont normaux. CommeU etU⊥sont de dimensions inférieures àn−1, on trouve des bases orthonormalesBU de UetBU⊥deU⊥telles que[T|U]BU et[T|U⊥]BU⊥ sont diagonales en blocs, où chaque bloc est de dimension1×1ou2×2de la forme
ai −bi
bi ai
avecai, bi∈Retbi>0. Comme B=BU∪BU⊥, l’assertion est donc démontrée pourdimV =n.
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