Corrigé de la série 24

EPFL

Algèbre linéaire 1ère année 2008-2009

Corrigé de la série 24

Exercice 1. 1. On a

(T +T^∗)^∗ =T^∗+T

par conséquentT +T^∗ est auto-adjoint. Par le théorème spectral on en déduit qu’il existe une base orthonormée B de vecteurs propres de T +T^∗ et de valeurs propres associées réelles. Donc,

[T +T^∗]_B=D

où D = diag(λ1, . . . , λn) ∈ Mat(n,R). Comme T +T^∗ est supposée nilpotente, il existe p∈ N tel que (T +T^∗)^p = 0 et donc D^p = 0 d’où λ^p₁ = . . .=λ^p_n = 0 et donc λ₁ =. . .= λ_n = 0. On en déduit que D= 0 et que T +T^∗ = 0.

2. L’opérateur T étant supposé auto-adjoint, par le théorème spectral on sait qu’il existe une base orthonormée B de vecteurs propres de T et que les valeurs propres associées sont réelles. Donc,

[T]_B =D oùD= diag(λ₁, . . . , λ_n)∈Mat(n,R). D’où,

[A]_B =D+iI.

Ordet(D+iId) = (λ₁+i). . . . .(λ_n+i)6= 0puisque∀k, λ_k ∈R. On en déduit queD+iId est inversible et donc que A est inversible.

3. Comme T est supposé normal, d’après le théorème spectral, on sait qu’il existe une base orthonorméeB de vecteurs propres deT, c’est à dire

[T]_B =D oùD= diag(λ1, . . . , λn)∈Mat(n,C).

On pose∀i δ_i ∈Ctel que δ_i² =λ_i. (δ_i existe d’après le cours sur les nombres complexes).

On considèreE = diag(δ₁, . . . , δ_n)∈Mat(n,C)etS l’opérateur deL(V)tel que[S]_B=E.

CommeE² =D on a S² =T.

4. D’après le théorème spectral, il existe une base orthonormale BdeCⁿ telle que [T]_B,B= diag(r₁e^iθi, . . . , r_ne^iθn) avec r₁, . . . , r_n ∈ R^≥0 et θ₁, . . . , θ_n ∈ R. Comme T⁸ = T⁹, on a r⁸_je^i8θj = r_j⁹e^i9θj pour j = 1, . . . , n. Donc soit r_j = 0 soit r_je^iθj = 1, ce qui implique que [T]_B,B= diag(ε₁, . . . , ε_n)avec ε₁, . . . , ε_n∈ {0,1}. Donc T est auto-adjoint et T² =T. Exercice 2. 1. Soit v ∈V un vecteur non nul. On a alors

h(T² +αT +βId_V)(v), vi=hT²(v), vi+αhT(v), vi+βhv, vi

=hT(v), T(v)i+αhT(v), vi+βkvk² car T =T^∗

≥ kT(v)k²− |α| · kT(v)k · kvk+βkvk²

=

kT(v)k −|α| · kvk 2

2

+

β− α² 4

kvk² >0.

On obtient donc que (T²+αT +βId_V)(v)6= 0 pour tout v 6= 0. Donc T²+αT +βId_V est injectif et donc surjectif d’après le théorème du rang.

1

2. La liste(v, T(v), . . . , Tⁿ(v))est une liste den+ 1vecteurs. Comme la dimension deV est n, ces vecteurs ne peuvent pas être linéairement indépendants et il existe a₀, . . . , a_n ∈R pas tous nuls tels que a₀v+a₁T(v) +. . .+a_nTⁿ(v) = 0.

3. On a p(T)(v) = 0 et donc

c(T−λ₁Id_V)◦. . .◦(T−λ_mId_V)◦(T²+α₁T+β₁Id_V)◦. . .◦(T²+α_MT+β_MId_V)(v) = 0, cette égalité ne dépendant pas de l’ordre des applications linéaires appliquées àv. Comme p6= 0, on a c6= 0. De plus, d’après la première question, les opérateursT²+αiT +βiIdV

sont inversibles pour i= 1, . . . , M. On obtient donc m≥1 et (T −λ₁Id_V)◦. . .◦(T −λ_mId_V)(v) = 0.

(En effet, si on avait (T − λ₁Id_V)◦ . . . ◦ (T − λ_mId_V)(v) 6= 0, alors on obtiendrait p(T)(v) = c(T²+α₁T +β₁Id_V)◦. . .◦(T² +α_MT +β_MId_V)◦(T −λ₁Id_V)◦. . .◦(T − λ_mId_V)(v)6= 0car les M derniers opérateurs que l’on applique sont inversibles. Mais ceci est une contradiction car p(T)(v) = 0.) Admettons maintenant que T n’a aucune valeur propre réelle. En particulier, les valeursλ₁, . . . , λ_m ne sont pas des valeurs propres de T. On a alors (T −λ_iId_V)(w)6= 0pour tout 06=w∈V et i= 1, . . . , m, et on obtient pour tout06=w∈V :(T−λ_mId_V)(w)6= 0implique que(T−λ_m−1Id_V)◦(T−λ_mId_V)(w)6= 0 etc. En particulier, la composition(T −λ₁Id_V)◦. . .◦(T −λ_mId_V) appliquée au vecteur v ne peut pas être nulle, une contradiction. L’opérateur T possède donc au moins une valeur propre réelle λ.

Exercice 3. 1. D’après l’exercice précédent, on sait qu’il existe un vecteur propre u⁰ 6= 0de T pour une valeur propre λ ∈R. Le vecteur u=u⁰/ku⁰k est un multiple de u⁰ de norme 1, c’est donc aussi un vecteur propre deT pour la valeur propre λ. On poseU = span(u).

Soit v ∈U^⊥. On a

hT(v), ui=hv, T(u)i=λhv, ui= 0, ce qui montre que T(v)∈U^⊥.U^⊥ est donc T-invariant.

2. On peut donc considérer T|_U^⊥ ∈ L(U^⊥). L’espace vectoriel U^⊥ est muni du produit scalaire défini par la restriction àU^⊥du produit scalaire surV. On a, pour toutv, w∈U^⊥:

hT|_U^⊥(v), wi_U^⊥ =hT(v), wi=hv, T(w)i=hv, T|_U^⊥(w)i_U^⊥. L’opérateur T|_U^⊥ est donc auto-adjoint d’après la caractérisation de l’adjoint.

3. Soit n = 1. Alors T =λIdV. Chaque base orthonormale de V est composée d’un unique vecteur normé. Ce vecteur est automatiquement un vecteur propre de T pour la valeur propreλ.

On admet que l’assertion à démontrer est vraie pour tout espace vectoriel réel V de dimensionn−1et tout opérateurT⁰ auto-adjoint deV. Soitλune valeur propre réelle de T (qui existe d’après l’exercice 2) etuun vecteur propre normé deT pour la valeur propre λ. On considère U := span(u). Comme dimU^⊥ = n−1 et T⁰ := T|_U^⊥ est un élément auto-adjoint de L(U^⊥) d’après la question précédente, il existe dáprès l’hypothèse de récurrence une base (u₁, . . . , un−1) de U^⊥ formée de vecteurs propres de T|_U^⊥. Comme les vecteurs u₁, . . . , un−1 sont des vecteurs propres de T|_U^⊥, ils sont aussi des vecteurs propres de T. La liste (u, u₁, . . . , u_n−1) est donc une base orthonormée de V formée de vecteurs propres de T.

2

Exercice 4. 1. Soit (e₁, . . . , e_m) une base orthonormée de U, qu’on complète en une base orthonormée B = (e₁, . . . , e_m, e_m+1, . . . , e_n) de V. La matrice de T dans cette base a la forme

M := [T]_B,B=

A B 0 C

,

avec A ∈ Mat(m,R), B ∈ Mat(n−m, m,R) et C ∈ Mat(n−m,R). On a utilisé le fait que U est T-invariant, donc que T(e_i) ∈span(e₁, . . . , e_m) pour i = 1, . . . , m. On appelle m_ij les coefficients de la matrice M, i, j = 1, . . . , n. Pouri= 1, . . . , m, on a

kT(e_i)k² =k

m

X

j=1

m_jie_jk² =

m

X

j=1

km_jie_jk² =

m

X

j=1

m²_ji.

On obtient donc

m

X

i=1

kT(ei)k² =

m

X

i=1 m

X

j=1

m²_ji.

Comme[T^∗]_B,B =M^∗, on a également kT^∗(e_i)k² =k

n

X

j=1

m_ije_jk² =

n

X

j=1

km_ije_jk² =

n

X

j=1

m²_ij.

On obtient donc

m

X

i=1

kT^∗(e_i)k² =

m

X

i=1 n

X

j=1

m²_ij.

Mais comme T est normal, on a kT^∗(e_i)k=kT(e_i)k pouri= 1, . . . , m. Cela donne

m

X

i=1

kT(e_i)k² =

m

X

i=1

kT^∗(e_i)k², et donc

m

X

i=1 n

X

j=1

m²_ij =

m

X

i=1 m

X

j=1

m²_ji =

m

X

i=1 m

X

j=1

m²_ij. On obtient donc

m

X

i=1 n

X

j=m+1

m²_ij = 0.

Comme ce nombre est la somme des carrés des coefficients (réels !) deB, on a montré que B = 0. La matrice de T par rapport à la base Best donc de la forme

A 0 0 C

.

Cela implique queT(e_i)∈span(e_m+1, . . . , e_n)pouri=m+1, . . . , n. Comme(e_m+1, . . . , e_n) est une base de U^⊥, on a donc prouvé que U^⊥ estT-invariant.

2. On obtient de la question précédente que [T^∗]_B,B =

A^t 0 0 C^t

. Le sous-espace vectoriel U est donc T^∗-invariant.

3

3. Soit S := T|_U ∈ L(U). Soient u, u⁰ ∈ U. On calcule hS(u), u⁰i_U = hT(u), u⁰i_V = hu, T^∗(u⁰)i_V = hu, T^∗(u⁰)i_U, comme T^∗(U) ⊆ U. On a donc S^∗(u⁰) = T^∗(u⁰) pour tout u⁰ ∈U d’après la caractérisation de l’adjoint. Cela montre que S^∗ =T^∗|_U ∈L(U).

4. On a pour tout u∈U :

(T|_U◦T^∗|_U)(u) = T|_U(T^∗(u)) =T(T^∗(u)) =T^∗(T(u)) = (T^∗|_U ◦T|_U)(u), où on a utilisé le fait que T est normal. L’opérateur T|_U est donc normal.

5. On a montré dans le point précédent que la restriction de T à un sous-espaceT-invariant de V est normal. Comme U^⊥ est T-invariant d’après le point 1, on peut appliquer ce résultat à U^⊥.

4