Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Interrogation de cours n˚11
Nom : Pr´enom :
Question 1 (3 points)
D´eterminer la nature g´eom´etrique de la transformation du plan complexe z 7→ −iz+ 1. On ´ecrira le r´esultat sous forme d’une compos´ee (avec le symbole◦ donc).
Question 2 (3 points) Soient (−→
u1,−→ u2,−→
u3) une famille de trois vecteurs de l’espace. Donner la d´efinition de l’assertion : la famille (−→
u1,−→ u2,−→
u3) est libre.
Question 3 (2 points) SoitB= (−→
i ,−→ j ,−→
k) une base de l’espace. Soient−→
u un vecteur de l’espace et (x, y, z)∈R3. Traduire l’assertion :
−
→u a pour coordonn´ees (x, y, z) dansB
`a l’aide d’une ´egalit´e vectorielle.
−
→u a pour coordonn´ees (x, y, z) dansB ⇐⇒
Question 4 (2 points)
Enoncer le crit`ere d’orthogonalit´e pour deux vecteurs de l’espace.´
1
Question 5 (3 points) Soit (−→
i ,−→ j ,−→
k) une base orthonorm´ee directe de l’espace. Soient−→
u1(x1, y1, z1) et−→
u2(x2, y2, z2) deux vecteurs de l’espace. Donner les coordonn´ees du vecteurs−→
u1∧−→ u2.
Question 6 (3 points) Soient−→
u et−→
v deux vecteurs de l’espace. En utilisant les propri´et´es alg´ebriques du produit vectoriel, simplifier l’´ecriture du vecteur :
(−→ u +−→
v)∧(−→ u −−→
v).
On montrera que ce vecteur est proportionnel au vecteur−→ u∧−→
v. On d´etaillera et on justifiera chaque ´etape du calcul.
(−→ u +−→
v)∧(−→ u −−→
v) =
Question 7 (4 points) Soit (−→
i ,−→ j ,−→
k) une base orthonorm´ee directe de l’espace. Soient les trois vecteurs de l’espace :
−→
u1(1,1,1) ; −→
u2(2,5,3) ; −→
u3(1,−1,0).
Calculer det(−→ u1,−→
u2,−→
u3) et en d´eduire une propri´et´e g´eom´etrique.
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