Contrôle n ◦ 1 IUP GCI1 2001/2002
Exercice 1 : Soient A = (1,1,1), B = (1,2, − 1), C = (−1,2, − 1) trois points de l’espace, déterminer une équation du planΠpassant parA,B etC, ainsi qu’un vecteur orthogonal à ce plan.
Exercice 2 : Soit R = (A,−→ i ;−→
j )un repère orthonormal deR2 etR0 = (A0,−→ i0 ;−→
j0)le repère de R2 défini par
−−→AA0 =−→
i −2−→
−→ j
i0 = 2−→ i +−→
−→ j j0 =−→
i +−→ j
1. Le repèreR0 est-il orthonormal?
2. SoitDla droite d’équationx−2y= 1dans le repèreR. Quelle est son équation dansR0? 3. Soitf l’application linéaire définie parf(x−→
i +y−→
j ) = (2x−y)−→
i + (x+y)−→
j , quelle est sa matriceM dans la base(−→
i ;−→
j )et sa matriceN dans la base(−→ i0 ;−→
j0)? Exercice 3 : Soient les matrices
A=
3 1 1 1
B =
−4 6
−2 4
CalculerBA,A−1,A−1BA. En déduire une base de vecteurs propres deB.
Exercice 4 : 1. Diagonaliser la matrice
A=
−3 0 −2 0 −1 0
4 0 3
2. La matrice A est-elle la matrice d’une symétrie par rapport à un plan ou par rapport à une droite? Cette symétrie est-elle orthogonale?
Exercice 5 : SoitMala matrice
1 a a 3
. 1. Déterminer les valeurs propres deMa.
2. On noteλm la plus grande des valeurs propres,Em son sous espace propre associé,θ l’angle que fait l’axe des x avec la droite Em, représenter sur un dessin les axes et les deux sous espaces propres à l’aide de l’angleθ.
3. Déterminera0 >0pour que 7 soit une valeur propre deMa0, diagonaliserMa0 et représenter ses sous espaces propres sur un dessin.
4. Dans le cas général, déterminerθen fonction dea.
barème indicatif : 3+5+4+4+4
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