IUP GCI 1 2002/2003 A.Mizrahi
Calcul matriciel TD3
Exercice 1:
Pour tout polynôme de degré inférieur à 2 on posef(P) =P0 et g(P) =R20 P(t)dt.
1)Déterminer une base B simple de l'espace des polynômes de degré inférieur à 3.
2)Déterminer le noyau de f.
3) A l'aide du théorème du rang déterminer l'image de f . 4) Écrire la matrice M de f dans la base B.
5) Écrire la matrice N de g relativement aux basesB et (1). 6) En déduire R2
0(t3−4t2+t)dt
Exercice 2:
f(x) = cos(x);g(x) = ex;h(x) = sin(x); k(x) = cos(x+π4). 1) Montrer que (f,g) est libre.2) Montrer que vect(f,g,h) = vect(f,g). Quelle est la dimension de vect(f,g,h).
Exercice 3:
f(x,y,z) = (x+ 3y−3z,4y,−3x+ 3y+z). Montrer que 4 est une valeur propre de f et déterminer le sous espace propre associé.Exercice 4:
f(x,y) = (5x−6y,4x−5y)1) Montrer que 1 et -1 sont des valeurs propres de f et déterminer un vecteur propre associé à chacune de ces valeurs.
2) Déterminer une base B deR2 constitué de vecteurs propres de f. 3) Déterminer la matrice M def dans la base canonique (1; 0),(0; 1).
4) Déterminer la matrice N def dans la baseB, sans utiliser de matrice de passage.
5) Déterminer une relation matricielle entre M etN.
Exercice 5:
Calculer les déterminants suivants : A=
5 −2 6 −2
; B =
1 1 1 2 a a 2a 1 2
; C =
a a a a b b a b c
; D=
a3 a a4 a2 a2 a5 a2 a a3
;
Exercice 6:
Calculer les déterminant suivants:A=
2 −1 3 5 3 1 −1 5 5 −2 1 1
1 0 1 1
B =
0 x y z x 0 z y y z 0 x z y x 0
Pour b on donnera une forme factorisée du résultat.
Exercice 7:
On pose∆(x1,...xn) =
1 x1 . . . xn−11 1 x2 . . . xn−12
... . . . ...
1 xn . . . xn−1n Montrer que ∆(x1,...xn) = ∆(x2,...xn)Qn
i=2(xi −x1). En déduire la valeur de ∆(x1,...xn), quand ce déterminant est-il nul?
Université de Cergy Pontoise
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Exercice 8:
Diagonaliser les matrices suivantes : A =3 −3 2 −4
B =
−4 −15
2 7
C =
7 −10 4 −7
D=
3a+ 1 −3a−3 a+ 1 −a−3
E =
−3 −2 6
−4 −1 6
−2 0 2
F =
1 4 4
4 7 8
−4 −8 −9
G=
−3 −8 −4
−5a−11 −3a−28 −2a−14 10a+ 24 6a+ 62 4a+ 31
Exercice 9:
M =
1 −5 −2
−5 1 −2
−2 −2 −2
1) Diagonaliser M.
2) Donner une interprétation géométrique de la transformation associée à la matrice M dans un base B.
Exercice 10:
M =
5 −3 8 −5
1) Déterminer P tel que M =P
0 1 1 0
P−1 2) Donner une interprétation géométrique.
Exercice 11:
Diagonaliser les matrices suivantes :A= −6 6
−12 11
!
B = 8 −4 9 −4
!
C =
3 −3 3 2 −1 0 1 −2 3
D=
0 −3 4 4 8 −8 2 3 −2
E =
4 −2 0 2 1 −2 0 2 −2
Puis calculer A5, cos(A) et eA.
Exercice 12:
Sans faire aucun calcul dire si les matrices suivantes sont diagonalisables : A=cos(π7) −sin(π7) sin(π7) cos(π7)
B =
2 −5 −3 0 2 −7
0 0 2
C =
2 −5 3
−5 3 9
3 9 5
