IUP GCI 1 2002/2003 A.Mizrahi
Calcul matriciel et géométrie TD 4
Exercice 1:
Soit E l'espace vectoriel des fonctions dérivables, on noteD l'application dénie par ∀f ∈E, D(f) =f0 oùf0 est la dérivée de f. Montrer que tout les réels sont valeurs propres et déterminer le sous espace propre associé.Exercice 2:
Dans un repère orthonormal du plan R2 on considère trois pointsA;B;C de coordonnées respectives (10;−13); (−2; 3); (2; 1). Calculer la distance de A à la droite(BC) puis la distance de A à la médiane du triangle (ABC) issue deC.Exercice 3:
Dans le plan R2 on considère les points A(1; 2);B(2;−1);C(−3; 1). 1. Calculer les longueurs des cotés du triangle (ABC).2. Calculer l'aire du triangle (ABC). 3. Calculer les angles du triangle.
4. Calculer les longueurs des hauteurs.
5. Déterminer l'équation de la hauteur issue de A. 6. Déterminer les coordonnées de l'orthocentre.
Exercice 4:
DansR3 calculer la distance du point A(1; 2; 3)à la droite D d'équation : 2x−y−2z+ 3 = 0x+y−4z+ 3 = 0
Exercice 5:
DansR3 on considère le plan P d'équation 2x+ 2y−z−1 = 0;A(1; 1;−1)et D= (1; 0; 2) +R(1; 1; 1).1. Calculer la distance de A àP. 2. Calculer la distance de A àD.
3. SoitM(x;y) un point deR3, déterminer son projeté orthogonal sur P. 4. Déterminer le projeté orthogonal de la droite Dsur le plan P.
5. Déterminer l'angle entre P et D.
Exercice 6:
Dans le plan R2 soient C et C0 les deux cercles d'équations : x2+y2 = 10 x2 +y2 −10x+452 = 0 1. Déterminer les centres et les rayons des cerclesC etC0. 2. Montrer que les deux cercles sont extérieurs l'un à l'autre.
3. Déterminer les quatre tangentes communes à C et C0.
Exercice 7:
Faisceaux de cercles.Soient C etC0 deux cercles d'équations x2+y2+cx+dy+e= 0 et
x2+y2+c0x+d0y+e0 = 0, on appelle faisceau de cercles associé à C et C0 l'ensemble de cercles FC;C0 des cercles qui ont une équation de la forme
α(x2+y2+cx+dy+e) +β(x2+y2+c0x+d0y+e0) = 0 Si C :x2+y2 = 1 et C0 :x2+ 2x+y2 = 1
Université de Cergy Pontoise
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1. Déterminer les points d'intersections A etB de C etC0.
2. Monter que le faisceau de cercles associé à ces deux cercles est constitué des cercles passant par A etB.
Exercice 8:
Soit A la matrice :
3 −1 1
−1 1 −1
1 −1 1
1. A est-elle symétrique? inversible?
2. CalculerA2 etA3. Ces deux matrices sont-elles linéairements indépendantes (on regarde les matrices comme des vecteurs).
3. Trouver a et b tels que A3 =aA2+bA.
4. Montrer que pour tout entier n≥1, il existe des réels an etbn tels que An=anA2+bnA
Trouver une relation de récurrence entre les an et les bn. 5. Déterminer A7 en fonction deA et B .
Exercice 9:
Un corps célesteM a pour coordonnées orthogonalesx et y dans un repère orthonormé (O,−→i ,−→
j ). Il décrit une trajectoire dénie par l'équation : (E) : 3x2 + 10xy+ 3y2+ 8 = 0
1. Déterminer une matrice symétrique M telle queE soit équivalente à : x y
M x
y
=−8
2. DiagonaliserM.
3. Déterminer un repère orthonormé (O,−→ I ,−→
J ), dans lequel l'équation de la trajectoire soit de la forme :
X2 a2 − Y2
b2 = 1
Exercice 10:
Représentation plane de Mohr d'une matrice symétrique.Soit M la matrice M =
a b b c
avec det(M)6= 0 et a > c. On note C le cercle de diamètre AB avecA(a;b)et B(c;−b)
1) Déterminer l'équation du cercle C.
2) Montrer que les deux points d'intersections de C et de l'axe (Ox) ont pour abscisse les valeurs propres de M. On note L1 celui qui a la plus grande abscisse et L2 l'autre.
3) Soit σ1 la plus grande valeur propre deM et−→u un vecteur propre associé. Déterminer tan((Ox)\−→u) à l'aide dea,b,c, on pourra commencer par déterminer un vecteur −→u possible.
4) Montrer que tan(\AL2x) = tan((Ox)\−→u) interprétation pour trouver graphiquement l'angle ((Ox)\−→u).
