Examen de Mathématiques IUP GCI deuxième année Mars 2003
Une calculatrice, une table et une feuille manuscrite au choix de l’étudiant sont autorisées.
Exercice 1 :
Dans une urne il y a 15 boules blanches et 32 boules noires :
1. On tire 5 boules quelle est la probabilité qu’elles soient toutes les 5 noires?
2. On tire les boules une à une et à chaque fois on remet la boule tirée, calculer la probabilité que les cinq premières boules tirées soient noires?
Exercice 2 :
Une usine produit des cylindres A dont on suppose que les diamètres suivent une loi normale de paramètres (200;0,01). Ces pièces viennent s’ajuster dans une cavité de pièces B dont le diamètre suit une loi normale de paramètres (200;0,03) .
1. Quelle est la proportion de cylindres ayant un diamètre supérieur à 200,2.
2. Quelle est la probabilité que le diamètre moyen de 9 cylindres A soit supérieur à 200,02.
3. Pour que le montage finale soit correct il faut que la différence des diamètres entre les pièces A et B soit inférieure à 0,5 quelle est la proportion de montages corrects?
Exercice 3 :
Lors d’un projet de fin d’étude de l’iup intitulé "comportement des BHP aux hautes températures", des étudiants ont préparés 9 éprouvettes avec le béton d’une même gâchée, ils ont pesé leurs éprouvettes les ont fait chauffer durant une trentaine d’heures pour atteindre200◦C, puis les ont pesées, enfin ils ont calculé la perte de masse des éprouvettes c’est à dire la variation de masse divisée par la masse de départ, en supposant que ces pertes de masse suivent une loi normale donner un intervalle de confiance au risque de 5%pour la perte de masse moyenne.
masse avant cuisson en g masse après cuisson en g variation de masse en g perte de masse en %
15413 14818 595 3.86
15355 14738 617 4.02
15454 14780 674 4.36
15402 14651 751 4.88
15460 14748 712 4.61
15280 14432 748 4.90
15521 14864 657 4.23
15165 14584 581 3.83
15314 14704 610 3.98
Exercice 4 :
Des camions viennent livrer une entreprise qui possède six postes de déchargements, durant un an on a fait 144 relevés pour savoir combien de camions se présentaient à un instant donné, les instants d’observations étant aléatoires et indépendants, on a obtenu les résultats suivants :
Nombre de camions présents 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nombre de relevés 4 3 9 21 30 23 20 15 11 6 2
1. Calculer le nombre moyen de camions observés, ainsi que la variance observée, et la variance estimée pour le nombre de camions.
On rappelle qu’une variable aléatoireXsuit une loi de Poisson de paramètreλsi
∀n∈N, P(X =n) = e−λλn n!
L’espérance deXest alors égale àλ.
2. Faire un test pour tester l’hypothèse suivante : le nombre de camions présents suit une loi de Poisson.
3. Combien faudrait-il de postes de déchargements pour que 95% du temps il n’y ait pas de camion en attente? (on ne confondra pas 95% de l’échantillon et 95% de la population).
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