IUP GCI 1 2002/2003 A.Mizrahi
Géométrie et calcul matriciel TD 2
Exercice 1:
Soient R= (A,−→i ;−→j ) etR0 = (A0,−→i0 ;−→j0) deux repères de R2 tels que
−−→AA0 =−→ i +−→
−→ j
i0 = 3−→
i −2−→
−→ j
j0 = 2−→ i −−→
j 1. Quelles sont les coordonnées deA0 dans R0? dans R? 2. Quelles sont les coordonnées deA dans R? dans R0?
3. SoitD la droite d'équation x+y= 5 dans le repèreR. Quel est son équation dans R0? 4. SoientB de coordonnées (1; 2) dans R et−→u de coordonnées (−1; 3) dans R,
déterminer les coordonnées de B et−→u dans R0.
5. Déterminer une équation de la droiteB+R−→u dans le repèreR puis dans le repèreR0.
Exercice 2:
Soient R= (A,−→i ;−→j ;−→k ) etR0 = (A0,−→i0 ;−→j0;−→k0)deux repères tels que
−−→AA0 =−→ i −−→
j + 3−→
−→ k
i0 = 2−→ i −−→
−→ j j0 =−→
i +−→ j + 3−→
−→ k
k0 =−−→
i + 3−→ j +−→
k 1. Quelles sont les coordonnées deA0 dans R0? dans R? 2. Quelles sont les coordonnées deA0 +−→
i0 +−→ j0 −2−→
k0 dans R0? dans R? 3. SoitD la droite de système d'équations
2x−y+ 3z−1 = 0
x+ 4y−6z+ 2 = 0 dans le repère R. Déterminer un système d'équations de la droite D dans le repèreR0.
Exercice 3:
Lorsqu'elles sont possibles eectuer les opérations suivantes : AE; AB; AC; CA; CF; F C; C−1; A−1; D−1; G−1.A=
1 2 0 3 −1 −2
; B =
1 2 3 4
−1 5
; C =
−2 1
−3 1
; D=
0 2 0 3 0 1 0 0 2
E =
1 3
−5
; F =
0 1 1 0
G=
2 −1
−4 2
Exercice 4:
Soit A= 56 −2−2 , résoudre les équations suivantes AX =X; AX = 3X d'inconnue X une matrice colonne.Exercice 5:
Écrire la droite vectorielle D=R(−2,3,4), comme image puis comme noyau d'une application linéaire.Exercice 6:
Soient P =R(1; 2; 3) +R(−1; 0; 2) et D=R(1; 1; 1)Université de Cergy Pontoise
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1. Déterminer la matrice de la projection sur la droiteD parallèlement au plan P. 2. Déterminer la matrice de la projection sur le plan P parallèlement à la droite D. 3. Déterminer la matrice de la symétrie par rapport au planP parallèlement à la droiteD.
Exercice 7:
Soient D etD0 les droites d'équation 2x−3y= 7 etx−7y= 2 dans un repère R du plan, déterminer les coordonnées de M0 image du point M de coordonnées(x,y) dans R par la symétrie d'axe D parallèlement àD0.Exercice 8:
Soit B= (−→i ;−→j ;−→k ) etB0 = (−→i0 ;−→j0;−→k0)deux bases telles que
−→
i0 = 2−→ i +−→
−→ j j0 =−→
i +−→ j −−→
−→ k
k0 =−−→ i +−→
j +−→ k et f l'application linéaire dénie par
f(x−→ i +y−→
j +z−→
k ) = (x−y)−→
i + (2y−z)−→
j −(x+y+z)−→ k 1. Déterminer la matriceM de f dans la base B.
2. Déterminer la matriceN de f dans la base B0.
3. Déterminer la matriceH de f relativement aux base B etB0.
Exercice 9:
Calculer les matrices inverses des matrices suivantes : A=
3 2 3 4 4 3 3 3 3
; B =
5 −1 5 8 5 7 4 −1 4
; C =
3 2 5 4
; D=
7 −4
−3 2
;
Exercice 10:
Sachant que B =
1 −2 3
4 1 1
1 2 −2
−1
=
4 −2 5
−9 5 −11
−7 4 −9
Résoudre les systèmes :
(S) =
x−2y+ 3z = 1 4x+y+z =−1
x+ 2y−2z = 3
(S0) =
x+ 4y+z = 1
−2x+y+ 2z =−1 3x+y−2z = 3
Exercice 11:
Soit E l'ensemble des solutions de l'équation diérentiellexy00−y+xy= 0. 1. Montrer queE est un sous-espace vectoriel.2. ÉcrireE comme noyau d'un application linéaire.
Exercice 12:
f(x,y,z) =x+ 2y−z. Déterminer sans utiliser le théorème du rang le noyau et l'image de f, puis vérier sur cet exemple que le théorème du rang est bien vérié.Exercice 13:
f(x,y,z) = (2x−y+z,y+x). 1) Déterminer le noyau et l'image de f.2) Déterminer une base du noyau et de l'image de f.
3)Écrire la matrice M de f relativement aux bases canoniques : (1; 0; 0),(0; 1; 0),(0; 0; 1) et (1; 0),(0; 1).
