Examen de Mathématiques IUP GCI première année Mars 2003

Examen de Mathématiques IUP GCI première année Mars 2003

Une calculatrice et une feuille manuscrite au choix de l’étudiant sont autorisées.

Exercice 1 :

SoientΦ(x, y, z) = (y−z)²+x²−1,ϕ(t) = (cos(t), t+ sint, t),P = (0,1 +^π₂,^π₂),Σ = ker Φ etC =imϕ.

1. Quelles sont les natures deΣetC (point, courbe, plan, volume, etc...) 2. Montrer queP ∈ C, puis queC ⊂ Σ.

3. Déterminer le plan tangentT àΣenP. 4. Déterminer la tangenteSàC enP. 5. Montrer queS ⊂T.

Exercice 2 :

Calculer les intègrales suivantes : 1. I₁ =R∞

1

1

(x+2)(x+5)dx.

2. I2 =R1

0 e^xcos(nπx)dx, avecn ∈N^∗; 3. I₃ =Ra

1 a

lnx

1+x² dx, aveca >0, on pourra posery= ¹_x, et montrer queI =−I.

4. I₄ =Rπ

0 sint cos(2nt)dt, pourn∈N.

Exercice 3 :

1. Déterminer une primitive de Arctanx.

2. A l’aide d’un changement de variable déterminer une primitive de ^√1_xArctan√ x.

3. Pourx >0, calculerR1 0

1

1+xt² dt, en posantt = ^√u_x. 4. On posef(x) =R1

0

ln(1+xt²)

t² dt, calculer la dérivée def, ainsi quef(0), en déduiref(x).

5. CalculerR1 0

ln(1+t²) t² dt.

Exercice 4 :

SoitA(x, y) = (Φ₁(x, y); Φ₂(x, y))un champ vectoriel deR² dansR², on pose Φ_ρ(ρ, θ) = Φ₁(ρcosθ;ρsinθ) cosθ+ Φ₂(ρcosθ;ρsinθ) sinθ

Φθ(ρ, θ) = −Φ1(ρcosθ;ρsinθ) sinθ+ Φ2(ρcosθ;ρsinθ) cosθ 1. SiA(1,1) = (1,−¹₂), représenterA(1,1),Φ1(1,1),Φ2(1,1),Φρ(√

2,^π₄)etΦθ(√ 2,^π₄).

2. Calculer ^∂Φ_∂ρ^ρ en fonction de ^∂Φ_∂x¹; ^∂Φ_∂x²;^∂Φ_∂y¹;^∂Φ_∂y² etθ.

3. De même calculer ^∂Φ_∂θ^θ. 4. Montrer que :

1 ρ

∂(ρΦρ)

∂ρ +1 ρ

∂Φθ

∂θ =∇.A

5. En déduire la divergence d’un champ de vecteurs, de norme constante sur les cercles centrés en O et tangent à ces cercles.

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