Cercles IRappels

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Cercles

I Rappels

DÉFINITIONI.1

Un cercle est l’ensemble des points du plan situés à une distance constante d’un point donné.

Notations et vocabulaire

1. Le point donné est le centre du cercle.

2. La distance constante est le rayon du cercle.

3. Traditionnellement, le « rayon d’un cercle » peut désigner : – la distance entre le centre et un point du cercle ;

– un segment dont les extrémités sont le centre et un point du cercle ; – une demi-droite dont l’origine est le centre du cercle ;

2

C A

M

N

C

Sur le graphique ci-contre, C est le centre du cercle,C. Ce cercle est de rayon 2.

[CA] est un rayon et [MN] un diamètre.

[CM] et [CN] sont aussi des rayons du cercle.

Un cercle est une ligne qui partage le plan en deux régions, l’intérieur et l’extérieur du cercle.

Traditionnellement, le « diamètre d’un cercle » peut désigner : – une droite passant par le centre du cercle ;

– un segment passant par le centre et dont les extrémités sont deux points du cercle ;

– la longueur d’un segment passant par le centre et dont les extrémités sont deux un points du cercle ;

C A

B

Une corde d’un cercle est un segment dont les extrémités sont deux points du cercle.

Ici [AB] est une corde deC.

Une corde passant par le centre d’un cercle est un dia- mètre.

Si on désigne par

C

_O,_r le cercle de centre O et de rayonr, on a :

C

_O,_r=©

M∈

P

^¯_¯_OM=rª .

Autrement dit , le cercle

C

_O,_r est l’ensemble des points M du plan tels que la distance entre M et O (centre du cercle) soit égale àr(rayon du cercle).

1

(2)

2

Remarque Pour tout point M du plan :

– si OM<r alors M est l’intérieur du cercle ; – si OM=r alors M est un élément du cercle ; – si OM>r alors M est l’extérieur du cercle ;

L’union cercle et de l’intérieur du cercle est appelée disque.

Le disque de centre O et de rayonr est noté,

D

_O,_r_{. On a :}

D

_O,_r =©

M∈

P

^¯_¯_OMÉrª .

Ainsi,

D

_O,r est l’ensemble des points M du plan tels que la distance entre M et O (centre du cercle) soit inférieure ou égale àr(rayon du cercle).

II Positions relatives d’une droite et d’un cercle

Dans le plan, on considère une droite D et un cercle,

C

, de centre O et de rayonr.

C

D O

H

La droite D est sécante au cercle lorsqu’elle possède deux points d’intersection avec ce dernier.

Dans ce cas la distance entre le centre du cercle et la droite est inférieure à la mesure du rayon.

La droite D est tangente au cercle lorsqu’elle possède un et un seul point d’intersection avec le cercle. Ce point est appelé point de tangence.

Dans ce cas la distance entre le centre du cercle et la droite est égale à la mesure du rayon.

C

D O

H

C

D

O H

La droite D est extérieure ou disjointe au cercle lorsqu’elle ne possède aucun point d’intersection avec le cercle.

Dans ce cas la distance entre le centre du cercle et la droite est supérieure à la mesure du rayon.

III Propriétés

THÉORÈME III.1

(1) La tangente en un point d’un cercle est perpendiculaire au diamètre passant par ce point.

(2) La perpendiculaire à un diamètre d’un cercle en une de ses extrémités est tangente au cercle en ce point.

ÉCOLEEUROPÉENNE BRUXELLES I –_- ₃^e

(3)

III. Propriétés 3

C

D O

A

B C

D

O

A B

THÉORÈMEIII.2

(1) Le diamètre perpendiculaire à une corde d’un cercle coupe celle-ci en son milieu.

(2) Le diamètre passant par le milieu d’une corde d’un cercle est perpendiculaire à celle-ci.

THÉORÈMEIII.3

(1) Dans un triangle rectangle, le milieu de l’hypoténuse est équidistant des trois sommets.

(2) Trois points d’un cercle, dont deux sont diamétralement opposés, sont les sommets d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse est le diamètre.

DémonstrationSoit ABC un triangle. On introduit le milieu, I, du segment [AC] et le symétrique, D, de B par rapport à I. Les diagonales du quadrilatère ABCD se coupent donc en leur milieu, I, on en déduit que ABCD est un parallélo- gramme.

démonstartion de (1) Si le triangle ABC est rectangle en B, alors le parallélogramme ABCD est un rectangle (car il a un angle droit) et ses diagonales ont même longueur. On en déduit que : IA=IC=1

2AC=1

2BD=IB.

démonstartion de (2) Si B est un point du cercle de diamètre [AC], alors [BD] est un autre diamètre et le parallélo- gramme ABCD a ses diagonales de même longueur, on en déduit que ABCD est un rectangle et que le triangle ABC est rectangle en B.

ä

A

B

C

D

I A

B

C

D

I A

B

C

D I