ExamendeMathématiquesn 3 IUPGCIpremièreannéejuin2003:Partie1 Prénom: NOM:

NOM :

Prénom :

Examen de Mathématiques n

3 IUP GCI première année juin 2003 : Partie 1

Calculatrice et document interdits

Résoudre les équations différentielles suivantes : 1. y⁰−3y= 1

2. 2xy⁰+y = 0

3. y⁰+ 2y = e^−2x x

4. y⁰⁰−y⁰−6y= 0

5. 3y⁰⁰−7y⁰+ 5y=e^2x

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Examen de Mathématiques 3 IUP GCI première année juin 2003 : Partie 2

Une calculatrice, et une feuille manuscrite A4 au choix de l’étudiant, autorisées.

Exercice 1 :

Résoudre les équations différentielles suivantes : 1. y⁽⁴⁾+ 2y⁽³⁾−y⁽²⁾−4y⁰ −2y =e^2x

2. 4y⁽⁴⁾+ 5y⁽³⁾+ 5y⁽²⁾+ 5y⁰ + 1 = 0, on pourra commencer par développer(x²+ 1)(4x²+ 5x+ 1).

3. y⁰−xy² =x

4. 2e^xy+ 4x³+ 2(y+e^x)y⁰ = 0, on pourra penser aux différentielles totales.

5. 2∂f

∂x −3∂f

∂y =x²

Exercice 2 :

Diagonaliser la matriceA:





5 5 −6

−1 −1 6

−1 −1 6





Résoudre le système différentiel :







x⁰ = 5x + 5y − 6z y⁰ = −x − y + 6z

z⁰ = −x − y + 6z − 1

Exercice 3 :

Le but de l’exercice est de résoudre l’équation aux dérivée partielle(E):

(E) ∂f

∂x + 2e^−y∂f

∂y = 2y

1. Déterminer une fonction de la seule variableysolution de(E), c’est à dire une solution de(E)de la formef(x, y) = h(y).

2. Déterminer l’ensembleE, des fonctions de deux variablesU(x, y)vérifiant ∂U

∂x = 2e^−U. 3. Montrer que la fonctionv définie parv(x, y) = ln(2x+y)appartient àE.

4. Soitf une solution de(E), on poseg(x, y) =f(x, v(x, y)), montrer que _∂x^∂g(x, y) = 2v(x, y).

5. Déduire de la question précédente la forme de la fonctiong, puis résoudre(E).

6. Déterminer la solutionf de(E)qui vérifie :∀y ∈R^+∗, f(0, y) =y.

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