Examen de Mathématiques 1 IUP GCI première année Décembre 2003
Une calculatrice, et une page recto A4 manuscrite au choix de l'étudiant, autorisées.
Exercice 1 :
DansR3 on s'intéresse au plan P d'équation x−2y+z = 1. On considère de plus les vecteurs
−
→u = ( 1
√3; 1
√3; 1
√3) et −→v = ( 1
√2; 0;− 1
√2) et les points A = (3; 1; 0), B = (1;−1;−2), et C = (1; 0; 0).
1. Quelle est la dimension de−→
P ? Déterminer un vecteur −→w orthogonal à P. 2. Montrer que les points A,B etC appartiennent à P.
3. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB). 4. Montrer que(−→u;−→v ) est une base orthonormale de −→
P.
5. Déterminer les coordonnées de A etB dans le repère (C;−→u;−→v). 6. Calculer de deux façons diérentes l'aire du triangle CAB.
7. Déterminer l'équation de la droite (AB) dans le repère (C;−→u;−→v ).
Exercice 2 :
Soit m∈R, résoudre le système (S); on pourra discuter suivant les valeurs de m :
x+y+z =m+ 1 mx+y+ (m−1)z =m x+my+z = 1
Exercice 3 :
Soit A=
−3 2 2
−2 2 1
−4 2 3
. Diagonaliser la matrice A. Donner une interprétation géométrique de l'application ayant pour matrice A dans une base B?
Exercice 4 :
Déterminer une matrice M telle que le vecteur 2
3
soit un vecteur propre associé à la valeur propre 2, et que le sous espace propre associé à la valeur propre 3 soit la droite d'équation 2x−y = 0. Représenter les sous espaces propres sont-ils orthogonaux ? Inverser la matrice en utilisant les valeurs propres.
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