Contrôle n ◦ 1 IUP GCI1 2002/2003
Exercice 1 : Soient A = (1,1,1), B = (1,2,1), C = (−1,3,−1)trois points de l’espace, déter- miner une équation du planΠ passant parA et orthogonal au vecteur−→
BC, ainsi qu’une base de la direction−→
Π du planΠ.
Exercice 2 : Soient R = (A;−→ i ;−→
j )un repère orthonormal deR2 etD la droite d’équation dans R:3x−y= 2.
1. Déterminer un pointB deD, ainsi qu’un vecteur directeur−→u deD.
2. Déterminer un vecteur non nul−→v orthogonal à−→u.
3. Soit f la projection orthogonale sur la droite D, déterminer la matriceM def dans la base (−→u ,−→v ).
4. Soit P de coordonnées (x, y) dans le repère R et de coordonnées (x0, y0) dans le repère (A;−→u;−→v ), déterminer une relation entrex, yetx0, y0.
5. Soit P de coordonnées (x, y) dans le repèreR déterminer (X, Y) les coordonnées de f(P) dans le repèreRen fonction dexety.
Exercice 3 : En utilisant le déterminant suivant, déterminer en fonction du paramètreαl’uniquex qui vérifie le systèmeS:
α2 −1 −α
2 2 α
2 2 1 +α
= 2(α2+ 1); S :
α2x−y−αz = 1 2x+ 2y+αz = 1 2x+ 2y+ (1 +α)z = 1 Exercice 4 : Soient les matrices
A=
1 −1 6 6
B =
3 0 0 0 1 −1 0 6 6
DiagonaliserAen déduire une diagonalisation deB Exercice 5 : On poseA=
2 −1 1 −2
,B =tAAetC=A−1.
1. CalculerB etC, quelles sont les matrices symétriques parmiA, B etC? 2. DiagonaliserB, en utilisant une matrice de passageP orthogonale.
3. Représenter dans un repère orthonormal les deux sous espaces propres deB.
4. SoitX = X1
X2
, une matrice à deux ligne et une colonne, on notekXk=√
tXX, la norme
deXetY = Y1
Y2
=P X. (a) Montrer quekP Xk=kXk.
(b) CalculerkAXk2 en fonction deY1 etY2. (c) Montrer quekAXk ≤3kXk
(d) (facultatif) Comment peut-on étendre ce résultat pour une matrice carrée quelconque ?
barème indicatif : 2+5+2+5+6
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