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2 ème contrôle IUP GC1 2000/2001
Une calculatrice et une feuille A4 au choix de l’étudiant sont autorisés.
Exercice 1 Soientf une fonction deRdansRetΦun champs scalaire deR2 dansRtels que :
∂Φ
∂x(x;y) =f(xy) et ∂Φ
∂y(x;y) =x2(xy−1)f0(xy)
a) On poseh(t) = Φ(f(t);t), calculerh0(t)en fonction de la fonctionf. b) Calculerh(0).
Exercice 2 SoientΨ(x;y;z) = x3−xyz+yz−y2+ 3,Γ =ker(Ψ) ={(x,y,z)∈R3|Ψ(x;y;z) = 0}etP = (1; 2; 3).
a) Montrer queP appartient àΓ.
b) Déterminer une équation du plan tangent àΓau pointP. c) Déterminer un vecteur normal àΓau pointP.
Exercice 3 On pose :
In= Z 2π
0
xncos(x)dx
trouver une relation de récurrence entreIn+2 etIn. En déduire la valeur deI6. Exercice 4 Déterminer des primitives pour les fonctions suivantes :
f(x) = 1
(2x−1)(x−3) g(x) = 1 x(p
2x+ 1) (u=√
2x+ 1)
Exercice 5 Soit F(x) = R1
0 Arctan(xt)dt. Calculer F0 la dérivée de F, on exprimera F0 à l’aide d’une expression sans signe intégrale.
Exercice 6 Soitf la fonction périodique de période 2 définie par :
∀x∈[0; 1[, f(x) =x
∀x∈[1; 2[, f(x) = 2−x
a) Représenter rapidementf. La fonctionf est-elle paire? impaire?
b) Calculer les coefficients de Fourier def.
c) Calculer les sommesP 1
(2k+1)4, puisP 1 k4. d) Déterminer une suite de(bk)telle que :
∀x∈[0; 2] f(x) =
∞
X
k=1
bksin(π 2kx) Pour cette question, on ne sera pas obligé de faire tous les calculs.
