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1 er contrôle IUP GC1 2000/2001
Exercice 1 Soient B etB0 deux bases deR3, Π le plan d’équation 2x+ 3y−2z = 3 dansB. On suppose que la matrice de passage deBàB0 estP définie par
P =
2 4 1
−2 −1 4
3 6 1
de plusP−1 = 1 3
25 −2 −17
−14 1 10
9 0 −6
a) Déterminer les coordonnées dansBd’un vecteur−→u, non nul, orthogonal àΠ.
b) Déterminer les coordonnées de−→u dansB0. c) Déterminer l’équation deΠdansB0.
Exercice 2 SoitA = (2; 3), B = (−1; 1) etC = (0;−3)trois points du plan et f(x,y) = (2x− y,x+y)une application linéaire.
a) Calculer l’aire du triangleABC.
b) Calculer la longueurAB, en déduire la distance deCà la droite(AB).
b) Déterminer l’aire du trianglef(A)f(B)f(C)
Exercice 3 Diagonaliser la matriceA=
2 0 2 0 3 0 2 0 −1
Exercice 4 Soient
D=
4 0 0 0 9 0 0 0 1
et A=
4 0 0 0 9 0 0 0 1
a) CalculerD2.
b) Déterminer une matrice diagonaleLtelle queL2 =D.
c) SoitAune matrice3×3ayant comme valeur propre 1,4,et 9, on cherche une matriceBtelle que B2 =A. Montrer que si X est un vecteur propre deB alorsX est un vecteur propre deA, quelles est la relation qui lie sa valeur propre pourAet sa valeur propre pourB. Comment construire unB qui convient.
Exercice 5 Soitf une application linéaire symétrique deR3, muni de son produit scalaire canonique
<·;·>.B = (−→u;−→v ;−→w)une base orthonormale deR3 telle quef(−→u) =−→u. a) Démontrer que les coordonnées d’un vecteur−→
k dans la baseBsont :
<−→
k ;−→u >,<−→
k;−→v >,<−→ k ;−→w >.
b) Montrer que la matrice def dans la base(−→u;−→v ;−→w)est de la forme:
1 0 0 0 a b 0 c d
c) Montrer queb =c.
