Contrôle IUP GCI2 Probabilités et statistiques 2002
Calculatrices autorisées, documents interdits sauf une feuille A4 au choix de l’étudiant, et une table de valeurs.
Exercice 1: On suppose que l’erreur commise par une balance de laboratoire se modélise bien à l’aide d’une variable aléatoire de loi normale de paramètres 0 et 0,1 g (N(0; 0,1)).
1. On pèse un corps dont la masse exacte est 37,54 g, quelle est la probabilité que la mesure donnée par la balance soit comprise entre 37,5 et 37,6 grammes. Puis entre 37 et 38 grammes.
2. On pèse 20 billes de masse réelle 12,05 grammes, quelle est la probabilité que la moyenne des 20 pesées soit inférieure à 12 grammes.
3. Lors d’une expérience, on veut éliminer les pièces dont la masse réelle dépasse 32,55 grammes. Quitte à supprimer trop de pièces, comment peut-on éliminer 95% des pièces dépassant 32,55 grammes, à l’aide de la balance de laboratoire. Lors de la rédaction on fera bien attention de distinguer masse réelle et masse mesurée.
Exercice 2: On suppose que la variable aléatoireX suit une loi uniforme sur l’intervalle[−A;A], et que les variables aléatoiresX1,X2, . . . ,Xnsont indépendantes et de même loi uniforme sur[−A,A].
Enfin on poseY =max(|X1|, . . . ,|Xn|).
1. Rappeler la densité deXet la représenter.
2. Calculer l’espérance et la variance deX.
3. Montrer que la fonction de répartition deY est la fonction
FY(t) = 0 si t <0 FY(t) = Atnn si t ∈[0,A]
FY(t) = 1 si t > A
4. Calculer la densité deY puis son espérance.
5. Déterminer un réelαtel que la variable aléatoireZ =αY soit d’espéranceA.
6. Déterminer la variance deZ.
7. A l’aide de l’inégalité de Bienaymé Tchebychev (pour toute variable aléatoireU admettant une variance∀t >0P(|U −E(U)| ≥t)≤ varUt2 ), déterminer unnpour lequel la probabilité queZsoit comprise entre 109 AetAsoit supérieur à 95%.
Exercice 3: On veut comparer la résistance en compression de deux bétons après un passage de 20 heures dans un four à 200◦C, ceci afin de modéliser un accident nucléaire dans une centrale, le premier béton, un BHP (70 MPa) donne sur 7 éprouvettes les résultats suivants : 43,8; 44,2; 45,3;
45,4; 45,4; 45,8; 45,9 MPa le second béton un BHP à granulats légers (60 MPa) donne les résultats suivants : 45,8; 45,9; 46; 46,8; et 46,9 MPa.
1. Déterminer la moyenne et l’écart type de la résistance en compression de chacun des échantillons de béton après passage au four (m1,σ1etm2,σ2).
2. On fait l’hypothèse que les mesures en compression d’un béton suivent une loi normale, à l’aide d’un test statistique essayer de répondre à la question suivante : après passage au four les deux bétons ont-ils la même résistance en compression ?
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