exo36 37

- Éléments de correction pour les exercices 36 et 37 - Exercice 36

A =1 3





2 2 1

−2 1 2

1 −2 2





L'examen des vecteurs colonnes de A (tous unitaires et orthogonaux deux-à-deux) nous assure qu'elle est orthogonale. Son déterminant est 1, il s'agit donc d'une rotation d'axe E1. Il est plus ou moins immédiat que la droite E1 est engendrée par le vecteur



 1 0 1



. Orientons cette droite par le vecteur unitaire u = ^√1₂



 1 0 1



. L'angle de la rotation est donné par la trace de A : trace A = 2 cos θ + 1. On a donc, θ = ±arccos(1/3).

Pour déterminer son signe, on calcule le produit mixte [u, x, Ax], où x est un vecteur non colinéaire à u quelconque. On peut prendre le vecteur



 0 1 0



 et le déterminant      

1/√

2 0 2

0 1 1

1/√

2 0 −2      

est de signe négatif.

Finalement A représente la rotation d'axe orienté par u et d'angle −arccos(1/3).

Décomposons A en produit de deux réexions. On sait que A peut se décomposer en produit de deux réexions par rapport à des plans contenant l'axe de rotation. De plus l'un de ces plans peut être choisi de façon arbitraire. Considérons donc un plan contenant la droite orientée par u. Par exemple, le plan P engendré par les vecteurs



 1 0 0



et



 0 0 1



. La matrice de la réexion σP de plan P dans la base canonique canest

[σ_P]_can=





1 0 0

0 −1 0

0 0 1



 La matrice

A[σP]can = 1 3





2 −2 1

−2 −1 2

1 2 2





est celle d'une réexion, on a donc la décomposition de A en produit de deux réexions

A = 1 3





2 −2 1

−2 −1 2

1 2 2









1 0 0

0 −1 0

0 0 1



 Avec la même méthode, on montre que la matrice

B = 1 3





2 −1 2

2 2 −1

−1 2 2





est celle d'une rotation d'axe orienté par le vecteur u = ^√1₃



 1 1 1



et d'angle orienté π/3. On peut décomposer B en produit de deux réexions :

B = 1 3





−1 2 2

2 2 −1

2 −1 2









0 1 0 1 0 0 0 0 1



 Enn, la matrice

C = 1 3





2 2 −1

−1 2 2

2 −1 2



 1

est celle de la rotation d'axe orienté par le vecteur u = ^√1₃



 1 1 1



et d'angle orienté −π/3. Une décomposition en produit de deux réexions :

C = 1 3





2 2 −1

2 −1 2

−1 2 2









0 1 0 1 0 0 0 0 1







Exercice 37

A = 1 3





1 −2 −2

−2 1 −2

−2 −2 1





Les colonnes de A sont des vecteurs untaires orthogonaux deux-à-deux, la matrice A est ainsi orthogonale.

Elle est de déterminant −1 donc A ∈ O⁻(3). Il s'agit donc d'une rotation autour de l'axe E−1 suivie de la réexion de plan E−1^⊥ . L'angle θ de la rotation est donné par trace A = 2 cos(θ) − 1. La trace est ici égale à 1, donc il s'agit d'une réexion de plan E−1^⊥ . Soit il est évident par examen des lignes de la matrice, soit par un calcul élémentaires, on déduit que l'espace propre E−1 est engendré par le vecteur



 1 1 1



. On en déduit

que l'espace orthogonal est engendré par les vecteurs



 1

−1 0



 et



 0

−1 1



, c'est-à-dire le plan d'équation x + y + z = 0.

B =





0 1 0 0 0 −1 1 0 0



.

Par le même examen que ci-dessus, la matrice B est clairement orthogonale de déterminant −1. C'est une rotation suivie d'une réexion. Le simple calcul de sa trace nous permet d'obtenir les valeurs propres de B et l'angle de la rotation. On a trace B = 0 donc l'angle de la rotation est ±π/3. Les valeurs propres de B (dans C) sont donc −1, 1/2 + i√

3/2 et 1/2 − i√

3/2. L'axe de la rotation est le sous-espace E−1. Il est immédiat qu'il est engendré par le vecteur



 1

−1

−1



. Pour déterminer le signe de l'angle on procède comme dans l'exercice précédent avec le produit mixte [u, x, Bx], où u est un vecteur unitaire xant l'orientation de la droite E−1. Si E−1 est orientée par le vecteur u = ^√1₃



 1

−1

−1



, l'angle est π/3. Reste à déterminer

l'espace orthogonal de E−1. Il est engendré par les vecteurs



 1 0 1



 et



 1 1 0



, c'est donc le plan d'équation x − y − z = 0. Ainsi B représente la rotation d'angle π/3 autour de la droite dirigée par u, suivie de la réexion de plan d'équation x − y − z = 0.

C =





0 1 0 0 0 1 1 0 0





2

Il s'agit ici d'une rotation d'axe la droite dirigée par u = ^√1₃



 1 1 1



et d'angle −2π/3.

D =





5 −1 2

−1 5 2

2 2 2





La matrice D n'est pas orthogonale, étudions son spectre. Son polynôme caractéristique est PD = −X(X − 6)². Donc 0 est valeur propre simple et 6 est valeur propre double. Son polynôme minimal est X(X − 6), la matrice D est donc diagonalisable. Il s'agit d'une projection orthogonale sur le plan E6, suivie d'un homothétie de rapport 6. Par un calcul élémentaire, on détermine deux vecteurs qui engendrent le plan E6 :



 2 0 1



et





−1 1 0



.

3