Exercices résolus de mathématiques.
TRI 37
EXTRI370-EXTRI379
http://www.matheux.c.la
Jacques Collot
Benoit Baudelet – Steve Tumson Jan Frans Broeckx – Nicole Berckmans
Fabienne Zoetard
Octobre 2013
EXTRI370 – POLYTECH, Umons, Mons, septembre 2013.
Soit deux cercles concentriques de centre et de diamètres respectifs et ' avec ' . Un observateur placé en voit deux points et placés sur le cercle de plus grand
diamètre sous un angle d'ou
O D D D D
O A B
verture inférieur à rad. On désigne aussi par ' et ' deux points appartenant au cercle de plus petit diamètre, situés aux intersections avec les segments de droites et .
Pour aller de à , de
A B
OA OB A B
ux trajets sont possibles :
Trajet 1: de à le long de la circonférence du cercle extérieur;
Trajet 2: de à , en se déplaçant d'abord en ligne droite vers ', en empruntant le morceau de circonféren
A B
A B A
ce entre ' et ' le long du cercle inférieur, et enfin en se déplaçant en ligne droite de ' vers .
Pour chaque trajet, on choisit la plus courte distance.
En supposant 600 m, ' 500 m et 3 rad, ca
A B
B B
D D lculer la longueur du trajet le plus court.
Trouver ensuite une condition que l'angle pour que les deux trajets soient de même longueur.
1) Trajet 1 : Arc 3 300 900 m
Trajet 2 : ' ' ' ' 50 3 250 50 850 m
Le trajet 2 est donc plus court.
2) Il faut ' ' ' '
' ' '
' 2 '
2 rad 114.5916 Autrement dit est
AB R AA A B B B
AB AA A B B B R R R R R R
R R R R
indépendant des rayons et '.
Notons que l'on a alors 2 300 600 2 R R AB R
Le 15 octobre 2013
EXTRI371 – FACS, ULB, Bruxelles, Juillet 2013.
Résoudre l'équation
2sin 3 sin 9x x1
Solution proposée par Dominique Druez
Méthode 1
Méthode 2
Solution proposée par Jan Frans Broeckx
7 février 2014. Modifié le 1 sept 2015 (Jan Frans Broeckx). Modifié le 14 janvier 2016 (Dominique Druez)
EXTRI372 – FACS, ULB, Bruxelles, Juillet 2013.
Sachant que :
sin sin cos cos
Calculer : tan , cos ,sin , cos
2
x y a
x y b
x y
x y x y x y
Solution proposée par Dominique Druez
7 février 2014
EXTRI373 – FACS, ULB, Bruxelles, Juillet 2013.
Un pylône vertical, dont le pied est inaccessible, se dresse sur un sol horizontal.
Trois points , , de ce sol horizontal sont distants respectivement de 40m, 50m et 60m du pied du pylône. Les angle
A B C
s sous lesquels on voit de ces trois points le sommet du pylône valent respectivement , , avec 90 , quelle est la hauteur du pylône ?
Solution proposée par Dominique Druez
7 février 2014
EXTRI374 – FACS, ULB, Bruxelles, Septembre 2013.
2 2
Résoudre dans
3 cos x2sin .cosx x 3 sin x 3 cosxsin x Solution proposée par Dominique Druez
7 février 2014
EXTRI375 – FACS, ULB, Bruxelles, Septembre 2013..
2
Quels sont les couples ( ; ) dans tels que sin sin sin . Représenter graphiquement l'ensemble de ces points ( ; ) dans le plan .
x y x y x y
x y
Solution proposée par Dominique Druez
7 février 2014
EXTRI376 – FACS, ULB, Bruxelles, Septembre 2013.
Un pylône vertical, dont le pied est inaccessible, se dresse sur un sol horizontal.
Deux points et , situés sur le sol, sont alignés avec le pied du pylône. Si la distance de à vaut et si les
A B A
B d angles sous lesquels on voit de ces deux points le sommet du pylône valent respectivement et , calculer la hauteur du pylône en fonction de , et . h d
Solution proposée par Dominique Druez
21 octobre 2013
EXTRI377 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2013.
Vérifier l'identité suivante :
sin 2 sin 5 sin
tan 2 cos 2 cos5 cos
a a a
a a a a
sin 2 sin 5 sin sin 2 2 cos 3 sin 2 sin 2 1 2 cos 3
tan 2 cos 2 cos 5 cos cos 2 2 cos 3 cos 2 cos 2 1 2 cos 3
Rappels
sin sin 2 cos sin
2 2
cos cos 2 cos cos
2 2
a a a a a a a a
a a a a a a a a a
p q p q
p q
p q p q
p q
16 mai 2015
EXTRI378 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2013.
2
Résoudre l'équation suivante :
tan 4 tan 1 0
sans calculatrice x x
2
1 3
2
: 2
C'est une simple équation du second degré:
4 2 3
tan 2 3
2 2 tan Or tan 2
1 tan Donc pour tan 2 3
Notons que 2+ 3 0 ou
2 2 3 2 3 3 2 3 6 4 3 3 3 6 3
tan 2 .
3 3
3 2 3 3 2 3
1 2 3
2 150 180
CE x k
x x x
x x
x Q Q
x
x k x
2 3
1 3
2
75 90
Mais si est impair alors ou , ce qui est à rejeter 75 180 5
12 De même pour tan 2 3
Notons que 2- 3 0 ou
2 2 3 2 3 3 2 3 6 4 3 3 3 6 3
tan 2 .
3 3
3 2 3 3 2 3
1 2 3
2 30 180
k
k x Q Q
x k k
x
x Q Q
x
x k x
2 3
15 90
Mais si est impair alors ou , ce qui est à rejeter 15 180
12 k
k x Q Q
x k k
EXTRI379 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2013.
On connait les distances ci-dessous entre les villes ainsi que leur situation géopgraphique.
On suppose une Terre plane.
Calculer la longueur à vol d'oiseau du parcours du tour de France partant de Paris et passant successivement par les villes de Lilles, Strasbourg, Lyon, Montpellier, Bordeaux, Nantes et Paris. Utiliser 4 chiffres après la virgule dans les calculs.
2 2 2 1
1
2 2 2
1 3456
2 1 3456
2 2
2 2 2
1 456
200 343 505
cos 135.2136
2 200 343 343 400 713
cos 147.2264
2 343 400
360 77.5600
200 400 2 200 400 cos 77.5600 406.8577 343 394 518
cos 2 343 394 P
P
P P P
LS P
3 3456 456
2 2
2 2 2
1 345
45 345 45
6 456 45
89.0331 147.2264 89.0331 58.1933
400 394 2 400 394 cos 58.1933 386.1453 518 400 780
cos 115.7564
2 518 400
115.7564 58.1933 57.5631 8
y
P P P
SL P
P P P
P P P
2 2
2 2 2
1 234
4 234 2 3
5 45 4
9.0331 57.5631 31.4700
343 500 2 343 500 cos 31.4700 274.0429 200 596 780
cos 153.4095
2 200 596
153.4095 77.5600 58.1933 17.6562 57.5631 17.6562 39.906
NB P
P P P P
P P P
2 2
2 2
9
596 394 2 596 394 cos17.6562 384.7491 500 596 2 500 596 cos 39.9069 384.7491
2207.6482 km LyM
MB TOTAL
2 juin 2014
