D272. Tangentes entières
On s’intéresse aux polygones convexes de n côtés dont les tangentes des angles au sommet sont toutes des nombres entiers relatifs finis. Quelles sont les valeurs possibles de n ? Quels sont les polygones pour lesquels les tangentes des angles au sommet sont des entiers distincts entre eux ? Justifier vos réponses.
• Q1
On dresse un tableau des angles dont la
Tg ∞ … -5 -4
(°) 90 … 101.310 104.036 108.435
D’où
La somme des angles d'un polygone convexe de
45 2
• Q2
Et avec l’aide laborieuse de la calculatrice, on trouve 3, 4 ou 5, mais pas pour 6, 7 ou
On s’intéresse aux polygones convexes de n côtés dont les tangentes des angles au sommet sont toutes des Quelles sont les valeurs possibles de n ? Quels sont les polygones pour lesquels les tangentes des angles au sommet sont des entiers distincts entre eux ? Justifier vos réponses.
dont la tangente appartient à ∗
-3 -2 -1 1 2 3
108.435 116.565 135 45 63.435 71.565
’où l’encadrement de : 45° 135°
La somme des angles d'un polygone convexe de côtés vaut :
2180°
∀ 45 135 2180 135 ⇒ 8
3 8 ⇒ 3
aide laborieuse de la calculatrice, on trouve des polygones dont les tangentes sont différentes, ou 8.
Voici un triangle, dont les trois
différentes. C’est d’ailleurs (aux symétries près) le seul dont les tangentes sont dans
sommets Angle
! 45.000
!" 63.435
!# 71.565
Un exemple de quadrilatère avec
différentes (même en valeur a sommets Angle
! 135.000
!" 63.435
!# 78.690
!$ 82.875
On s’intéresse aux polygones convexes de n côtés dont les tangentes des angles au sommet sont toutes des Quelles sont les valeurs possibles de n ? Quels sont les polygones pour lesquels les tangentes des angles au sommet sont des entiers distincts entre eux ? Justifier vos réponses.
4 5 … %∞
75.964 78.690 … 90
8
des polygones dont les tangentes sont différentes, pour
un triangle, dont les trois tangentes des angles sont ailleurs (aux symétries près) le seul dont les tangentes sont dans ∗
ngle ° tg 45.000 1 63.435 2 71.565 3
avec des tangentes entières et différentes (même en valeur absolue)
ngle ° tg 135.000 -1 63.435 2 78.690 5 82.875 8
Un pentagone avec tangentes entières et différentes.
sommets Angle
! 98.130
!" 101.310
!# 116.565
!$ 135.000
!& 88.995
Pas d’hexagone avec des angles tous différents.
A contrario, voici le plus régulier sommets Angle
! 135.000
!" 135.000
!# 135.000
!$ 135.000
!& 135.000
!' 45.000
Tous les heptagones ont un angle de 108.435°
autre de 116.565° (tg=2), et cinq de 135°
n’importe quel ordre.
sommets Angle
! 108.435
!" 116.565
!# 135.000
!$ 135.000
!& 135.000
!' 135.000
!( 135.000
Quant aux octogones, les huit angles valent 135° (tg=
sommets Angle
! 135.000
!" 135.000
!# 135.000
!$ 135.000
!& 135.000
!' 135.000
!( 135.000
!) 135.000
pentagone avec tangentes entières et différentes.
ngle ° tg 98.130 -7 101.310 -5 116.565 -2 135.000 -1 88.995 57
avec des angles tous différents.
contrario, voici le plus régulier ngle ° tg 135.000 -1 135.000 -1 135.000 -1 135.000 -1 135.000 -1 45.000 1
heptagones ont un angle de 108.435° (tg=-3), un , et cinq de 135° (tg=-1), et ce dans importe quel ordre.
ngle ° tg 108.435 -3 116.565 -2 135.000 -1 135.000 -1 135.000 -1 135.000 -1 135.000 -1
aux octogones, les huit angles valent 135° (tg=-1) ngle ° tg
135.000 -1 135.000 -1 135.000 -1 135.000 -1 135.000 -1 135.000 -1 135.000 -1 135.000 -1
