Contrôle n ◦ 2 IUP GCI1 2001/2002

Contrôle n ^◦ 2 IUP GCI1 2001/2002

Exercice 1 : Diagonaliser la matrice

A=

0 1 4 0

Exercice 2 : Soient Ψ(x,y,z) = x³ −xy² + 3z² −xz, S = ker Ψ = {(x,y,z)|Ψ(x,y,z) = 0}, P = (1,−1,0),φ_a(t) = (1 + ln(1 +t),−1 +t,asint), etΣ_a =imφ_a={φ_a(t)|t∈R}.

1. Montrer queP ∈S.

2. Déterminer un vecteur orthogonal àS enP, ainsi que l’équation du plan tangent àS enP. 3. Montrer que pour touta∈R,P ∈Σ_a.

4. Déterminer pour quelles valeurs dea,Σ_aest orthogonale àS.

5. Déterminer pour quelles valeurs dea,Σ_aest ’tangent’ àS.

Exercice 3 : SoitU =





x²+y²−z² 2axy

−2xz



.

1. Calculer∇ ∧U.

2. Pour quelle(s) valeur(s) dea, existe-t-il un champ scalaireφtel que∇φ=U.

3. Pour quelle(s) valeur(s) dea, existe-t-il un champ de vecteursAtel que∇ ∧A =U. Exercice 4 : En effectuant le changement de variable suivant : u = √

1 +x déterminer les primi- tives de la fonction :

f(x) = 1 x√

1 +x Exercice 5 : On pose pourn≥1etp≥0,netpentier

I_n,p = Z π

0

x^pcosnx dx 1. CalculerI_n,0 etI_2n,1.

2. Montrer que

I_n,p+2 = p+ 2

n² (−1)ⁿπ^p+1− (p+ 1)(p+ 2) n² I_n,p 3. Déduire des deux questions précédentes que :

I_2n,2 = π

2n²etI_2n,3 = 3

4n²π²puisI_2n,4 = π³ n² − 3π

2n⁴ .

Dans la suite on notef la fonction définie surR, parf estπ-périodique, et égale àx²(π−x)² sur l’intervalle[0,π].

4. Déduire du 3. les coefficients de Fourier def.

5. CalculerP∞ k=1

1 k⁴.

barème indicatif : 2+5+3+2+8

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