Feuille d'exercices 4 : normes

L3B Topologie 2019-2020

Feuille d'exercices 4 : normes

Exercice 1. Soit Rn[X], l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n∈N. On choisit x₀, x₁, x₂, . . . , x_n, (n+ 1) réels distincts. Montrer que

kPk= sup

i=0..n

|P(x_i)|

dénit une norme surRⁿ[X].

Pour n = 1, x₀ = 0 et x₁ = 1, déterminer et dessiner l'ensemble des (a, b) ∈R² tels que les polynômesaX+b forment la boule uniteB(0,1)deR1[X]relativement à la norme ci-dessus.

Exercice 2. L'expressionkfk=R1

0 |f(x)|dx dénit-elle une norme 1. sur l'ensemble des fonctions réelles continues sur R?

2. sur l'ensemble des fonctions réelles continues sur [0,1]?

3. sur l'ensemble des polynomes réels d'une variable réelle dénis sur R?

Exercice 3. Soitx∈R^d, montrer que kxk_p =

d

X

i=1

|x_i|^p1/p

−−−−−−−→

p−→+∞ kxk∞ = sup

i=1...d

|x_i| .

Exercice 4. SoitE =M_n(R)l'ensemble des matricesAde taillen×nà coecients réels. On munit E de la norme kAk = max_i,j|a_i,j|. Justier qu'il s'agit bien d'une norme et qu'il existe des constantes C et C⁰ telles que, pour tous A, B dans E et pour toutx∈Rⁿ, on a

kAxk∞ 6 CkAk · kxk∞ et kABk 6 C⁰kAk · kBk .

Exercice 5. Soit E =`^∞(N)l'ensemble des suites bornées réelles U = (u_n)_n∈N. On munit E de la norme kUk∞ = sup_n∈N|u_n|. On dénit la suite (U^k)k∈N ⊂ E avec u^k_n= 1 si k =n et u^k_n = 0 sik 6=n. Montrer que la suite (U^k) est une suite bornée deE dont on ne peut pas extraire de sous-suite convergente.

Exercice 6. Soit Lip(R)l'ensemble des fonctions lipschitziennes de RdansR. Pour tout f ∈ Lip(R), on pose

kfk = |f(0)| + sup

x6=y

|f(x)−f(y)|

|x−y| . Montrer quek · k est bien une norme sur Lip(R).

Exercice 7. On se place surR^dmuni des normesk · k_p classiques. On note B_p(0, r) la boule fermée de centre0 et de rayon r >0pour la norme k · k_p.

1. Pour d= 2, trouver les rayonsr− etr₊ optimaux tels que B₁(0, r₋) ⊂ B_∞(0,1) ⊂ B₁(0, r₊) . En déduire des constantes C₋^1,∞ et C₊^1,∞ optimales telles que

∀x∈R² , C₋^1,∞kxk₁ 6 kxk_∞ 6 C₊^1,∞kxk₁ .

2. Pour toutd>1, trouver par des estimations les constantesC₋^∞,2(d)etC₊^∞,2(d) optimales telles que

∀x∈R^d , C₋^∞,2(d)kxk∞ 6 kxk₂ 6 C₊^∞,2(d)kxk∞ .

Exercice 8. On considère E =R2[X] ={aX²+bX +c , (a, b, c)∈R³} l'ensemble des polynômes réels de degré au plus 2. On considère les normes

kPk1 = Z 1

0

|P(x)|dx et kPk= max

|a|,|b|,|c| .

1. Montrer qu'il existe C tel que kPk₁ 6CkPk et donner la meilleure constante C possible.

2. Montrons par l'absurde l'existence d'une constante C⁰ > 0 telle que kPk 6 C⁰kPk₁. Montrer que si une telle constante n'existe pas, il existerait une suite (P_n)n∈N de polynômes non nuls telle que kP_nk>nkP_nk₁.

3. On pose Q_n =P_n/kP_nk, montrer que l'on a kQ_nk= 1 et kQ_nk₁ →0.

4. Montrer que l'on peut extraire une sous-suite (Q_ϕ(n)) telle que les suites des coecients (a_ϕ(n)), (b_ϕ(n)) et (c_ϕ(n)) convergent. Montrer que leur limite est forcément 0 et obtenir une contradiction.

Exercice 9. On considèreE =C⁰([0,1],R) que l'on munit des normes classiques kfk₁ =

Z 1

0

|f(x)|dx ou kfk∞ = max

x∈[0,1]|f(x)|.

1. Montrer qu'il existe une constante C telle que pour tout f dans E, on a kfk1 6Ckfk∞ (on cherchera la meilleure constanteC possible).

2. Montrer qu'il n'existe pas de constante C⁰ telle que kfk∞6C⁰kfk₁.

Exercice 10. On considère un espace vectoriel normé(E,k · k) et l'on suppose que sa norme est issue d'un produit scalaire h·|·i, c'est-à-dire que l'on a kxk=p

hx|xi. 1. Montrer que l'on a l'identité

∀x, y ∈E , kx+yk²+kx−yk² = 2kxk²+ 2kyk² .

En sachant qu'elle s'appelle identité du parallélogramme, lui trouver une inter- prétation géométrique.

2. Montrer que la norme k · k1 sur Rⁿ n'est pas issue d'un produit scalaire.

3. Montrer que la norme k · k∞ sur C⁰([0,1],R) n'est pas issue d'un produit scalaire.