A477 : Deux indices pour six inconnues.
Énoncé : A partir de quatre chiffres distincts a, b, c, d choisis parmi l’ensemble des chiffres de 1 à 9, on écrit six entiers de la forme ac , ba , cd , da , db et dc . Leur somme est égale à l’entier cab et le produit de deux d’entre eux est égal à l’entier abcd .
Déterminer ces six entiers.
On a cab=31d12a12c11b et, en notant mn et pq les nombres multipliés, abcd=100⋅mp10⋅mqpnnq .
Tout d'abord, comme cab≡b[10] , alors d2a2cb≡b[10] , en particulier, d2a2c est pair,
Donc d est pair.
Ensuite, mp72 , car soit m≠p , soit m=p=d≠9 , de plus mqpn162 et nq81 ,
donc abcd8901 , Donc a≠9 .
A présent, on cherche à majorer cab ,
on prend dans l'ordre les valeurs maximales pour d, c, a et b parmi les valeurs restantes : pour d=8 , c=9 , a=7 , b=6 : 31d12a12c11b=506 , donc cab506 , or aucun chiffre n'est nul et a≠9 , donc cab489
Donc c4 .
Pour d=8 , c=4 , a=7 , b=9 : 31d12a12c11b=479 , donc cab479 , or ces valeurs ne sont pas possibles car alors abcd=7948=22⋅1987 et 1987 est premier, donc cab476 .
Pour d=8 , c=4 , a=7 , b=6 : 31d12a12c11b=452 , donc cab469 , Pour d=8 , c=4 , a=6 , b=9 : 31d12a12c11b=467 , donc cab467 , Pour d=8 , c=4 , a=6 , b=7 : 31d12a12c11b=445 , donc cab459 , Pour d=8 , c=4 , a=5 , b=9 : 31d12a12c11b=455 , donc cab453 , Pour d=8 , c=4 , a=5 , b=3 : 31d12a12c11b=389 , donc cab439 , Pour d=8 , c=4 , a=3 , b=9 : 31d12a12c11b=431 , donc cab431 , Pour d=8 , c=4 , a=3 , b=1 : 31d12a12c11b=343 , donc cab429 , Pour d=8 , c=4 , a=2 , b=9 : 31d12a12c11b=419 , donc cab419 , Pour d=8 , c=4 , a=1 , b=9 : 31d12a12c11b=407 , donc cab389 ,
Donc c3 .
Remarque : Quand b est différent de 9, on ne peut pas descendre trop bas.
Ensuite, on utilise le même principe pour minorer cab ,
on prend dans l'ordre les valeurs minimales pour d, c, a et b parmi les valeurs restantes : Pour d=2 , c=1 , a=3 , b=4 : 31d12a12c11b=154 , donc cab154 , Pour d=2 , c=1 , a=5 , b=3 : 31d12a12c11b=167 , donc cab167 , Pour d=2 , c=1 , a=6 , b=3 : 31d12a12c11b=179 , donc cab179 , Pour d=2 , c=1 , a=7 , b=3 : 31d12a12c11b=191 , donc cab213 , Donc c2 .
Si d=2 , alors cab293 et c≠d , ce qui n'est pas possible, Donc d≠2 .
Si d=8 , alors cab317 , donc c=3 . On a alors plus que les couples c , d suivant :
2,4 , 2,6 , 3,4 , 3,6 et 3,8 .
On se rappelle alors que d2a2cb≡b[10] , soit 2a≡−2c−d[10] , ce qui restreint les valeurs de a , c , d :
2 4 1,6 1,6
2 6 5 5
3 4 5 5
3 6 4,9 4
3 8 3,8 /////
c d Chiffres congrus à
-2c-d modulo 10 a
Enfin, on teste les 30 cas restant :
Dans la dernière colonne, les cases rouges sont éliminées par rapport à c et les fuchsias par rapport à a.
Il ne reste alors plus que deux cas possibles,
comme 1524=22⋅3⋅127 et 127 est un nombre premier d'au moins trois chiffres, alors ce cas n'est pas possible pour abcd .
Comme enfin 4736=64⋅74 , alors on a au final a , b , c , d=4,7,3,6 .
d c a b cab
4 2 6 1 231
4 2 6 3 253
4 2 6 5 275
4 2 6 7 297
4 2 6 8 308
4 2 6 9 319
4 2 1 3 193
4 2 1 5 215
4 2 1 6 226
4 2 1 7 237
4 2 1 8 248
4 2 1 9 259
4 3 5 1 231
4 3 5 2 242
4 3 5 6 286
4 3 5 7 297
4 3 5 8 308
4 3 5 9 319
6 2 5 1 281
6 2 5 3 303
6 2 5 4 314
6 2 5 7 347
6 2 5 8 358
6 2 5 9 369
6 3 4 1 281
6 3 4 2 292
6 3 4 5 325
6 3 4 7 347
6 3 4 8 358
6 3 4 9 369
