Un triangle dont deux bissectrices int´erieures sont de mˆeme longueur est isoc`ele D´emonstration g´eom´etrique ´el´ementaire, par Serge Ricommard 1. Dans un triangle quelconque ABC, j’appelle BB

Un triangle dont deux bissectrices int´erieures sont de mˆeme longueur est isoc`ele

D´emonstration g´eom´etrique ´el´ementaire, par Serge Ricommard

1. Dans un triangle quelconque ABC, j’appelle BB⁰ et CC deux bissec- trices int´erieures, (γ1) et (γ2) les cercles circonscrits respectivement aux trianglesABB⁰ etACC⁰,M le milieu de l’arc BAB⁰ du cercle (γ1), et N le milieu de l’arcCAC⁰ du cercle (γ2).

Les trianglesM BB⁰ etN CC⁰ sont isoc`eles, leurs angles aux sommets en M etN sont ´egaux `a l’angle ˆA du triangle ABC, leurs angles aux bases, enB etB⁰ d’une part etC etC⁰ d’autre part, sont ´egaux `a π−Aˆ

2 . Dans le cercle (γ1), l’angle inscritM ABd est ´egal `aM Bd<sup>0</sup>B, donc `a π−Aˆ

2 ; dans le cercle (γ2), l’angle inscrit N ACd est ´egal `a N Cd<sup>0</sup>C, donc aussi `a π−Aˆ

2 ; l’angleM ANd est ´egal `a π−Aˆ

2 + ˆA+π−Aˆ

2 soitπ; les points M, AetN sont donc align´es sur une droite qui est la bissectrice ext´erieure de l’angle ˆA.

Dans le quadrilat`ereBM N C :

– l’angleBM Ad = ˆA+B^d0M A, ce dernier ´egal `a B^d0BAsoit Bˆ

2, – l’angleBCNd =

Cˆ

2 +π−Aˆ 2 ,

– la somme de ces deux angles oppos´es est : Aˆ+

Bˆ 2

! +

Cˆ

2 +π−Aˆ 2

!

=π.

Le quadrilat`ereBM N C est donc inscriptible.

2. Si les bissectrices int´erieures BB⁰ et CC⁰ sont de mˆeme longueur, les triangles M BB⁰ et N CC⁰ sont ´egaux comme ayant un cˆot´e ´egal compris entre deux angles ´egaux, et il en r´esulteM B =N C.

Le quadrilat`ere inscriptible BM N C ayant deux cˆot´es oppos´es ´egaux est alors un trap`eze isoc`ele : la droiteM AN, bissectrice ext´erieure de l’angle A, est parall`ˆ ele `a la baseBC, le triangle ABC est donc isoc`ele.

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