TS 8 Interrogation 13A : Correction 30 mars 2018 Exercice 1 :
D’o`u vient le nom produit scalaire ?
Solution: on effectue le produit entre 2 vecteurs (d’o`u produit) et on obtient un scalaire (chez nous un r´eel).
Exercice 2 :
SoientA(−1; 1; 2),B(1; 0;−1) etC(−8; 2;−3) 1. Calculer−−→
AB·−→
AC;
2. Que peut-on dire du triangleABC? 3. ABC est-il isoc`ele enA?
Solution:
1. −−→
AB(2;−1;−3) et−→
AC(−7; 1;−5).
−−→ AB·−→
AC =−14−1 + 15 = 0
2. On peut en d´eduire queABC est rectangle enA.
3. ||−−→
AB||2= 4 + 1 + 9 = 13 et||−→
AC||= 49 + 1 + 25 = 75. DoncABC n’est pas isoc`ele en A.
Exercice 3 :
Donner un vecteur normal au planP d’´equation cart´esienne 2x−5y+ 2z+ 7 = 0 Solution: ~n(2;−5; 2)
Exercice 4 :
D´eterminer une ´equation cart´esienne du planP passant par A(−1; 1; 5) et de vecteur normal~n(8;−4; 2).
Solution: SoientM(x;y;z) un point de l’espace.
M ∈P ⇔−−→
AM·−→
~n= 0⇔8(x+ 1)−4(y−1) + 2(z−5) = 0⇔8x+ 8−4y+ 4 + 2z−10 = 0.
Une ´equation cart´esienne deP est 8x−4y+ 2z+ 2 = 0.
Exercice 5 :
Soit SABC un t´etra`edre de tel que les triangles ABC et SBC soient isoc`eles respectivement enA etS :
D´emontrer que −→
AS·−−→ BC= 0.
(On pourra d´efinir Imilieu de [BC]).
Solution: SoitI le milieu de [BC].
BCS est isoc`ele enS donc (IS) est perpendiculaire `a (BC).
ABC est isoc`ele enAdonc (AI) est perpendiculaire `a (BC).
−→AS·−−→ BC=−→
AS·−→ AI+−→
AS·−→ IS= 0.
