Sur une vieille tablette en bois, on trouve la trace d’un cercle (C) de diamètre AB. A partir d’un point P sur AB,ont été successivement dessinés :
- le cercle (C’) de diamètre AP
- le triangle isocèle de base PB et dont le sommet S au dessus de PB est sur le cercle (C) - le cercle de centre O tangent à la fois au cercle (C), au cercle (C’) et au côté SP.
Il apparaît que OP est perpendiculaire au diamètre AB. Les calculs démontrant cette propriété ne sont plus lisibles. Faire la démonstration, si possible sans refaire les calculs.
Soit R le symétrique de S par rapport à AB, U et V les symétriques de P par rapport à R et S respectivement : B est le milieu de UV.
Par inversion de pole P, laissant globalement invariant le cercle (C), le cercle (C’) devient la droite UV, et les droites PR et PS sont globalement invariantes.
D’après le théorème de Feuerbach, (C), cercle circonscrit à BRS, cercle d’Euler du triangle PUV, est tangent aux cercles exinscrits, dont celui tangent à PR, PS et UV.
En transformant à nouveau par inversion, on en déduit que le cercle tangent à PS, (C) et (C’), est aussi tangent à PR, donc que O est situé sur une bissectrice de RPS, perpendiculaire l’autre bissectrice, AB.
