D155 - Sur une vieille tablette en bois
Sur une vieille tablette en bois, on trouve la trace d’un cercle (C) de diamètre AB. À partir d’un point P sur AB, ont été successivement dessinés :
- le cercle (C’) de diamètre AP
- le triangle isocèle de base PB et dont le sommet S au-dessus de PB est sur le cercle (C) - le cercle de centre O tangent à la fois au cercle (C), au cercle (C’) et au côté SP.
Il apparaît que OP est perpendiculaire au diamètre AB. Les calculs démontrant cette propriété ne sont plus lisibles. Faire la démonstration, si possible sans refaire les calculs.
Solution par Patrick Gordon
La présence de cercles et de droites tangents suggère le recours à l'inversion. On peut en envisager plusieurs.
La première inversion est celle de pôle A et de puissance AB².
Elle transforme :
- le cercle (C) en la perpendiculaire (D) à AB en B,
- le cercle (C') en la perpendiculaire (D') à AB au point P' tel que AP.AP' = AB², - la droite SP en le cercle passant par A, P' et S' inverse de S (situé sur (D)).
L'inverse (O') du cercle (O) cherché est tangent à (D) et (D') et un cercle. On connaît donc l'abscisse de son centre et son rayon.
La seconde inversion est celle de pôle P et de puissance – PM² avec M à l'intersection du cercle (C) et de la droite perpendiculaire à AB en P. Elle laisse invariants la droite SP et le cercle (C) et transforme le cercle (C') en la droite (D),
L'inverse (O') du cercle (O) cherché est tangent aux deux droites, (D) et SP et au cercle (C).
Complétons la figure par une symétrie par rapport à AB.
Traçons le point T sur le cercle (C) symétrique de S par rapport à AB La droite SP coupe (C) en un 2ème point U et la droite (D) en un point U'.
La droite TP coupe (C) en un 2ème point V et la droite (D) en un point V'.
On s'intéresse au triangle PU'V'.
Le cercle (C) est évidemment le cercle d'Euler de PU'V' puisqu'il passe par les milieux des côtés.
D'après le théorème de Feuerbach, il est tangent au cercle inscrit et aux trois cercles exinscrits.
Or le cercle inverse du cercle (O) est tangent aux côtés U'V' et PU' du triangle PU'V' et au cercle d'Euler. S'il n'était pas le cercle exinscrit au sommet U', il y aurait deux cercles tangents à ces deux droites et à ce cercle (du même côté). Notre cercle inverse est donc bien le cercle exinscrit au sommet U' et est par conséquent centré sur la bissectrice de l'angle UPV'. Son centre est donc sur la perpendiculaire en P à AB. Le point O y est donc aussi.
