ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 5 23 novembre 2018
Exercice I.
Calculer deux limites (suivant la note du DS 1) : 1. lim
n→+∞ 4en−n6−3n
(pour les DS 1 ≤7.5) 2. lim
n→+∞
ln(n) +n5
4n−(−3)n (pour les DS 1 ≤10) 3. lim
n→+∞
1
nn1 (pour les DS 1 ≥8) 4. lim
n→+∞
1
2ln(1 +en+e2n)−(n+ 1)
(pour les DS 1 ≥10.5) Exercice II. (facultatif)
Soientaetb deux réels tels que0< a < b. On dénit deux suitesu etv par u0 =a,v0=b et ∀n∈N, un+1= 2unvn
un+vn et vn+1 = un+vn
2 .
1. Montrer que ∀n∈N, 0< un< vn, puis donner la monotonie des suitesuetv 2. Montrer que ∀n∈N, 0≤vn+1−un+1 ≤ vn−un
2 puis que 0≤vn−un≤ v0−u0
2n . 3. En déduire lim
n→+∞(vn−un).
4. Déduire des questions précédentes que les deux suites sont convergentes.
5. Montrer que la suite(unvn)n∈N est constante.
6. En déduire la limite commune des suites uetv.
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