Nom :
Classe : TES
Devoir surveillé n°1
le 03/10/2016
Note :
… / 20 La notation du devoir prendra en compte les efforts de soin, de présentation et de rédaction.
Une fois que vous aurez fini ce devoir vous complèterez la grille d’autoévaluation suivante.
Avis de l’élève Avis du professeur
Je sais : Oui Non Oui Non
Exercice 1
Connaissance des formules liées aux suites géométriques / aux suites arithmétiques.
Justifier la nature d'une suite.
Justifier le sens de variations d'une suite.
Justifier la limite d'une suite.
Calculer une somme.
Exercice 2 Calculer une donnée, dans le contexte d'un problème concret.
Justifier la formule de récurrence d'une suite qui modélise un problème concret.
Comprendre / Appliquer étape par étape un algorithme.
Donner et interpréter le résultat affiché par un algorithme.
Démontrer qu'une suite est géométrique et calculer son premier terme.
Exprimer le terme général d'une suite en fonction de .
Déterminer les variations d'une suite et interpréter le résultat dans un contexte donné.
Déterminer la limite d'une suite et interpréter le résultat dans un contexte donné.
Compétences générales évaluées Bonne maîtrise des calculs.
Soin apporté à la rédaction des réponses / Maîtrise du langage.
Exercice 1 : En vrac … / 9
1. ( ) est une suite géométrique de raison q = 2 telle que = 6. Calcule puis . 2. Justifie la nature, le sens de variation et la limite des suites définies sur N par :
a) = b) = c) = 3. Calcule les sommes suivantes :
a) = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 1024 b) = 4 + + + + … + (arrondir à 0,01 près)
un u4 u0 u12
3¡8n
S1 S2 43 49 274 7294
an bn 4n
5 cn 3£0,5n¡2
n
Exercice 2 : … / 11 Une société propose un service d’abonnement pour des jeux en ligne.
Le 1er janvier 2016, cette société comptait 5 000 abonnés. À partir de cette date, ses dirigeants ont constaté, d’un mois à l’autre, un taux de désabonnements de 15 % parmi les anciens joueurs ainsi que 6 000 nouvelles inscriptions.
1. Calculer le nombre d’abonnés à la date du 1er février 2016.
Pour la suite de l’exercice, on modélise cette situation par une suite numérique ( ) où représente le nombre de milliers d’abonnés au bout de mois après le 1er janvier 2016.
2. Justifier que la suite ( ) est définie sur N par = 5 et = 3. On considère l’algorithme suivant :
Variables : N est un nombre entier naturel U est un nombre réel
Traitement : N prend la valeur 0 U prend la valeur 5 Tant que U < 30
N prend la valeur N + 1 U prend la valeur 0,85×U+6 Fin Tant que
Sortie : Afficher N
a) Recopier et compléter le tableau suivant en ajoutant autant de colonnes que nécessaire, jusqu'à ce que le résultat affiché par l'algorithme soit atteint. Les valeurs de U seront arrondies au dixième.
Valeur de N 0 Valeur de U 5 Test U < 30 Vrai
b) Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
4. On considère la suite ( ) définie pour tout entier naturel par = .
a) Montrer que la suite ( ) est géométrique de raison 0,85 et calculer son premier terme.
b) Donner l’expression de en fonction de . En déduire l'expression de en fonction de . 5. a) Déterminer le sens de variations de la suite ( ) et interpréter le résultat.
b) Déterminer la limite de et interpréter le résultat.
un
un un
n
un+1
u0
vn n vn
vn
vn n un n
un
0,85un+ 6
un¡40
un
Correction du DS n°1
Exercice 1 : En vrac
1. ( ) est une suite géométrique de raison q = 2 telle que = 6.
∀ n ∈ N, = × Donc : = ×
6 = × 16 = =
On en déduit : = × = 1536
2. Justifie la nature, le sens de variation et la limite des suites définies sur N par : a) = = avec = 3 et = -8
Donc la suite ( ) est arithmétique.
= -8 < 0 donc :
▪ ( ) est décroissante sur N
▪ et : = -∞
b) = = = avec = et = 4 Donc la suite ( ) est géométrique.
= > 0 et = 4 > 1 donc ( ) est croissante.
4 > 1 donc = +∞
On en déduit : = +∞ Finalement : = +∞ c) ∀ n ∈ N, =
= = 3 – 2 = 1
= = 1,5 – 2 = - 0,5 = = 0,75 – 2 = - 1,25
On a : – = -0,5 – 1 = -1,5 Mais : – = -1,25 – 0,5 = -1,75 Donc ( ) n'est pas arithmétique.
On a : = - = -0,5 Mais = = 2,5 Donc ( ) n'est pas géométrique.
∀ n ∈ N, – = –
– = –
– = –
– = = - < 0
On en déduit : < . Ce qui implique que la suite ( ) est décroissante sur N.
∀ n ∈ N, =
0,5 ∈ ]0;1[ donc : = 0
En multipliant par 3, on obtient : ( ) = 0 En retranchant 2, on obtient : ( ) = -2 Finalement : = -2
3. Calcule les sommes suivantes :
a) = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 1024 b) = 4 + + + + … +
= = 1 + + + + … + )
= = 2047 = + + + … + ]
= ≈ 6
un u4
S1 S2 4
3 4 9
4 27
4 729 un u0 qn
u0
u4 24 u0
u0 6 16
3 8 u12 3
8 212
an 3¡8n bn 4n
a0+nr a0 r 5 b0 £qn b0 1
5 q 1
5£4n an
r
an
n!lim+1an lim
n!+1
bn
b0 1
5 q bn
4n
n!lim+1
1 5£4n
n!lim+1bn
cn 3£0,5n¡2
cn
c0 3£0,50¡2 c1 3£0,51¡2 c2 3£0,52¡2
c1 c0 c2 c1
cn c1 c0
0,5 1
c2 c1
1,25 0,5
cn
cn+1 3£0,5n+1¡2 3£0,5n+ 2 cn+1 cn 3£0,5£0,5n 3£0,5n cn+1 cn 1,5£0,5n 3£0,5n
cn+1 cn (1,5¡3)£0,5n 1,5£0,5n
cn+1 cn cn
cn 3£0,5n¡2
n!lim+10,5n
n!lim+1 3£0,5n
n!lim+1 3£0,5n¡2
n!lim+1cn
S1 20+ 21 + 22+ 23+...+ 210 S1 1¡211
1¡2
S2 4£( 13 19 271 7291
S2 4£[
(
13)
0(
13)
1(
13)
2(
13)
6S2 4£1¡(
1 3)7 1¡13
Exercice 2 : Une société propose un service d’abonnement pour des jeux en ligne.
Le 1er janvier 2016, cette société comptait 5 000 abonnés. À partir de cette date, ses dirigeants ont constaté, d’un mois à l’autre, un taux de désabonnements de 15 % parmi les anciens joueurs ainsi que 6 000 nouvelles inscriptions.
1. = =
La société comptait abonnés à la date du 1er février 2016.
Pour la suite de l’exercice, on modélise cette situation par une suite numérique ( ) où représente le nombre de milliers d’abonnés au bout de mois après le 1er janvier 2016.
2. Soit un entier naturel. désigne le nombre de milliers d'abonnés, mois après le 1er janvier 2016.
Initialement, au 1er janvier 2016, la société comptait 5 mille abonnés. On pose donc = 5.
D'un mois à l'autre, on constate 15 % de résiliations d'abonnements et 6 mille nouvelles inscriptions.
Donc : ∀ n ∈ N, = = =
3. On considère l’algorithme suivant :
Variables : N est un nombre entier naturel U est un nombre réel
Traitement : N prend la valeur 0 U prend la valeur 5 Tant que U < 30
N prend la valeur N + 1 U prend la valeur 0,85×U+6 Fin Tant que
Sortie : Afficher N
a) Recopier et compléter le tableau suivant en ajoutant autant de colonnes que nécessaire, jusqu'à ce que le résultat affiché par l'algorithme soit atteint. Les valeurs de U seront arrondies au dixième.
Valeur de N 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Valeur de U 5 10,3 14,7 18,5 21,7 24,5 26,8 28,8 30,5 Test U < 30 Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Faux
Remarque : L'algorithme s'arrête lorsqu'il a calculé le 1er terme de la suite ( ) supérieur ou égal à 30.
On peut obtenir les valeurs de ce tableau à l'aide du tableur de la calculatrice.
b) L'algorithme affiche N = 8 car est le premier terme de la suite ( ) supérieur ou égal à 30.
Cela signifie que 8 mois après le 1er janvier 2016, la société comptera plus de 30 000 abonnés.
4. On considère la suite ( ) définie pour tout entier naturel par = .
a) ∀ n ∈ N, = = =
Or : = ⇔ =
On en déduit : = = =
Finalement : ∀ n ∈ N, =
On en déduit que la suite ( ) est géométrique de raison = 0,85.
Calcul de son 1 er terme : = = = -
b) Puisque ( ) est géométrique de raison = 0,85 et de 1er terme = - alors : ∀ n ∈ N, = = -
Or : =
Donc : = =
un un
n
vn n vn un¡40
5000¡0,15£5000 + 6000 5000¡750 + 6000 10250 10250
un n
u0
n
un+1 un¡10015 un+ 6 (1¡0,15)un+ 6 0,85un+ 6
un
u8 un
vn+1 un+1¡40 0,85un+ 6¡40 0,85un¡34 vn un¡40 un vn+ 40
vn+1 0,85(vn+ 40)¡34 0,85vn+ 34¡34 0,85vn
vn+1 0,85vn
q vn
v0 u0¡40 5¡40 35
vn q v0 35
vn v0£qn 35£0,85n vn un¡40
un vn+ 40 40¡35£0,85n
5. a) Déterminer le sens de variations de la suite ( ) et interpréter le résultat.
∀ n ∈ N, = donc : =
– = –
– = +
– = +
– =
– = > 0
On en déduit : ∀ n ∈ N, > . Ainsi, la suite ( ) est croissante sur N.
Cela signifie que le nombre d'abonnés du site ne cesse d'augmenter depuis le 1er janvier 2016.
b) Déterminer la limite de et interpréter le résultat.
∀ n ∈ N, =
∈ ]0,1[ donc : = 0
En multipliant par -35, on obtient : (- ) = 0 En additionnant 40, on obtient : ( ) = 40 Finalement : = 40.
Cela signifie que le nombre d'abonnés du site augmentera jusqu'à se rapprocher de 40 000, dans un très grand nombre de mois, sans jamais dépasser cette valeur.
un
un
un 40¡35£0,85n un+1 40¡35£0,85n+1 un+1 un 40¡35£0,85n+1 40 + 35£0,85n
un+1 un -35£0,85£0,85n 35£0,85n un+1 un -29,75£0,85n 35£0,85n un+1 un (-29,75 + 35)£0,85n
un+1 un 5,25£0,85n
un+1 un un
un 40¡35£0,85n
0,85 lim
n!+1
n!lim+1
n!lim+1 n!lim+1
0,85n
35£0,85n 40¡35£0,85n un
