U30 – Suite et trigonométrie (exercice)
www.famillefutee.com
1
SUITE ET TRIGONOMETRIE
Soit la suite () définie par son 1er terme = 0 et pour tout entier naturel n, = √2
2 1 + 1)
)Démontrer par récurrence que pour tout > 0, √2
2 ≤ ≤ 1
") Démontrer que pour tout > 0, la suite est croissante
&) En déduire quepour tout > 0 , la suite converge
2) Démontrer que sur l’intervalle + 0 ; - . /1 + cos 0
2 = cos 10 22
3) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
= cos 1 -
2 2
4) Déterminer la limite de la suite ()
Correction
1) a)
Initialisation : Démontrons par récurrence que la proposition 3: √55 ≤ ≤ 1 est vraie au rang 1, pour tout > 0,
= = √2
2 1 + = √2
2 √1 + 0 =√2 2 D6où √2
2 ≤ ≤ 1
Hérédité : Démontrons par récurrence que la proposition 3 : √55 ≤ ≤ 1 est vraie au rang + 1, pour tout > 0,
On part de notre hypothèse de récurrence ∶ √2
2 ≤ ≤ 1
⇔ √2
2 + 1 ≤ + 1 ≤ 2 ⇔ /√2
2 + 1 ≤ + 1 ≤ √2
⇔ √2 2 ×/√2
2 + 1 ≤√2
2 + 1 ≤ √2
2 × √2 ⇔√2 2 ×/√2
2 + 1 ≤√2
2 + 1 ≤ √2 2 × √2 Or √2
2 ×/√2
2 + 1 ≈ 0,9 >√2 2 D6où √2
2 ≤ ≤ 1
U30 – Suite et trigonométrie (exercice)
www.famillefutee.com
2
")
− = √2
2 1 + −
=B√22 1 + − C × B√22 1 + + C
√22 1 + +
=D√22 1 + E5− ²
√22 1 + +
=D√22 E ² × G1 + H² − ²
√22 1 + +
=
12 × (1 + ) − ²
√22 1 + +
= 12 +1
2 − ²
√22 1 + +
On résout alors −0² +50 +5= 0
∆= J1 2K
5− 4 × (−1) × J1 2K =9
∆< 0 donc − 05+50 +5= 0 admet deux solutions dans ℝ4 : 0 = 1 et 05= −5
0 √5
5 1 12 +1
2 − ² +
On sait que √2
2 ≤ ≤ 1 (question 1)a)) Sur l’intervalle P√55 ; 1Q ,5+5− ² ≥ 0 De plus, > 0 donc √2
2 1 + + > 0 − ≥ 0 donc ST UVWXY (Z[)YUX \]^WUUT_XY.
&)
La suite () est bornée (√55 ≤ ≤ 1) et croissante donc elle converge.
2)
On utilise les formules de linéarisation cos² = 1 + cos 2
2
Application cos² 0 = 1 + cos 20
2
⇔ cos 0 = /1 + cos 20
2 ⇔ \^U 1a
b2 = /c + \^U ab
U30 – Suite et trigonométrie (exercice)
www.famillefutee.com
3
3)
Initialisation : Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 3: = cos 15efgd 2 est vraie au rang 0, pour tout ≥ 0,
= 0 cos 1 -
2 2 = cos 1- 22 = 0 D6où = cos 1 -
2 2
Hérédité : Démontrons par récurrence que la proposition 3 : = cos 15efhd 2 est vraie au rang + 1, pour tout ≥ 0,
On utilise les formules de duplication cos 2 = cos ² − sin5
⇔ cos = cos² 1
22 − sin51 22
⇔ cos = 2 cos² 1 22 − 1
⇔ 1 + cos = 2 cos² 1 22 Application
1 + = 2 cos²()
⇔ 1 + = i2 cos²() ⇔ √2
2 1 + = √2
2 i2 cos²()
⇔ = √2
2 × √2 × icos² ( ) Or = cos 1 -
2 2
⇔ = √2
2 × √2 icos² ( -
25) ⇔ = icos² ( - 25)
⇔ = cos ( - 25)
4)
→klim + 1 = +∞
→klim 2 = +∞ m par quotient lim→k1 - 2 2 = 0
→klim 1 - 2 2 = 0
limn→cos o = 1 p par composée SWq[→k(Z[) = c
