1 Contrôle Mathématiques – 1 S TRIGONOMETRIE U50 – Trigonométrie (devoir)

(1)

Contrôle Mathématiques – 1

^ère

S 1 TRIGONOMETRIE

Exercice 1 (1 point) Les 2 réels7𝜋

5 et −13𝜋

5 sont − ils des mesures d^′un même angle orienté ? Justifier votre réponse.

Exercice 2 (2 points)

𝑥 désignant un réel quelconque, exprimer en fonction de 𝑠𝑖𝑛 𝑥 et 𝑐𝑜𝑠 𝑥 les expressions suivantes : 1) 𝐴(𝑥) = sin (𝑥 +5𝜋

2) − 3 cos (−𝜋

2− 𝑥) − 4 sin(9𝜋 − 𝑥) 2) 𝐵(𝑥) = cos(𝑥 − 𝜋) + sin (𝑥 +𝜋

2) + cos(𝑥 + 𝜋) + sin (𝑥 +3𝜋 2) Exercice 3 (1 point)

On donne (𝑢⃗ , 𝑣 ) = 𝜋

3. Calculer (−𝑢⃗ , −𝑣 ) et (−𝑣 , 𝑢⃗ ) Exercice 4 (3 points)

Sachant que cos (𝜋

5) =√5 + 1

4 , calculer sin (𝜋

5) , cos (4𝜋

5) 𝑒𝑡 sin (9𝜋 5) Exercice 5 (5,5 points)

(2)

2

Simplifier, en détaillant les calculs, les expressions suivantes : 1) 𝐴(𝑥) = cos (𝜋

10) + cos (4𝜋

10) + cos (6𝜋

10) + cos (9𝜋 10) 2) 𝐵(𝑥) = sin (2𝜋

5) + sin (4𝜋

5) + sin (6𝜋

5) + sin (8𝜋 5)

Exercice 7 (3points)

Construire un triangle ABC tel que (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) =^𝜋₆ et (𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) = −^𝜋₅ Déterminer une mesure principale de chacun des angles orientés : 𝑎) (𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) 𝑏) (𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ) 𝑐) (𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )

Exercice 8 (4,5 points)

𝑎) Résoudre dans ℝ sin(2𝑥) = − √3 2 b) Résoudre dans ℝ sin (2𝑥 −𝜋

3) − sin (3𝑥 +𝜋 2) = 0

c) Résoudre dans ℝ puis dans ] − π; π] l′équation cos (𝑥 +^𝜋₄) = sin(3𝑥)

Exercice 10 (exercice bonus – 3 points)

1) Montrer que 1 est une racine du polynôme 𝑃(𝑥) = 2𝑥³− 17𝑥² + 7𝑥 + 8 En déduire une factorisation de 𝑃(𝑥)

2) Résoudre dans ℝ l’équation : 2 sin³𝑥 − 17 sin²𝑥 + 7 sin 𝑥 + 8

(3)

CORRECTION 3

Exercice 2

Exercice 4

Exercice 5

(4)

Exercice 6

4

Exercice 7

Exercice 8

(5)

5

Exercice 9

𝑎) sin 𝑥 = −^√3₂ et 𝑥 ∈ ] − 𝜋; 𝜋] 𝑠ur l’intervalle ] − 𝜋 ; 𝜋]

sin 𝑥 = −√3 2 ⇔ {

sin 𝑥 = sin (−𝜋 3) sin 𝑥 = sin (−2𝜋

3) Donc 𝑥 = −𝜋

3 𝑜𝑢 𝑥 = −2𝜋 3 𝑏) 2𝑥 −𝜋

3= 3𝑥 +𝜋

2+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 2𝑥 −𝜋

3= 𝜋 − (3𝑥 +𝜋

2) + 2𝑘𝜋

⇔ 𝑥 = −𝜋 3−𝜋

2+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 5𝑥 =𝜋

3+ 𝜋 −𝜋

2+ 2𝑘𝜋

⇔ 𝑥 = −5𝜋

3 + 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 =𝜋 6+2

5𝑘𝜋

(6)

c)

6

Exercice 10