DS n°1 : Suites

Nom :

Classe : T S DS n°1

le 25/09/2015 Note :

… / 30

Avis de l’élève Avis du professeur

Compétences évaluées Oui Non Oui Non

Calculer les premiers termes d'une suite.

Construire les premiers termes d'une suite dans un repère.

Démontrer des propriétés par récurrence.

Déterminer des limites, étape par étape.

Lever des formes indéterminées.

Démontrer qu'une suite est arithmétique / géométrique.

Exprimer le terme général d'une suite en fonction de n.

Calculer la somme de n termes consécutifs d'une suite géométrique.

Déterminer un seuil à l'aide du tableur de la calculatrice / à l'aide d'un algorithme.

Exercice 1 : (un) est la suite définie sur N par u0 = 12 et u_n+1=1

3u_n+2. … / 8

1) a) Calcule les quatre premiers termes de cette suite.

b) On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la fonction définie sur R⁺ par f (x)=1 3x+2.

Construis les quatre premiers termes de la suite (un) sur l'axe des abscisses.

2) Démontre le sens de variation de la suite (un) par récurrence.

3) a) Démontre par récurrence que, quel que soit l'entier naturel n, on a : un > 3

b) Détermine à l'aide de ta calculatrice le plus petit entier naturel k tel que : si n ≥ k alors un < 3,001.

Exercice 2 : Etudie la convergence des suites suivantes. … / 9

a) u_n=4n²+3n−7

n+2 b) v_n=(4−2n³)(5− 1

n²) c) w_n= 5

n²+

√

d) a_n=n²−3n+1 e) b_n=n²+4n−1

n³−3 f) c_n=(-n+3)(1 n− 1

n²)

Exercice 3 : On considère les suites (un) et (vn) définies sur N par : … / 6

{

2) Démontre que la suite (vn) est arithmétique.

3) Exprime vn puis un en fonction de n.

4) Déduis-en la limite de la suite (un).

Exercice 4 : Récurrence d'ordre 2. … / 4

On considère la suite (un) définie sur N par u0 = 2, u1 = 6 et ^un+2=6u_n+1−9u_n. 1) Calcule u2 et u3.

2) Démontre que la suite (un) est géométrique.

3) Déduis-en l'expression de un en fonction de n.

4) Calcule

∑

k=0 10

u_k.

Exercice 5 : … / 3

L'iode 131 est très utilisé à petites doses dans l'imagerie médicale, par exemple la scintigraphie.

On étudie l'évolution au cours du temps d'une population de noyaux d'iode 131 comportant u0 = 10⁷ noyaux à l'instant t = 0. On note un le nombre de noyaux au bout de n jours.

Statistiquement le nombre de noyaux d'iode 131 diminue chaque jour de 8,3 %.

Détermine, à l'aide d'un algorithme que tu préciseras, le nombre de jours nécessaire avant que le nombre de noyaux d'iode 131 présents dans l'organisme soit inférieur à 1.

Exercice Bonus : … / 3

Démontre par récurrence que quels que soient le réel q et l'entier naturel n on a : 1+q+q²+...+qⁿ=1−qⁿ⁺¹ 1−q c-à-d.

∑

i=0 n

qⁱ=1−qⁿ⁺¹ 1−q .

Correction du DS n°1 Exercice 1 : (un) est la suite définie sur N par u0 = 12 et u_n+1=1

3u_n+2.

1) a) Calcule les quatre premiers termes de cette suite.

u0 = 12 u₁=1

3u₀+2=12

3 +2=4+2=6 u₂=1

3u₁+2=6

3+2=2+2=4 u₃=1

3u₂+2=4

3+2=4 3+6

3=10 3

b) On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la fonction définie sur R⁺ par f (x)=1 3x+2.

Construis les quatre premiers termes de la suite (un) sur l'axe des abscisses.

2) Démontre le sens de variation de la suite (un) par récurrence.

On note : ∀ n ∈ N, p(n) : « un + 1 < un».

• Initialisation :

u0 = 12 et u1 = 6 donc u1 < u0. Ce qui signifie que p(0) est vraie.

• Hérédité :

Soit k ≥ 0. Supposons que p(k) est vraie, c'est-à-dire uk + 1 < uk. Montrons que p(k + 1) est vraie, c'est-à-dire uk + 2 < uk + 1.

u_k+2−u_k+1=1

3u_k+1+2−(1

3u_k+2)=1

3u_k+1+2−1

3u_k−2=1

3(u_k+1−u_k) Or, puisque p(k) est vraie, alors uk + 1 < uk. Ce qui implique : uk + 1 – uk < 0.

De plus : 1

3>0 Donc : u_k+2−u_k+1<0. On en déduit : u_k+2<uk+1. Ainsi, p(k + 1) est vraie.

La propriété p(n) est donc héréditaire.

• Conclusion :

p(0) est vraie et la propriété p(n) est héréditaire donc : ∀ n ∈ N, un + 1 < un. On en déduit que la suite (un) est décroissante sur N.

.

3) a) Démontre par récurrence que, quel que soit l'entier naturel n, on a : un > 3 On note : ∀ n ∈ N, p(n) : « un > 3 ».

• Initialisation :

u0 = 12 > 3. Ce qui signifie que p(0) est vraie.

• Hérédité :

Soit k ≥ 0. Supposons que p(k) est vraie, c'est-à-dire uk > 3.

On en déduit les inégalités suivantes :

u_k>3 1 3u_k>1 1

3u_k+2>1+2 u_k+1>3

Ainsi, p(k + 1) est vraie. La propriété p(n) est donc héréditaire.

• Conclusion :

p(0) est vraie et la propriété p(n) est héréditaire donc : ∀ n ∈ N, un > 3.

.

b) Détermine à l'aide de ta calculatrice le plus petit entier naturel k tel que : si n ≥ k alors un < 3,001.

On sait que (un) est décroissante sur N et d'après la calculatrice : u8 ≈ 3,0014 > 3,001 et u9 ≈ 3,00046 < 3,001.

Ainsi : si n ≥ 9 alors un < 3,001.

Exercice 2 : Etudie la convergence des suites suivantes.

a) u_n=4n²+3n−7 n+2

nlim→+∞4n²=+∞

lim

n→+∞3n=+∞

nlim→+∞-7 n=0

nlim→+∞2=2

Donc, par somme de limites :

nlim→+∞(4n²+3n−7

n+2)=+∞

b) v_n=(4−2n³)(5− 1 n²) -2 < 0 donc ^lim

n→+∞- 2n³=-∞ On en déduit : ^lim

n→+∞(4−2n³)=-∞ De plus : lim

n→+∞- 1 n²=0 On en déduit : lim

n→+∞(5− 1

n²)=5 Donc, par produit de limites :

nlim→+∞(4−2n³)(5−1 n²)=-∞

c) w_n= 5 n²+

√

lim

n→+∞n²=+∞ et : ^lim

n→+∞

√

On en déduit : lim

n→+∞(n²+

√

Donc, par quotient de limites : lim

n→+∞( 5

n²+

√

d) a_n=n²−3n+1 a_n=n²(1−3

n+ 1 n²) lim

n→+∞-3

n=0 et : lim

n→+∞

1 n²=0 Donc, par somme de limites :

nlim→+∞(1−3 n+ 1

n²)=1 De plus : ^lim

n→+∞n²=+∞ Donc, par produit de limites :

nlim→+∞n²(1−3 n+1

n²)=+∞

Donc : ^lim

n→+∞(n²−3n+1)=+∞

e) b_n=n²+4n−1 n³−3 b_n=

n²(1+4 n− 1

n²) n³(1− 3

n³)

= 1+4

n−1 n² n(1− 3

n³) Par somme : lim

n→+∞(1+4 n− 1

n²)=1 Par produit : ^lim

n→+∞n(1−3

n³)=+∞

Donc : lim

n→+∞

b_n=lim

n→+∞

1+4 n−1

n² n(1− 3

n³)

=0

f) ^cn=(-n+3)(1 n−1

n²) En développant on obtient :

c_n=-n n+n

n²+3 n− 3

n² c_n=- 1+1

n+3 n−3

n² c_n=- 1+4

n−3 n²

nlim→+∞

4

n=0 et : ^lim

n→+∞- 3 n²=0 Donc, par somme de limites :

lim

n→+∞c_n=lim

n→+∞(-1+4 n− 3

n²)=- 1

Exercice 3 : On considère les suites (un) et (vn) définies sur N par :

{

1) Calcule les trois premiers termes de chacune de ces suites.

u₀=1

2 u₁= u₀ 1+u₀=

1 2 1+1

2

= 1 2 3 2

=1 2×2

3=1

3 u₂= u₁ 1+u₁=

1 3 1+1

3

= 1 3 4 3

=1 3×3

4=1 4

v₀= 1

u₀+1=2

1+1=3 v₁= 1

u₁+1=3

1+1=4 v₂= 1

u₂+1=4 1+1=5 2) Démontre que la suite (vn) est arithmétique.

La suite semble arithmétique de raison r = 1.

∀ n ∈ N, on a :

• D'une part : v_n+1= 1

u_n+1+1=1+u_n

u_n +1=1+u_n u_n +u_n

u_n=1+2u_n u_n

• D'autre part : v_n+r=v_n+1= 1

u_n+1+1= 1

u_n+2= 1 u_n+2u_n

u_n =1+2u_n u_n

• Donc : v_n+1=vn+1

Ce qui prouve que la suite (vn) est arithmétique de raison r = 1 et de premier terme v0 = 3.

3) Exprime vn puis un en fonction de n.

Puisque (vn) est arithmétique de raison r = 1 et de premier terme v0 = 3 alors :

∀ n ∈ N, vn = v0 + nr = 3 + n.

Or : ∀ n ∈ N, ^vn= 1 u_n+1 On en déduit : 3+n= 1

u_n+1 1

u_n=3+n−1 1

u_n=2+n Finalement : ∀ n ∈ N, u_n= 1

2+n 4) Déduis-en la limite de la suite (un).

∀ n ∈ N, u_n= 1 2+n lim

n→+∞2+n=+∞ Donc, par quotient de limites : lim

n→+∞u_n=lim

n→+∞

1 2+n=0.

Exercice 4 : Récurrence d'ordre 2.

On considère la suite (un) définie sur N par u0 = 2, u1 = 6 et ^un+2=6u_n+1−9u_n. 1) Calcule u2 et u3.

u₂=6u₁−9u₀=6×6−9×2=36−18=18 u₃=6u₂−9u₁=6×18−9×6=108−54=54 2) Démontre que la suite (un) est géométrique.

u₁ u₀=6

2=3 u₂ u₁=18

6 =3 u₃ u₂=54

18=3

La suite semble géométrique de raison q = 3. Démontrons le par récurrence : On note : ∀ n ∈ N, p(n) : « un + 1 = 3 un ».

• Initialisation :

u0 = 2 et u1 = 6 = 3 × u0 Donc p(0) est vraie.

• Hérédité :

Soit k ≥ 0. Supposons que p(k) est vraie, c'est-à-dire uk + 1 = 3 uk Montrons que p(k + 1) est vraie, c'est-à-dire uk + 2 = 3 uk + 1. On a : u_k+2=6u_k+1−9u_k

De plus, on a supposé : uk + 1 = 3 uk Ce qui implique : ^uk=1 3u_k+1 Ainsi : u_k+2=6u_k+1−9u_k=6u_k+1−9×1

3u_k+1=6u_k+1−3u_k+1=3u_k+1 Donc p(k + 1) est vraie. La propriété p(n) est donc héréditaire.

• Conclusion :

p(0) est vraie et la propriété p(n) est héréditaire donc : ∀ n ∈ N, un + 1 = 3 un.

On en déduit que la suite (un) est géométrique de raison q = 3 et de premier terme u0 = 2.

3) Déduis-en l'expression de un en fonction de n.

Puisque (un) est géométrique de raison q = 3 et de premier terme u0 = 2 alors :

∀ n ∈ N, un = u0 × qⁿ = 2 × 3ⁿ. 4) Calcule

∑

k=0 10

u_k.

∑

u_k est la somme des 11 premiers termes de la suite géométrique (un) de raison q = 3.

Donc :

∑

k=0 10

u_k=u₀×1−q¹¹

1−q =2×1−3¹¹

1−3 =2×1−3¹¹

- 2 =-(1−3¹¹)=177146

Exercice 5 :

L'iode 131 est très utilisé à petites doses dans l'imagerie médicale, par exemple la scintigraphie.

On étudie l'évolution au cours du temps d'une population de noyaux d'iode 131 comportant u0 = 10⁷ noyaux à l'instant t = 0. On note un le nombre de noyaux au bout de n jours.

Statistiquement le nombre de noyaux d'iode 131 diminue chaque jour de 8,3 %.

Détermine, à l'aide d'un algorithme que tu préciseras, le nombre de jours nécessaire avant que le nombre de noyaux d'iode 131 présents dans l'organisme soit inférieur à 1.

Prérequis : On diminue une quantité de 8,3% en la multipliant par 1−8,3

100=0,917 . On peut utiliser l'algorithme de recherche de seuil suivant :

Saisir U et S N prend la valeur 0 Tant que U ≥ S

N prend la valeur N + 1 U prend la valeur U × 0,917 Fin Tant Que

Afficher N

En saisissant en entrée le 1^er terme de la suite U = 10⁷ et le seuil S = 1, on obtient en sortie N = 187.

Il faudra donc 187 jours pour que le nombre de noyaux d'iode 131 présents dans l'organisme soit inférieur à 1 et puisse donc être considéré comme nul.

Exercice Bonus :

Démontre par récurrence que quels que soient le réel q et l'entier naturel n on a : _1+q+q²_+...+qⁿ₌^1−qn+1 1−q c-à-d.

∑

i=0 n

qⁱ=1−qⁿ⁺¹ 1−q .

On note : ∀ n ∈ N, p(n) : ''

∑

i=0 n

qⁱ=1−qⁿ⁺¹ 1−q ''

• Initialisation : 1−q⁰⁺¹

1−q =1−q

1−q=1 et q⁰=1. Donc :

∑

i=0 0

qⁱ=q⁰=1−q⁰⁺¹

1−q . Ce qui signifie que p(0) est vraie.

• Hérédité :

Soit k ≥ 0. Supposons que p(k) est vraie, c'est-à-dire

∑

i=0 k

qⁱ=1−q^k+1 1−q . Montrons que p(k + 1) est vraie, c'est-à-dire

∑

i=0 k+1

qⁱ=1−q^k+2 1−q .

∑

qⁱ=(

∑

i=0 k

qⁱ)+q^k+1=1−q^k+1

1−q +q^k+1=1−q^k+1

1−q +(1−q)q^k+1

1−q =1−q^k+1+q^k+1−q^k+2

1−q =1−q^k+2 1−q Ainsi, p(k + 1) est vraie. La propriété p(n) est donc héréditaire.

• Conclusion :

p(0) est vraie et la propriété p(n) est héréditaire donc : ∀ n ∈ N,

∑

i=0 n

qⁱ=1−qⁿ⁺¹ 1−q .