Lycée Paul Rey Denis Augier
DS 1 : suites numériques.
Consignes :
• Durée 1h.
• Calculatrice autorisée.
• Justifiez vos réponses.
Exercice 1.
.Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes.
1. (a) Augmenter de 12 % revient à multiplier par 1,12.
Donc en 2018, il y aura : 300ˆ1,12´18“318 loups.
(b) Pour tout entier natureln, on note parunetun`1les nombres respectifs de loups les annéesnetn`1. D’après le texte, d’une année à l’autre le nombre de loups augmente de 12 %, puis on autorise à tuer 18 animaux.
Donc pour tout entier natureln,un`1“1,12ˆun´18.
2. (a) Ci-dessous l’algorithme complété : NÐ0 U Ð300
Tant queU ă600faire U Ð1,12ˆU´18 N ÐN`1
Fin Tant que (b) .
Année 2017 2018 .... 2026 2027
n1 0 1 ... 6 7
Populationun 300 318 .... 566 «616 En 2027, le nombre de loups aura dépassé les 600 animaux.
3. (a) Pour tout entier natureln:
vn`1“un`1´150“1,12ˆun´18´150“1,12ˆun´168“1,12ˆpvn`150q´168“1,18vn`168´168“1,12vn Donc la suitepvnqest géométrique de raisonq“1,12 et de premier termev0“u0´150“150.
(b) Donc pour tout entier natureln,vn “v0ˆqn“150ˆ1,12n. Orun“vn`150 donc :
un“150ˆ1,12n`150.
(c) On a 1,12ą1 donc lim
nÑ`81,12n“ `8. Donc lim
nÑ`8150ˆ1,12n “ `8. Donc lim
nÑ`8un“ lim
nÑ`8150`150ˆ 1,12n“ `8.
On peut donc en déduire que dans ces condition la population de loup va continuer à progresser.
4. A l’aide d’un tableau et de la calculatrice, nous pouvons déterminer le nombre de loups après 2023 en utilisant le même mode de croissance annuelle mais avec un prélèvement annuel de 35.
Année 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029 2030
n1 0 1 2 3 4 5 6 7
Populationwn1 446 464,52 «485,26 «508,49 «534,51 «563,65 «596,29 «632,84 Donc en 2030 le nombre de loups aura dépassé les 600 animaux.
Par le calcul (en s’inspirant du modèle précédent) :
Pour tout entiern, on définit parpwnqle nombre de loups pour l’année 2023`n1. D’après l’énoncé (et en utilisant les questions précédentes),@nPN,wn`1“1,12ˆwn´35 et w0“446.
Soitpanqla suite géométrique de raison 1,12, définie par@nPNan“wn´q. Cherchonsq.
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@nPN, an`1“wn`1´q“1,12ˆwn´35´q“1,12ˆ ˆ
wn´q`35 1,12
˙ .
De plus@nPN, an`1“1,12ˆan“1,12ˆ pwn´qqdonc par identification, q`35 1,12 “q soitq`35“1,12q ðñ q“ 35
0,12 «291,67.
Donc Nous pouvons déterminer les expression dean etwn en fonction den:
— a0“w0´291,67“154,33
— @nPN, an“a0ˆ1,12n“154,33ˆ1,12n
— @nPN, wn“an`q“154,33ˆ1,12n`291,67.
Il ne reste plus qu’à résoudre l’inéquation : 154,33ˆ1,12n`291,67ě600.
154,33ˆ1,12n`291,67ě600 ðñ 1,12n ě600´291,67
154,33 ðñ lnp1,12nq ělnp1,998q nˆlnp1,12q ělnp1,998q ðñ ně lnp1,998q
lnp1,12q ðñ ně7 car lnp1,998q
lnp1,12q «6,107
On retrouve le résultat vu dans le tableau : selon ce nouveau modèle de croissance, le nombre de loups aura dépassé les 600 animaux en 2030
Exercice 2.
(6 points)Les Questions sont indépendantes :1. Calculer la somme suivante, sachant que les termes de cette somme sont les termes d’une suite arithmétique.
S“ ´73´70´...`17“´73`17
2 ˆ
ˆ17´ p´73q
3 `1
˙ looooooooooomooooooooooon
nb de termes
“ ´868
2. On considère une suite arithmétique telle quev8“20 et v12“28. Alors la raison est :r“28´20 12´8 “4.
3. Déterminer`3
4
˘3
``3
4
˘4
`...``3
4
˘10
“`3
4
˘31´`3
4
˘p10´3`1q
1´34 »2,67 à 10´2près.
4. On considère la suitepSnqdéfinie parSn “0,8`0,82`...`0,8n pour tout entier naturel n non nul. L’expression deSn en fonction denestSn “0,8ˆ1´0,8n
1´0,8 . (a) CalculerS4“0,8ˆ1´0,84
1´0,8 »2,36 à 10´2 près.
(b) Déterminer les valeurs deaetbde sorte que :Sn“a`bˆ0,8n. On aa“4 etb“ ´4, voir ci-dessous : Sn“0,8ˆ1´0,8n
1´0,8 “ 0,8´0,8ˆ0,8n 0,2 “ 0,8
0,2´0,8
0,2 ˆ0,8n“4´4ˆ0,8n (c) Déterminer lim
nÑ`8Sn. On a 0ă0,8ă1 donc lim
nÑ`80,8n“0. Donc lim
nÑ`8´4ˆ0,8n“0. Donc lim
nÑ`8Sn “ lim
nÑ`84´4ˆ0,8n“4.
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